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初三数学尺规作图复习
初三数学尺规作图复习
第27讲 尺规作图
[锁定目标考试]
考标要求命题趋势
1能用尺规完成五种基本作图.
2.会写已知、求作,了解作图的道理,保留作图的痕迹,不要求写出作法.
3.能运用尺规的基本作图方法解决作图的简单应用问题 中考对本部分内容的考查主要是利用尺规作图解决实际问题的能力,题型主要以设计、探究形式的解答题为主
[导学必备知识]
知识梳理
一、尺规作图
1.定义
只用没有刻度的__________和__________作图叫做尺规作图.
2.步骤
①根据给出的条和求作的图形,写出已知和求作部分;②分析作图的方法和过程;③用直尺和圆规进行作图;④写出作法步骤,即作法.
二、五种基本作图
1.作一条线段等于已知线段;2作一个角等于已知角;3作已知角的平分线;4过一点作已知直线的垂线;作已知线段的垂直平分线.
三、基本作图的应用
1.利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形;
(2)已知两边及其夹角作三角形;(3)已知两角及其夹边作三角形;(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形;()已知一直角边和斜边作直角三角形.
2.与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆).
(2)作三角形的内切圆.
自主测试
1.如图,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:
分别以A和B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧相交于,D两点,则直线D即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADB一定是( )A.矩形B.菱形.正方形D.等腰梯形
2.用直尺和圆规作一个菱形,如图,能得到四边形ABD是菱形的依据是( )A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.四边相等的四边形是菱形
.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
3.如图,△AB是直角三角形,∠AB=90°
(1)实验与操作
利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹,不写作法).
①作△AB的外接圆,圆心为;
②以线段A为一边,在A的右侧作等边△AD;
③连接BD,交⊙于点E,连接AE
(2)综合运用
在你所作的图中,若AB=4,B=2,则
①AD与⊙的位置关系是__________.
②线段AE的长为__________.
4.A,B两所学校在一条东西走向公路的同旁,以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,且点A的坐标是(2,2),点B的坐标是(7,3).
(1)一辆汽车由西向东行驶,在行驶过程中是否存在一点,使点到A,B两校的距离相等?
如果有,请用尺规作图找出该点,保留作图痕迹,不求该点坐标.
(2)若在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之和最小,通过作图在图中找出建游乐场P的位置,并求出它的坐标.
[探究重难方法]
考点一、基本作图
【例1】按要求用尺规作图(只保留作图痕迹,不必写出作法).
(1)在图
(1)中作出∠AB的平分线;
(2)在图
(2)中作出△DEF的外接圆解:
如图.方法总结依据基本作图的方法步骤,规范作图,注意一定保留好作图痕迹.
触类旁通1画△AB,使其两边为已知线段a,b,夹角为β(要求:
用尺规作图,写出已知、求作;保留作图痕迹;不在已知的线、角上作图;不写作法)已知:
求作:
考点二、基本作图的实际应用
【例2】如图,要在一块形状为直角三角形(∠为直角)的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮,需先在这块铁皮上画出一个半圆,使它的圆心在线段A上,且与AB,B都相切.请你用直尺和圆规画出(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法).分析:
∵圆与AB,B都相切,∴圆心到AB,B的距离相等.∴圆心应是∠AB的角平分线与A的交点.
解:
下图即为所求图形.方法总结要作一个圆与角的两边都相切,根据角平分线的性质,角平分线上的点到角两边的距离相等,即可解决问题.
触类旁通2为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P,使P到该镇所属A村、B村、村的村委会所在地的距离都相等(A,B,不在同一直线上,地理位置如下图),请你用尺规作图的方法确定点P的位置.
要求:
写出已知、求作;不写作法,保留作图痕迹.[品鉴经典考题]
1(2012湖南益阳)如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B,,分别以A,为圆心,B,AB长为半径画弧,两弧交于点D,分别连接AB,AD,D,则四边形ABD一定是( )A.平行四边形B.矩形.菱形D.梯形
2(2012河北)如图,点在∠AB的B边上,用尺规作出了N∥A,作图痕迹中,是( )A.以点为圆心,D为半径的弧B.以点为圆心,D为半径的弧
.以点E为圆心,D为半径的弧D.以点E为圆心,D为半径的弧
3.(2012浙江绍兴)如图,AD为⊙的直径,作⊙的内切正三角形AB,甲、乙两人的作法分别如下:
甲:
1作D的中垂线,交⊙于B,两点.
2.连接AB,A.
△AB即为所求作的三角形.
乙:
1以D为圆心,D长为半径作圆弧,交⊙于B,两点.
2.连接AB,B,A.
△AB即为所求作的三角形.
对于甲、乙两人的作法,可判断( )
A.甲、乙均正确B.甲、乙均错误
.甲正确,乙错误D.甲错误,乙正确
4.(2012贵州铜仁)某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉,要求音乐喷泉到广场的两个入口A,B的距离相等,且到广场管理处的距离等于A和B之间距离的一半,A,B,的位置如图所示,请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉的位置.(要求:
不写已知、求作、作法和结论,保留作图痕迹,必须用铅笔作图)(2012东德州)有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A,B,如下图.电信部门要修建一座信号发射塔,按照设计要求,发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条公路l1,l2的距离也必须相等,发射塔应修建在什么位置?
