直线平面平行与垂直的综合问题考点与题型归纳.docx
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直线平面平行与垂直的综合问题考点与题型归纳
直线、平面平行与垂直的综合问题考点与题型归纳
考点一立体几何中的探索性问题
[典例](2018全国卷出)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧在平面垂直,M是Cd上异于C,D的点.
(1)证明:
平面AMD,平面BMC.
(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC//平面PBD?
说明理由.
[解]
(1)证明:
由题设知,平面CMD,平面ABCD,交线为CD.因为BCXCD,BC?
平面ABCD,
所以BCL平面CMD,所以BCXDM.
因为M为Cd上异于C,D的点,且DC为直径,
所以DMLCM.
又BCACM=C,所以DM,平面BMC.
因为DM?
平面AMD,所以平面AMD,平面BMC.
(2)当P为AM的中点时,MC//平面PBD.
证明如下:
连接AC交BD于O.
因为四边形ABCD为矩形,
所以。
为AC的中点.
连接OP,因为P为AM的中点,所以MC//OP.
又MC?
平面PBD,OP?
平面PBD,
所以MC//平面PBD.
[题组训练]
1.如图,三棱锥P-ABC中,PAL平面ABC,RA=1,AB=1,AC=2,/BAC=60°.
(1)求三棱锥P-ABC的体积;
(2)在线段PC上是否存在点M,使得ACXBM,若存在,请说明理由,并求诉的值•
IVIC
解:
(1)由题设AB=1,AC=2,ZBAC=60°,13
可得SaBc=2ABAC-sin60=2^.
由FA,平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高,
又FA=1,
所以三棱锥P-ABC的体积V=1Smbc¥=坐.36
(2)在线段PC上存在点M,使得ACXBM,证明如下:
如图,在平面ABC内,过点B作BNXAC,垂足为N.在平面FAC内,过点N作MN//
FA交PC于点M,连接BM.
由PAL平面ABC,知PAXAC,
所以MNLAC.
因为BNAMN=N,所以AC,平面MBN,
又BM?
平面MBN,
所以ACXBM.
4八,,一1
在Rt^BAN中,AN=AB-cOfBAC=2,
,一—一3
从而NC=AC—AN=2,
二〃/口PMAN1
由MN//PA,得MF=NC=3.
MCNC3
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,PDL平面ABCD,底面ABCD为正方形,BC=PD=2,E为PC的中点,CB=3CG.
(1)求证:
PCXBC;
(2)AD边上是否存在一点M,使得PA//平面MEG?
若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.
解:
(1)证明:
因为PDL平面ABCD,BC?
平面ABCD,
所以PDXBC.
因为四边形ABCD是正方形,所以BCXCD.
又PDACD=D,PD?
平面PCD,CD?
平面PCD,
所以BC,平面PCD.
因为PC?
平面PCD,所以PCXBC.
(2)连接AC,BD交于点O,连接EO,GO,
延长GO交AD于点M,连接EM,则PA//平面MEG.
证明如下:
因为E为PC的中点,。
是AC的中点,
所以EO//FA.
因为EO?
平面MEG,PA?
平面MEG,所以PA//平面MEG.
2
因为△OCG^/OAM,所以AM=CG=3,
所以AM的长为2.
3
考点二平面图形的翻折问题
[典例](2018全国卷I)如图,在平彳T四边形ABCM中,AB=AC=3,/ACM=90°.以AC为折痕将^ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABXDA.
⑴证明:
平面ACD,平面ABC;
2
(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=5DA,求二棱锥Q-ABP的体积.
解:
(1)证明:
由已知可得,/BAC=90°,即BAXAC.
又因为BAXAD,ACAAD=A,
所以AB,平面ACD.
因为AB?
平面ABC,
所以平面ACDL平面ABC.
(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=342.
2
又BP=DQ=§DA,所以BP=20.
如图,过点Q作QEXAC,垂足为E,则QE怒^DC.3
由已知及⑴可得,DC,平面ABC,
所以QEL平面ABC,QE=1.
因此,三棱锥Q-ABP的体积为Vq-abp=:
XSmbpXQE=1x1X3X2V2sin45X1=1.332
[题组训练]
1.(2019湖北五校联考)如图1所示,在直角梯形ABCD中,/ADC=90°,AB//CD,――1_
AD=CD=2AB=2,E为AC的中点,将^ACD沿AC折起,使折起后的平面ACD与平面
ABC垂直,得到如图2所示的几何体D-ABC.
(1)求证:
BC,平面ACD;
(2)点F在^葭CD上,且满足AD//平面BEF,求几何体F-BCE的体积.
