三年级华罗庚数学思维训练带答案分析.docx
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三年级华罗庚数学思维训练带答案分析
《华罗庚学校思维训练导引》三年级真题分析
《华罗庚学校思维训练导引》三年级第一节
三年级上学期第01讲计算问题第01讲
加法与减法
【容概述】
各种加法和减法的速算与巧算方法,如凑整,运算顺序的改变,数的组合与分解,利用基准数等。
【例题分析】
1.计算:
1966+1976+1986+1996+2006
分析1:
通过仔细观察发现前面一个数都比后面一个数大10,因此可以设一个基准数。
详解:
我们不妨设1986为基准数。
1966+1976+1986+1996+2006
=(1986-20)+(1986-10)+1986+(1986+10)+(1986+20)
=1986*5
=9930
评注:
通过仔细观察题目后,通常会发现一些规律。
找到规律,就能轻而一举的解决问题。
分析2:
等差数列的个数是奇数个时,中间数是它们的平均数
详解:
1966+1976+1986+1996+2006
=1986×5
=9930
2.计算:
123+234+345-456+567-678+789-890
答案:
34
分析:
这些数粗略一看好象是杂乱无章,其实不然。
通过对各位数的观察,
详解:
先看个位:
3+4+5-6+7-8+9-0=14
再看十位:
2+3+4-5+6-7+8-9=2但是注意个位的进位:
2+1=3(1是个位进位来的)
最后看百位:
1+2+3-4+5-6+7-8=0
这样:
我们就得到了34这个数
评注:
做这种有技巧的计算时,要先通过观察,找到规律后再逐一化简。
把它变成一道很容易且学过的题。
就像这道题一样,本来是3位数加减法,而我们把它变成了一位数加减法。
但需要注意的是:
千万不能忘了前一位的进位。
3.计算:
6472-(4476-2480)+5319-(3323-1327)+9354-(7358-5362)+6839-(4843-2847)
答案:
20000
分析:
这个题目一眼看去没有办法简单运算,但如果把括号得数算出,便发现了一些规律。
详解:
6472-(4476-2480)+5319-(3323-1327)+9354-(7358-5362)+6839-(4843-2847)
=6472-1996+5319-1996+9354-1996+6839-1996
=6472+5319+9354+6839-1996*4
=6472+5319+9354+6839-7984
=(6472+5319+6839)+(9200+154)-(7900+84)
=(6472+5319+6839)+(9200-7900)+(154-84)
=(6472+5319+6839)+1300+70
=18630+1370
=20000
评注:
在一道简算的大题中,有可能有好几个地方可以简便运算,一些技巧性的题目,简算会在过程中体现出来,而不让你一眼看出,大家要在解题过程中找出简算步骤,这就需加强练习,方可得心应手。
4.
(1)在加法算式中,如果一个加数增加50,另一个加数减少20,计算和的增加或减少量?
答案:
增加30
分析:
此题并非很难,只是初学者会认为缺少条件。
其实这与两个加数与和的本身值是无关的。
因为计算的只是“和的增加或减少量”。
详解:
如果我们用“A”来代替一个加数,B代表另一个加数,(A+B)代表和
(A+50)+(B-20)
=(A+B)+30
评注:
某些题目的某些条件并不是我们所需知的,用字母或符号代表这些不需知的未知数是我们必须学会的技巧。
(2)在加法算式中,如果被减数增加50,差减少20,那么减数如何变化?
