中考专题圆中折叠问题新.docx
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中考专题圆中折叠问题新
2020中考数学必刷—圆中折叠问题
知识与方法】折叠问题是中考的热点题型,在解决这类问题中,运用的知识点比较多,综合
性强,如轴对称性质、全等思想、相似思想、勾股定理、代换思想等,培养学生识图能力,灵活运用数学知识是解决此类问题的关键。
圆中的折叠问题又具备了一个特殊的背景——圆,我们必须综合利用的圆的各种性质和直线型中的相关定理加以解决。
【例】如图,半圆的直径AB=10cm,弦AC=6cm,把AC沿直线AD对折,恰好与AB重合,点C落到C'求,AD的长。
解析】设圆的圆心是O,连接OD,作DE⊥AB于E,OF⊥AC于F,运用
圆周角定理,可证得∠DOB=∠OAC,即证△AOF≌△OED,所以OE=AF=3cm,
根据勾股定理,得DE=4cm,在直角三角形ADE中,根据勾股定理,可求AD
解答】设圆的圆心是O,连接OD,AD,作DE⊥AB于E,OF⊥AC于F.
则∠OFA=∠OED=90O
根据题意知,∠CAD=∠BAD,
∴C?
DB?
D,∴点D是?
BC的中点.
∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD,又OA=OD
∴△AOF≌△OED(AAS),∴OE=AF=3cm,
∴DE=OD2OE252324(cm),
∴AD=AE2DE25324245cm
故选A.
【针对练习】
1.将半径为3的圆形纸片沿AB折叠后,圆弧恰好能经过圆心O,用图中阴影
部分的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为()
A.22B.2
C.D.3
2
【解答】过O点作OC⊥AB,垂足为D,交⊙O于点C,
11
由折叠可得,OD=CD=OC=OA,所以在Rt△AOD中,∠A=30°,又OA=OB,
所以∠B=30°,所以∠AOB=18°0﹣∠A﹣∠B=120°,所以?
AB的长为
锥的高=321222.故选:
A.
【点评】:
本题考查折叠的性质、直角三角形的性质、弧长计算、圆锥的侧面
展开图.
2、如图,在⊙O中,点C在优弧A⌒B上,将弧B⌒C沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.若⊙O的半径为5,AB=4,则BC的长是()
解法一】连AC、DC、
OD,过C作CE⊥AB于E,过O作OF⊥CE于F,
∵B?
C沿BC折叠,∴∠CDB=∠H,∵∠H+∠A=180°,∴∠CDA+∠CDB=180°,∴∠A=∠CDA,∴CA=CD,∵CE⊥AD,∴AE=ED=1,∵OA5,AD=2,∴OD=1,∵OD⊥AB,∴OFED为正方形,∴OF=1,OC5,∴CF=2,CE=3,∴CB32.
【解法二】作D关于BC的对称点E,连AC、CE,
∵AB=4,AE=2AO=25∴BE=2,
由对称性知,∠ABC=∠CBE=4°5,∴AC=CE,
延长BA至F,使FA=BE,连FC,易证△FCA≌△BCE,
3、如图,点C在以AB为直径的半圆弧上,∠ABC=30°,沿直线CB将半圆折
叠,直径AB和?
BC交于点D,已知AB=6,则图中阴影部分的面积和周长分别等于.
A
解析】连CD,AC,由直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=9°0,得到∠
A=60°,即△ACD为等边三角形,于是有弓形BD的面积=弓形CD的面积,阴影部分的面积=扇形DAC的面积,阴影部分的周长=半圆弧长加直径,然后根据扇形的面积公式和弧长公式计算即可.
【解答】
连CD,AC,如图,
∵AB为直径,∠ABC=3°0,
∴∠ACB=9°0,∠A=60°,
∴△ACD为等边三角形,
∴∠DCB=3°0,
∴弓形BD的面积=弓形CD的面积,
∴阴影部分的面积=扇形DAC的面积=
1
阴影部分的周长=1?
2π?
3+6=3π.+6
2
故答案为3,3π+6.
2
4.如图,半径为1的半圆形纸片,按如图方式折叠,使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合,则图中阴影部分的面积是3.
26
【分析】连接OM交AB于点C,连接OA、OB,根据题意OM⊥AB且OC=MC=,继而求出∠AOC=6°0、AB=2AC=,然后根据S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB、
S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM计算可得答案.
解答】解:
如图,连接OM交AB于点C,连接OA、OB,
由题意知,OM⊥AB,且OC=MC=在RT△AOC中,∵OA=1,OC=,
∴∠AOC=6°0,AB=2AC=,
∴∠AOB=2∠AOC=12°0,
则S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB
×21﹣2(
点评】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运
用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用,解答时运用轴对称的性质求解是关键.
