步步高届高三数学大一轮复习 基本不等式及其应用学案 理 新人教A版.docx
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步步高届高三数学大一轮复习基本不等式及其应用学案理新人教A版
学案36 基本不等式及其应用
导学目标:
1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
自主梳理
1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件:
____________.
(2)等号成立的条件:
当且仅当________时取等号.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥________(a,b∈R).
(2)+≥____(a,b同号).
(3)ab≤2(a,b∈R).
(4)2____.
3.算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为________,几何平均数为________,基本不等式可叙述为:
________________________________________________.
4.利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当________时,x+y有最____值是________(简记:
积定和最小).
(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当________时,xy有最____值是__________(简记:
和定积最大).
自我检测
1.“a>b>0”是“ab<”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.(2011·南平月考)已知函数f(x)=x,a、b∈(0,+∞),A=f,B=f(),C=f,则A、B、C的大小关系是( )
A.A≤B≤CB.A≤C≤B
C.B≤C≤AD.C≤B≤A
3.下列函数中,最小值为4的函数是( )
A.y=x+
B.y=sinx+(0 C.y=ex+4e-x D.y=log3x+logx81 4.(2011·大连月考)设函数f(x)=2x+-1(x<0),则f(x)有最________值为________. 5.(2010·山东)若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围为________________. 探究点一 利用基本不等式求最值 例1 (1)已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值; (2)已知x<,求函数y=4x-2+的最大值; (3)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值. 变式迁移1 (2011·重庆)已知a>0,b>0,a+b=2,则y=+的最小值是( ) A.B.4 C.D.5 探究点二 基本不等式在证明不等式中的应用 例2 已知a>0,b>0,a+b=1,求证: (1+)(1+)≥9. 变式迁移2 已知x>0,y>0,z>0. 求证: ≥8. 探究点三 基本不等式的实际应用 例3 (2011·镇江模拟)某单位用2160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位: 元). (1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式; (2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少? 最少值是多少? (注: 平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=) 变式迁移3 (2011·广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3-x与t+1成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完. (1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数. (2)该企业2012年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? (注: 利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用) 1.a2+b2≥2ab对a、b∈R都成立;≥成立的条件是a,b∈R+;+≥2成立的条件是ab>0,即a,b同号. 2.利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件,并且和为定值时,积有最大值,积为定值时,和有最小值. 3.使用基本不等式求最值时,若等号不成立,应改用单调性法.一般地函数y=ax+,当a>0,b<0时,函数在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数;当a<0,b>0时,函数在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数;当a>0,b>0时函数在,上是减函数,在,上是增函数;当a<0,b<0时,可作如下变形: y=-来解决最值问题. (满分: 75分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为( ) A.8B.4C.1D. 2.(2011·鞍山月考)已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8 3.已知a>0,b>0,则++2的最小值是( ) A.2B.2C.4D.5 4.一批货物随17列货车从A市以akm/h的速度匀速直达B市,已知两地铁路线长400km,为了安全,两列车之间的距离不得小于2km,那么这批货物全部运到B市,最快需要( ) A.6hB.8hC.10hD.12h 5.(2011·宁波月考)设x,y满足约束条件,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则+的最小值为( ) A.B.C.D.4 二、填空题(每小题4分,共12分) 6.(2010·浙江)若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是________. 7.(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)=的图象交于P,Q两点,则线段PQ长的最小值是________. 8.已知f(x)=32x-(k+1)3x+2,当x∈R时,f(x)恒为正值,则k的取值范围为__________________. 三、解答题(共38分) 9.(12分) (1)已知0 (2)点(x,y)在直线x+2y=3上移动,求2x+4y的最小值. 10.(12分)(2011·长沙月考)经观测,某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y=(v>0). (1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大? 最大车流量为多少? (2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内? 11.(14分)某加工厂需定期购买原材料,已知每千克原材料的价格为1.5元,每次购买原材料需支付运费600元,每千克原材料每天的保管费用为0.03元,该厂每天需要消耗原材料400千克,每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管). (1)设该厂每x天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式; (2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小,并求出这个最小值. 