解:
(1)证明:
AC=,AD2+CD2=2寸2,
ZBAC=ZACD=45°,AB=4,
・•・在ZABC中,BC2=AC2+AB2—2ACXABXcos45=8,
.AB2=AC2+BC2=16,.1.ACXBC.
・•・平面ACD,平面ABC,平面ACDA平面ABC=AC,
.BS平面ACD.
(2)「AD//平面BEF,AD?
平面ACD,平面ACDn平面BEF=EF,,AD//EF,
.E为AC的中点,,EF为9CD的中位线,
1一一
由
(1)知,几何体F-BCE的体积Vf-bce=Vb-cef=;XSzcefXBC,
3
1111
Szcef=4s/acd=4X2X2X2=2,
11cc2
•.Vf-bce=-X-X2V2=丁323
2.(2018合肥二检)如图1,在平面五边形ABCDE中,AB//CE,且AE=2,/AEC=
5
60,CD=ED=>/7,cos/EDC=7.将4CDE沿CE折起,使点D至ijP的位置,目AP=43,
得到如图2所示的四棱锥P-ABCE.
⑴求证:
AP,平面ABCE;
(2)记平面RAB与平面PCE相交于直线1,求证:
AB//1.
5
证明:
(1)在^CDE中,-.00=ED=V7,cosZEDC=-,由余弦定理得CE=aJ32+币2_2乂S'S*、=2.
连接AC,
•.AE=2,ZAEC=60°,
.AC=2.
又ap=V3,
••・在ZPAE中,AP2+AE2=PE2,
即APIAE.
同理,APIAC.
•.ACnAE=A,AC?
平面ABCE,AE?
平面ABCE,.APL平面ABCE.
(2).AB//CE,且CE?
平面PCE,AB?
平面PCE,
.AB//平面PCE.
又平面PABn平面PCE=1,.1.AB//1.
[课时跟^^检测]
1
.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是圆内接四边形(记此圆为W),且PAL平面ABCD.
(1)当BD是圆W的直径时,PA=BD=2,AD=CD=J3,求四棱锥P-ABCD的体积.
(2)在⑴的条件下,判断在棱PA上是否存在一点Q,使得BQ//平面PCD?
若存在,求出AQ的长;若不存在,请说明理由.
解:
(1)因为BD是圆W的直径,所以BAXAD,
因为BD=2,AD=43,所以AB=1.
同理BC=1,所以S四边形abcd=ABAD=J3.
因为PAL平面ABCD,PA=2,
所以四棱锥P-ABCD的体积V=;S四边形abcdPA=^^-3.
(2)存在,AQ=2.理由如下.3
延长AB,DC交于点巳连接PE,则平面PAB与平面PCD的交线是PE.
假设在棱PA上存在一点Q,使得BQ//平面PCD,
则BQ//PE,所以等=祟.PAAE
经计算可得BE=2,所以AE=AB+BE=3,所以AQ=|.
3
故存在这样的点Q,使BQ//平面PCD,且AQ=|.
3
2
.如图,侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形,AB//CD,ABXAD,
1.
AA1=4,DC=2AB,AB=AD=3,点M在棱A1B1上,且A1M=qA1B1.
3
已知点E是直线CD上的一点,AM//平面BC1E.
(1)试确定点E的位置,并说明理由;
(2)求三棱锥M-BC1E的体积.
解:
(1)点E在线段CD上且EC=1,理由如下:
在棱C1D1上取点N,使得D1N=A1M=1,连接MN,DN,
因为D1N//A1M,所以四边形DiNMAi为平行四边形,
所以MN触AiDi触AD.
所以四边形AMND为平行四边形,所以AM//DN.
因为CE=1,所以易知DN//ECi,所以AM//ECi,
又AM?
平面BCiE,ECi?
平面BCiE,
所以AM//平面BCiE.
故点E在线段CD上且EC=i.
(2)由⑴知,AM//平面BCiE,
ii、,
所以Vm-bc〔e=Va-bc1e=Vc1-abe=3X]X3X3X4=6.
3.(20i9湖北武汉部分学校调研)如图i,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,将△ADE沿AE折起,得到如图2所示的四棱锥Di-ABCE,其中平面DiAEL平面ABCE.
(i)证明:
BE,平面DiAE;
(2)设F为CDi的中点,在线段AB上是否存在一点M,使得MF//平面DiAE,若存在,求出AM的值;若不存在,请说明理由.
AB
解:
(i)证明:
.「四边形ABCD为矩形且AD=DE=EC=BC=2,
.,.zAEB=90°,即BEXAE,
又平面DiAEL平面ABCE,平面DiAEA平面ABCE=AE,
「BE,平面DiAE.