5、如图,AB是半圆O的直径,且AB=8,点C为半圆上的一点.将此半圆沿BC所在的直线折叠,若圆弧BC恰好过圆心O,求图中阴影部分的面积(结果保留π)。
uuru
【解答】过点O作OD⊥BC于点D,交BC于点E,连接OC,则点E是B?
EC的中点,由折叠的性质可得点O为B?
OC的中点,∴S弓形BO=S弓形CO,在Rt△BOD中,OD=DE=
R=2,OB=R=4,∴∠OBD=30°,∴∠AOC=60°,∴S阴影=S扇形AOC=
2360
点评】本题考查扇形面积的计算.
6、如图,将?
BC沿弦BC折叠交直径AB于点D,若AD=4,DB=8,则BC的
长是.
【解析】根据折叠的性质知B?
C=?
BDC,连接CD、AC,则∠DBC+∠BCD=
∠CAD,即∠CAD=∠CDA;过C作AB的垂线,设垂足为E,则DE=AD,由此可求出BE的长,进而可在Rt△ABC中,根据射影定理求出BC的长.
解答】连接CA、CD;
根据折叠的性质,得?
BC=B?
DC
∴∠CAB=∠CBD+∠BCD∵∠CDA=∠CBD+∠BCD∴∠CAD=∠CDA,即△CAD是等腰三角形
过C作CE⊥AB于E,则AE=DE=2
∴BE=BD+DE=10在Rt△ACB中,CE⊥AB,根据射影定理得BC2=BE?
AB=10×12=120
则BC=120=230
【点评】:
本题考查的是折叠的性质,三角形外角的性质,圆周角定理
7.如图,CD是⊙O的直径,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为G,
OG:
OC=3:
5,AB=8.
(1)求⊙O的半径;
2)点E为圆上一点,∠ECD=1°5,将沿弦CE翻折,交CD于点F,求图
中阴影部分的面积.
【解析】
(1)根据AB⊥CD,垂足为G,OG:
OC=3:
5,AB=8,可以求得⊙O
的半径;
(2)要求阴影部分的面积只要做出合适的辅助线,然后利用锐角三角函数、扇
形的面积和三角形的面积即可解答本题.
解答】解:
(1)连接AO,如右图1所示,
∵CD为⊙O的直径,AB⊥CD,AB=8,
∴AG=AB=4,
2
∵OG:
OC=3:
5,AB⊥CD,垂足为G,
∴设⊙O的半径为5k,则OG=3k,
∴(3k)2+42=(5k)2,
解得,k=1或k=﹣1(舍去),
∴5k=5,即⊙O的半径是5;
(2)如图2所示,将阴影部分沿CE翻折,点F的对应点为M,
∵∠ECD=1°5,由对称性可知,∠DCM=3°0,S阴影=S弓形CBM,
连接OM,则∠MOD=6°0,
∴∠MOC=12°0,
S阴影=S扇形OMC﹣S△OMC=12052155325253
3602234
考点】本题考查①垂径定理;②扇形面积的计算;③翻折变换(折叠问题)
8.已知半圆O的直径AB=4,沿它的一条弦折叠.
(1)如图,若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D,且AD:
DB=3:
1,求折痕EF的长;
(2)在使折叠后的圆弧与直径AB相切的过程中,请直接写出折痕EF的最大值和最小值.
【答案】
(1)11.
(2)最小值22,最大值:
23.
【解析】
(1)设折叠后的圆弧所在的圆心为O1,连接O1O,O1D,OE,设O1O交EF于点H,由折叠的轴对称性可知:
EF垂直平分O1O,再证明OA=OB=OE=2,根据AD:
DB=3:
1,可知BD=1,OD=1,由勾股定理可知:
O1O=5,从而可知OH=5,EH=11,根据EF=2EH即可求得问题的答案;
22
(2)先根据题意画出图形,再求得最大值和最小值即可.
【解答】
(1)如图1-1,设折叠后的圆弧所在的圆心为O1,连接O1O,O1D,
OE,设O1O交EF于点H.
由折叠的轴对称性可知:
EF是对称轴,∴EF垂直平分O1O.
又∵EF是⊙O的弦,∴010与EF相互垂直平分.
∵AB=4,∴OA=OB=OE=2.
∵AD:
DB=3:
1,∴BD=1,OD=1.
∴O1O=OD2O1D212225.
∴OH=25,EH=OE2-OH2=22-
∴EF=2EH=11.
2)如图1-2,折痕EF的有最小值,最小值=222222.
如图1-3,折痕EF的有最大值,最大值为23.
点评】本题考查①切线的性质;②.翻折变换(折叠问题)
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- 中考 专题 折叠 问题