答案:
增加70
分析:
与上题一样。
其实减数变化与被减数、减数和差的本身值是无关的。
详解:
我们用“A”来代表被减数,B代表减数,(A-B)代表差
减数=被减数-差
=(A+50)-[(A-B)-20]
=B+70
评注:
用字母表示数的方法用在这里很合适。
一些无需知的未知数在运算过程中就会抵消,这样会给计算带来方便。
5.计算:
1+2+1
1+2+3+2+1
1+2+3+4+3+2+1
1+2+3+4+5+4+3+2+1
…………………
根据上面四式计算结果的规律,求:
1+2+3+……+192+193+192+……+3+2+1的值。
分析:
通过观察,我们发现:
所有数的和=中间数×中间数
详解:
1+2+3+……+192+193+192+……+3+2+1
=193×193
=37249
评注:
这个数列我们特别讲一个很复杂的方法,但很锻炼大家的思维的。
设1式.............1+2+1
2式.............1+2+3+2+1
3式.............1+2+3+4+3+2+1
4式.............1+2+3+4+5+4+3+2+1
5式.............1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1
……
观察发现1式与2式差5,2式与3式差7,3式与4式差9,4式与5式差11……
又通过观察发现每两式相差的数都相差2(例如:
1式与2式差5,2式与3式差7,7-5=2;再例如:
2式与3式差7,3式与4式差9,9-7=2)
再观察1式与2式差55与2式中的3差2
2式与3式差77与3式中的4差3
3式与4式差99与4式中的5差4
4式与5式差1111与5式中的6差5
观察上面这一步最后相差的都是式子中间的数减1
所以最后一个式子(1+2+3+......+191+192+193+192+191+.....+2+1)与它上面一个式子(1+2+3+......+190+191+192+191+190+.....+2+1)的差为:
193+(193-1)=385
所以(1+2+3+......+191+192+193+192+191+.....+2+1)
=(1+2+1)+(5+7+9+11+13+15+17+...........+385)
=4+390*[(385-5)/2+1]/2
=4+390*191/2
=4+37245
=37249
当然,这样的方法考试不可取,平常炼一下,多见识几种方法还是有好处的。
6.请从3、7、9、11、21、33、63、77、99、231、693、985这12个数中选出5个数,使它们的和等于1995。
答案:
9、77、231、693、985。
分析:
首先,我们观察数的特征,要使得5个数的和恰好是1995,那么我们需要通过求出3到4个数的和,使它们接近1955,剩下的比较小的差异通过一两个数进行“微小调节”。
详解:
通过我们观察数的特征,我们将几个较大的数相加,得到:
985+693+231=1909
1995-1909=86
这样比1995还相差86
所以我们只要在剩下的数里面寻找两个数的和是86即可
77+9=86
所以这五个数是:
9、77、231、693、985。
评注:
一些题目往往不一定要按顺序思考,利用从相反方向出发的原则也是可以解一些灵活性较强的题的。
比如这个题目我们还可以用这12个数的和减去1995,用差来作为寻找的目标。
7.题目:
从1999这个数里减去253以后,再加上244,然后再减去253,再加上244......,这样一直减下去,减到第多少次,得数恰好等于0?
答案:
195次
分析:
这道题目看似简单,因为一个循环减少9,有的同学认为只要求1999能被9整除多少次即可。
其实还隐藏着一个问题:
如果1999这个数在某一点也就是在减253加244过程中有可能运算完只剩253,而减去253后就等于0。
我们来实验一下所述情况有没有可能发生
1999-253=1746
1746/(253-244)=194
194+1=195
恰好如我们所猜测的。
详解:
1999-253=1746
1746/(253-244)=194次
但是最后一次减去也是一次运算:
194+1=195次
评注:
结果正如分析所述,194+1的这个1就代表前面所减的253的那次。
为了需要,我们先减去了253,这样算起来会比后减253更方便。
《华罗庚学校思维训练导引》三年级第二节
1、有20人修筑一条公路,计划15天完成,动工3天后抽出5人植树,留下的人继续修路。
如果每人工作效率不变,那么修完这段公路实际用多少天?
答案:
19天
分析:
此题因中途抽出5人植树,修路的总人数发生变化。
但前3天并未变化。
我们并不需知道每人每天的工作量,不妨把它设为“1”,那么这条路的工作总量就是20×15=300,3天后已经完成的工作量是20×3=60,还剩下300-60=240的工作量由剩下的15人完成
详解:
根据分析可以得到:
我们假设每人每天的工作量为1,那么这条路的工作总量就是15×20=300;
3天后已经完成的工作量是20×3=60,3天后还剩下的工作量为300-60=240;
接下来时间里每天的工作人数为15人,所以还需要240÷15=16天
16+3=19天
评注:
解此种类型的题目时,要抓住工作的总量的变化关系,找准需要设的单位1。
需要提醒的是:
此题不要忘了加上前3天。
2、2个篮球的价钱可以买6个排球,6个足球的价钱可以买3个篮球。
买排球、足球、网球各1个的价钱可以买1个篮球。
那么,买一个篮球的价钱可以买多少个网球?