、“AMJ
(2)当词=4时,MF//平面DiAE,理由如下:
取DiE的中点L,连接FL,AL,
.FL//EC,又EC//AB,
一一一一1_
.FL//AB,且FL=4AB,
.M,F,L,A四点共面,
又MF//平面ADiE,,MF//AL.
••・四边形AMFL为平行四边形,
4.如图1所示,在Rt^ABC中,ZABC=90°,D为AC的中点,AELBD于点E(不同于点D),延长AE交BC于点F,将△ABD沿BD折起,得到三棱锥A1-BCD,如图2所示.
⑴若M是FC的中点,求证:
直线DM//平面A1EF.
(2)求证:
BDXA1F.
(3)若平面A1BDL平面BCD,试判断直线A1B与直线CD能否垂直?
请说明理由.
解:
(1)证明:
:
口,M分别为AC,FC的中点,
.DM//EF,
又「EF?
平面A1EF,DM?
平面A1EF,
.DM//平面A1EF.
(2)证明:
•••EFXBD,A1E±BD,A1EAEF=E,
AiE?
平面AiEF,EF?
平面AiEF,
•・BD,平面AiEF,
又AiF?
平面AiEF,..BDlAiF.
(3)直线AiB与直线CD不能垂直.理由如下:
・•・平面BCD,平面AiBD,平面BCDn平面AiBD=BD,EFXBD,EF?
平面BCD,
•・EFL平面AiBD,
又.AiB?
平面AiBD,/.AiBlEF,
又.DM//EF,.-.AiB±DM.
假设AiB^CD,「DMACD=D,
.AiB,平面BCD,
.AiBXBD,与/AiBD为锐角矛盾,
・•・直线AiB与直线CD不能垂直.
5
.(20i9河南名校联考)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是梯形,AB//CD,AD=DC=CB=a,/ABC=60°,四边形ACFE是矩形,且平面ACFEL平面ABCD,点M在线段EF上.
(i)求证:
BCL平面ACFE;
(2)当EM为何值时,AM//平面BDF?
证明你的结论.
解:
(i)证明:
在梯形ABCD中,因为AB//CD,AD=DC=CB=a,ZABC=60°,
所以四边形ABCD是等腰梯形,且/DCA=ZDAC=30°,/DCB=i20°,
所以/ACB=/DCB—/DCA=90°,所以ACXBC.
又平面ACFE,平面ABCD,平面ACFEn平面ABCD=AC,BC?
平面ABCD,
所以BC,平面ACFE.3
(2)当EM=r-a时,AM//平面BDF,理由如下:
如图,在梯形ABCD中,设ACABD=N,连接FN.
由(i)知四边形ABCD为等腰梯形,且/ABC=60°,所以AB=2DC,/U
贝UCN:
NA=i:
2.
易知EF=AC=J3a,所以AN=^3^a.
因为EM=^a,3
223
所以MF=3EF=-3-a,
所以MF触AN,
所以四边形ANFM是平行四边形,
所以AM//NF,
又NF?
平面BDF,AM?
平面BDF,
所以AM//平面BDF.
6.如图所示的五面体ABEDFC中,四边形ACFD是等腰梯形,AD//FC,/DAC=60°,
BCL平面ACFD,CA=CB=CF=1,AD=2CF,点G为AC的中点.
(1)在AD上是否存在一点H,使GH//平面BCD?
若存在,指出点H的位置并给出证明;若不存在,说明理由;
(2)求三棱锥G-ECD的体积.
解:
(1)存在点H使GH//平面BCD,此时H为AD的中点.证明如下.
取点H为AD的中点,连接GH,
因为点G为AC的中点,
所以在4ACD中,由三角形中位线定理可知GH//CD,
又GH?
平面BCD,CD?
平面BCD,
所以GH//平面BCD.
(2)因为AD//CF,AD?
平面ADEB,CF?
平面ADEB,
所以CF//平面ADEB,
因为CF?
平面CFEB,平面CFEBA平面ADEB=BE,
所以CF//BE,
又CF?
平面ACFD,BE?
平面ACFD,
所以BE//平面ACFD,
所以Vg-ecd=Ve-gcd=Vb-gcd.
因为四边形ACFD是等腰梯形,/DAC=60°,AD=2CF=2AC,所以/ACD=90°,
1
又CA=CB=CF=1,所以CD=W,CG=2,
又BCL平面ACFD,
所以VB-GCD=;X1CGXCDXBC=1x;x1xJ3X1=^3.32322112
所以三棱锥g-ecd的体积为或.
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