请用尺规作图找出所有符合条的点,注明点的位置.(保留作图痕迹,不要求写出画法)[研习预测试题]
1如图,锐角△AB中,B>AB>A,小靖依下列方法作图:
(1)作∠A的角平分线交B于D点.
(2)作AD的中垂线交A于E点.
(3)连接DE
根据他画的图形,判断下列关系何者正确?
( )
A.DE⊥AB.DE∥AB.D=DED.D=BD
2.如图,以为圆心,任意长为半径画弧,与射线交于点A,再以A为圆心,A长为半径画弧,两弧交于点B,画射线B,则s∠AB的值等于__________.3.数学活动上,老师在黑板上画直线平行于射线AN(如图),让同学们在直线l和射线AN上各找一点B和,使得以A,B,为顶点的三角形是等腰直角三角形.这样的三角形最多能画__________个.4.如图,已知∠AB,点,N,求作点P,使点P在∠AB的角平分线上,且P=PN(保留作图痕迹,不写作法).某汽车探险队要从A城穿越沙漠去B城,途中需要到河流l边为汽车加水,汽车在河边哪一点加水,才能使行驶的总路程最短?
请你在图上画出这一点.6.如图,在△AB中,∠A=90°
(1)用尺规作图的方法,作出△AB绕点A逆时针旋转4°后的图形△AB11(保留作图痕迹);
(2)若AB=3,B=,求tan∠AB11参考答案
【知识梳理】
一、1直尺 圆规
导学必备知识
自主测试
1.B ∵分别以A和B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧相交于,D,
∴A=AD=BD=B,
∴四边形ADB一定是菱形.故选B
2.B 由图形作法可知,AD=AB=D=B,
∴四边形ABD是菱形,故选B
3.解:
(1)如图,
(2)①相切 ②4721
4.解:
(1)存在满足条的点
作出图形,如图所示.
(2)作点A关于x轴对称的点A′(2,-2),连接A′B,与x轴的交点即为所求的点P设A′B所在直线的解析式为=x+b,把(2,-2)和(7,3)代入得7+b=3,2+b=-2,解得=1,b=-4∴=x-4,
当=0时,x=4,
∴交点P为(4,0).
探究考点方法
触类旁通1解:
已知:
线段a,b,角β
求作:
△AB,使边B=a,A=b,∠=β
画图(保留作图痕迹)
触类旁通2解:
已知A村、B村、村,求作新建一个医疗点P,使P到该镇所属A村、B村、村的村委会所在地的距离都相等.品鉴经典考题
1.A 由作图知,AD=B,AB=D,∴四边形ABD一定是平行四边形.
2.D 根据尺规作一个角等于已知角的方法,即可知是以点E为圆心,D为半径的弧.
3.A 根据甲的思路,作出图形如下:
连接B∵B垂直平分D,
∴E为D的中点,且D⊥B,
∴E=DE=12D
在Rt△BE中,∵B=D,
∴E=12B,
∴∠BE=30°又∠EB=90°,∴∠BE=60°
∵A=B,∴∠AB=∠BA
又∠BE为△AB的外角,
∴∠AB=∠BA=30°,
∴∠AB=∠AB+∠BE=60°
同理∠=60°,∴∠BA=60°,
∴∠AB=∠BA=∠,
∴△AB为等边三角形,故甲的作法正确.
根据乙的思路,作图如下:
连接B,BD∵D=BD,D=B,
∴D=BD=B,∴△BD为等边三角形,
∴∠BD=∠BD=60°
同理可知△D也为等边三角形,∠D=∠D=60°,
∴∠B+∠D=∠BD+∠D+∠D=180°,
∴B∥D
又∵△BD和△D是等边三角形,
∴四边形BD是菱形,
∴∠B=∠DB=30°
又A=B,且∠BD为△AB的外角,
∴∠BA=∠AB=30°,
∴∠AB=∠AB+∠B=60°,
同理∠AB=60°,∴∠BA=60°,
∴∠AB=∠AB=∠BA,
∴△AB为等边三角形,故乙的作法正确.故选A
4.解:
作图如图所示..解:
作图如图所示:
研习预测试题
1.B 依据题意画出图形.可得知∠1=∠2,AE=DE,∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,即DE∥AB故选B
212
3.3
4.解:
如图,连接N,作线段N的垂直平分线EF,∠AB的角平分线,EF与相交于点P则点P即为所求..解:
如图所示,点即为所求.6.解:
(1)作∠AB的平分线,在平分线上截取AB1=AB,
作1A⊥AB1,在A1上截取A1=A,
如图所示即是所求.
(2)∵AB=3,B=,∴A=4,
∴AB1=3,A1=4,tan∠AB11=A1AB1=43
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