答案:
6个
分析:
此种题目只是一个思维的过程。
可以拿字母或符号来代表各种不同类型的球的价钱。
但在这里我们只介绍“口算法”,题目条件给得比较?
嗦,口算要求对其中的关系必须非常清楚,那么,我们就要从表示方式上简化。
∵2篮=6排 3篮=6足
∴1排+1足+1网=1篮==〉 6排+6足+6网=6篮
带入6排=2篮 6足=3篮
∴2篮+3篮+6网=6篮
==〉1篮=6网
∴买1个篮球的价钱可以买6个网球
详解:
根据分析可以得到(略)。
评注:
这种类型的题目我们通常采用简单的式子来表示复杂的关系。
这样容易清楚地看到它们之间的联系。
从而达到简化、节约时间的目的。
3、三年级一斑选举班长,每人投票从甲、乙、丙三个候选人中选一人。
已知全班共有52人,并且在计票过程中的某一时刻,甲得到17票,乙得到16票,丙得到11票。
如果得票比其他两人都多的候选人将成为班长,甲最少再得多少票就能够保证当选?
答案:
4
分析:
此题隐含的一个条件是:
“每人只能投一票”知道这个条件后,这道题就能轻易破解了。
先求出目前已投的票数(17+16+11=44),再求出还剩的票数(52-44=8),甲想当班长,考虑最坏的情况:
剩下的8票全落在甲、乙手中,甲必须得到多少才比乙多呢?
甲只要比乙多一票即可,目前17>16,所以剩下的8票,甲至少要得到4票才能保证比乙多。
17+4>16+4
如果甲得到3票,就有可能和乙竞选成平手(17+3=16+5)。
所以当甲再获得4选票时,将能够保证当选班长。
详解:
剩下票数=52-17-16-11=8票,所以甲乙最多共得票=17+16+8=41
所以甲至少要得到(41+1)/2=21票,而甲已经有17票,
那么甲最少再得21-17=4票就能够保证当选。
4.甲乙两队共同挖一条长8250米得水渠,乙队每天比甲队多挖150米。
已知先由甲队挖4天后,余下的由两队共同挖了7天,便完成了任务。
那么甲队每天挖多少米?
答案:
400
详解1:
设甲队每天挖X米,乙队每天挖(X+150)米;根据水渠全长8250米得
4X+7X+7(X+150)=8250
18X=7200
X=400
∴甲队每天挖400米
详解2:
分析:
“已知先有甲对挖4天后,余下的由两对共挖7天”的意思就是:
甲做11天+乙独做7天。
而这句话又可以换一种理解:
总的工作量的=甲做11天+(甲做7天+150*7)
(8250-150*7)/(11+7)
=7200/18
=400(米)
评注:
理解一句话的方式不同,很有可能会带来几种不同的效果.
5、某单位举行迎春茶话会,买来4箱同样重的苹果,从每箱取出24千克后,结果各箱所剩的苹果重量的和,恰好等于原来一箱的重量。
那么原来每箱苹果重多少千克?
答案:
32千克
分析:
4箱同样重的苹果,从每箱取出24千克后,一共取走24*4=96(千克);
结果各箱所剩的苹果重量的和,恰好等于原来一箱的重量说明取走的96千克相当于原来4-1=3箱,故原来每箱96/3=32千克。
详解:
24×4÷3
=32(千克)
6、甲有桌子若干,乙有椅子若干把。
如果乙用全部椅子换回数量同样多的桌子,则需补给甲320元;如果乙不补钱,就要少换回5桌子,已知3桌子比5把椅子的价钱少48元,那么乙原有椅子多少把?