学案36 基本不等式及其应用 自主梳理 1. (1)a>0,b>0 (2)a=b 2. (1)2ab (2)2 (4)≤ 3. 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4. (1)x=y 小 2 (2)x=y 大 自我检测 1.A 2.A 3.C 4.大 -2-1 5.[,+∞) 课堂活动区 例1 解题导引 基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化,使用基本不等式求最值时,给定的形式不一定能直接适合基本不等式,往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式),构造出基本不等式的形式再进行求解.基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”,“三相等”就是必须验证等号成立的条件. 解 (1)∵x>0,y>0,+=1, ∴x+y=(x+y) =++10≥6+10=16. 当且仅当=时,上式等号成立,又+=1, ∴x=4,y=12时,(x+y)min=16. (2)∵x<,∴5-4x>0. y=4x-2+=-+3 ≤-2+3=1, 当且仅当5-4x=, 即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1. (3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy, ∴+=1. ∴x+y=(x+y)=10++ =10+2 ≥10+2×2×=18, 当且仅当=,即x=2y时取等号. 又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6. ∴当x=12,y=6时,x+y取最小值18. 变式迁移1 C [∵a+b=2,∴=1. ∴+=(+)()=+(+)≥+2=(当且仅当=,即b=2a时,“=”成立),故y=+的最小值为.] 例2 解题导引 “1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到,也会给解决问题提供简捷的方法. 在不等式证明时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转化是否有误的一种方法. 证明 方法一 因为a>0,b>0,a+b=1, 所以1+=1+=2+. 同理1+=2+. 所以(1+)(1+)=(2+)(2+) =5+2(+)≥5+4=9. 所以(1+)(1+)≥9(当且仅当a=b=时等号成立). 方法二 (1+)(1+)=1+++ =1++=1+, 因为a,b为正数,a+b=1, 所以ab≤()2=,于是≥4,≥8, 因此(1+)(1+)≥1+8=9(当且仅当a=b=时等号成立). 变式迁移2 证明 ∵x>0,y>0,z>0, ∴+≥>0, +≥>0, +≥>0. ∴ ≥=8. 当且仅当x=y=z时等号成立. 所以(+)(+)(+)≥8. 例3 解题导引 1.用基本不等式解应用题的思维程序为: →→→→ 2.在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下四点: (1)先理解题意,设变量,一般把要求最值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数最值问题;(3)在定义域内求函数最值;(4)正确写出答案. 解 (1)依题意得 y=(560+48x)+ =560+48x+(x≥10,x∈N*). (2)∵x>0,∴48x+ ≥2=1440, 当且仅当48x=,即x=15时取到“=”, 此时,平均综合费用的最小值为560+1440=2000(元). 答 当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2000元. 变式迁移3 解 (1)由题意可设3-x=, 将t=0,x=1代入,得k=2.∴x=3-. 当年生产x万件时, ∵年生产成本=年生产费用+固定费用, ∴年生产成本为32x+3=32+3. 当销售x(万件)时,年销售收入为 150%+t. 由题意,生产x万件化妆品正好销完,由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,得年利润y=(t≥0). (2)y==50- ≤50-2=50-2=42(万元), 当且仅当=,即t=7时,ymax=42, ∴当促销费投入7万元时,企业的年利润最大. 课后练习区 1.B [因为3a·3b=3,所以a+b=1, +=(a+b)=2++ ≥2+2=4,当且仅当=即a=b=时,“=”成立.] 2.B [不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则1+a++≥a+2+1≥9, ∴≥2或≤-4(舍去). ∴正实数a的最小值为4.] 3.C [因为++2≥2+2 =2≥4,当且仅当=且=, 即a=b=1时,取“=”号.] 4.B [第一列货车到达B市的时间为h,由于两列货车的间距不得小于2km,所以第17列货车到达时间为+=+≥8,当且仅当=,即a=100km/h时成立,所以最快需要8h.] 5.A 6.18 解析 由x>0,y>0,2x+y+6=xy,得 xy≥2+6(当且仅当2x=y时,取“=”), 即()2-2-6≥0, ∴(-3)·(+)≥0. 又∵>0,∴≥3,即xy≥18. 故xy的最小值为18. 7.4 解析 过原点的直线与f(x)=交于P、Q两点,则直线的斜率k>0,设直线方程为y=kx,由得或 ∴P(,),Q(-,-)或P(-,-),Q(,). ∴|PQ|= =2≥4. 8.(-∞,2-1) 解析 由f(x)>0得32x-(k+1)·3x+2>0,解得k+1<3x+,而3x+≥2,∴k+1<2,k<2-1. 9.解 (1)∵0 ∴x(4-3x)=(3x)(4-3x)≤2=,(4分) 当且仅当3x=4-3x,即x=时,“=”成立. ∴当x=时,x(4-3x)的最大值为.(6分) (2)已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动,∴x+2y=3. ∴2x+4y≥2=2=2=4. (10分) 当且仅当即x=,y=时,“=”成立. ∴当x=,y=时,2x+4y的最小值为4. (12分) 10.解 (1)y==≤ =≈11.08.(4分) 当v=,即v=40千米/小时时,车流量最大,最大值为11.08千辆/小时(6分) (2)据题意有≥10,(8分) 化简得v2-89v+1600≤0,即(v-25)(v-64)≤0, 所以25≤v≤64. 所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内. (12分) 11.解 (1)每次购买原材料后,当天用掉的400千克原材料不需要保管费,第二天用掉的400千克原材料需保管1天,第三天用掉的400千克原材料需保管2天,第四天用掉的400千克原材料需保管3天,…,第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x-1)天. ∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用 y1=400×0.03×[1+2+3+…+(x-1)] =6x2-6x.(6分) (2)由 (1)可知,购买一次原材料的总费用为6x2-6x+600+1.5×400x, ∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为 y=(6x2-6x+600)+1.5×400=+6x+594.(9分) ∴y≥2+594=714,(12分) 当且仅当=6x,即x=10时,取等号. ∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最小,且最小为714元.(14分)
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