答案:
20把
分析:
通过:
“则需补给甲320元;如果乙不补钱,就要少换回5桌子”说明5桌子价值320元,可以求出每桌子的价钱。
再通过这句话:
“已知3桌子比5把椅子的价钱少48元”可以求出椅子的价钱。
同时320元还是每桌子比每把椅子多的钱数乘以乙原有椅子的把数的积。
所以,只需用320除以桌子的钱数减椅子钱数的差就能求出乙原有椅子多少把了。
详解:
根据分析可知,每桌子的价钱:
320/5=64(元)故每桌子64元
(64×3+48)÷5=48(元) 故每把椅子48元
320/(64-48)=20(把) 乙原有椅子20把
评注:
此题之关键在于320这个数,320包含了两个不同的含义,正是这两个不同的含义,使我们找到了解此题的。
这也正是巧妙之处。
7、实验室里有一只特别的钟,一圈共有20格,每过7分钟,指针跳一次,每跳一次就要跳过9个格。
今天早上8时的时候,指针恰好从0跳到9,问昨天晚上8时整的时候指针指着几?
答案:
2
分析:
大家不要被题目所迷糊,此题并非很难,只是叙述复杂,难以理解。
这段话的意思就是:
一个钟有20个格,每过7分钟,跳9个格。
在第6分59秒前,并不跳。
所以,只要求出一共12小时跳多少格,再除以这个钟的格数(20)就可以了。
详解:
从昨晚8时到今天早上8时,共12个小时60×12=720(分)
720÷7=102(次)……6(分)
102×7=714(分)
所以在714分钟前(即昨晚8:
06)一共跳了102次
减去今天早上8时那一次,即101次
又因为指针每跳20次就回到原处
所以101/20=5(次)……1(次)
所以在昨晚8:
06时,指针跳到11处
所以昨天晚上8时整的时候指针还没有跳,指针指着11-9=2。
《华罗庚学校思维训练导引》三年级第三节
三年级上学期第03讲,应用题第2讲 和差倍问题之一 (偶数题)
2.三个小组共有180人,一、二两个小组人数之和比第三小组多20人,第一小组比第二小组少2人,求第一小组的人数。
分析:
要点:
先把一,二小组看成一个整体!
把第三小组看成一个整体,我们把这种方法叫“化三为二”即把三个问题转换成二个问题,先求出第一,二小组的人数,再求出第一小组的人数。
这也是一个和差问题。
解:
(+20)÷2=100(人)――第一,二小组的人数
(100-2)÷2=49(人)――第一小组的人数
综合:
[(+20)÷2-2]÷2=49(人)――第一小组的人数
答:
第一小组的人数是49人。
4.在一个减法算式里,被减数、减数与差的和等于120,而减数是差的3倍,那么差等于多少?
分析:
这是一个和倍问题。
减数是差的3倍,那么被减数就是差的4倍,所以被减数、减数与差的和就是差的8倍,应该等于120,所以差=120÷8=15。
解:
120÷(1+3+1+2)=15 答:
差等于15。
6.有50名学生参加联欢会,第一个到会的女同学同全部男生握过手,第二个到会的女生只差一个男生没握过手,第三个到会的女生只差2个男生没握过手,以此类推,最后一个到会的女生同7个男生握过手。
问这些学生中有多少名男生?
分析:
这是和差问题。
我们可以这样想:
如果这个班再多6个女生的话,最后一个女生就应该只与1个男生握手,这时,男生和女生一样多了,所以原来男生比女生多(7-1)6个人!
男生人数就是:
解:
(50+6)÷2=28(人)。
答:
男生人数是2 8人。
注:
还有一种解法,7+6+5+4+3+2+1=28(人)
我的分析方法还不能说得很清楚。
请大家指正。
8.甲、乙、丙共有100本课外书。
甲的本数除以乙的本数,丙的本数除以甲的本数,商都是5,余数也都是1。
那么乙有多少本书?
分析:
这是和倍问题。
看懂题后可以这样理解,“甲、乙、丙3个数是100,甲是乙的5倍多1,丙是甲的5倍多1,求甲、乙、丙各是几?
”。
即:
乙是1倍;甲是乙的5倍多1;丙是乙的(5×5)倍多(1×5+1)6。
那么100减去(1+6)的差对应(1+5+5×5)倍,这样可求出乙是多少。
解:
[100-1-(1×5+1)]÷(1+1×5+1×5×5)=91÷31=3(本) 答:
乙有3本书。
10.有货物108件,分成四堆存放在仓库时,第一堆件数的2倍等于第二堆件数的一半,比第三堆的件数少2,比第四堆的件数多2.问每堆各存放多少件?
分析:
如果我们把第一堆看成1倍,那么可以算出第二堆就是(2×2)4倍,第三堆是2倍多2件,第四堆是2倍少2件,那么一共就刚好是1+4+2+2=9倍(第三堆和第四堆刚好一个多2件一个少2件正好抵消),那么1倍就是108÷9=12件,第二堆就是12×4=48件,第三堆就是12×2+2=26件,第四堆就是12×2-2=22件。
解:
(108+2-2)÷(1+2×2+2+2)=108÷9=12(件)――第一堆
12×2×2=48(件)――第二堆; 12×2+2=26(件)――第三堆; 12×2-2=22(件)――第四堆;
答:
每堆各有12件、48件、26件、22件。
12.用中国象棋的车,马,炮分别表示不同的自然数。
如果:
车÷马=2,炮÷车=4,炮-马=56,那么“车+马+炮”等于多少?
分析:
这是一个差倍问题。
依题有,马是1倍,车是马的2倍,炮是车的4倍,所以炮与马的倍数差是(2×4-1)7倍,而炮与马的两数差是56,根据差倍问题的公式就可分别求出车、马、炮的值。
解:
56÷(8-1)=8――马;
8×2=16――车
16×4=64――炮
8+16+64=88――车+马+炮 答:
车、马、炮的和是88
14.甲、乙两位学生原计划每天自学的时间相同,若甲每天增加自学时间半小时,乙每天减少自学时间半小时,则乙自学6天的时间仅相等于甲自学一天的时间。
问:
甲、乙原计划每天自学多少分钟?
分析:
差倍问题。
原来时间相同,现甲多半小时,乙少半小时,现在的两数差是(30+30)60分钟,现在的差数差是(6-1)5倍,这样可求出现乙每天自学的时间,加上30分钟,可得原计划每天自学时间。
解:
(30+30)÷(6-1)+30=12+30=42(分钟) 答:
原计划每天自学42分钟。
《华罗庚学校思维训练导引》三年级第四节
三年级上学期第4讲,应用题第3讲 盈亏问题
【教学容】
盈亏类型以及用两种相似的条件限制同一对象的应用题.解题的基本步骤为先恰当设定单位,然后通过比较而求出一个单位对应的具体数值。
【典型问题】
2.少先队员去植树,如果每人挖5个树坑,还有3个树坑没人挖;如果其中两人各挖4个树坑,其余每人挖6个
树坑,就恰好挖完所有的树坑。
请问,共有多少名少先队员?
共挖了多少树坑?
分析:
关键在于条件的转换,把“如果其中两人各挖4个树坑,其余每人挖6个树坑,就恰好挖完所有的树坑”转换成“每人挖6个树坑,还差2×(6-4)个树坑。
”则本题成为“一盈一亏”的盈亏问题;对比两个条件,因为每人多挖(6-5)一个;所以就要多挖[3+2×(6-4)]个,这样就可求出人数,继而求出树坑数。
在这里我们把两个条件中每人挖的差(6-5)叫分差,因两个条件中每人挖的数量不同而产生的差叫总差。
本题中:
总差÷分差=人数;
推广可得:
两次分配的差叫分差,
总差分3种:
一盈一亏中:
盈+亏=总差;在双盈或双亏中:
大数-小数=总差;
总差÷分差=份数 份数在不同的题目中表示不同的意思。
解:
[3+2×(6-4)]÷(6-5)=7(人)
7×5+3=38(个)--树坑数 答:
共挖了38个树坑。
4.钢笔与圆珠笔每支相差1元2角,小明带的钱买5支钢笔差1元5角,买8支圆珠笔多6角。
问小明带了多少钱?
分析:
关键在于条件的转换,要么都转换成钢笔,要么都转换成圆珠笔,
解1:
都转换成钢笔;买5支钢笔差15角,买8支钢笔差(12×8-6)90角,这是双亏:
分差是(8-5)3支,总差是(90-15)75角,就是说多买3支,就多差75角;这样就可求出1支钢笔多少钱;继而求出小明带了多少钱。
[(12×8-6)-15]÷(8-5)=75÷3=25(角)--钢笔的价钱
25×5-15=125-15=110(角)=11(元)--小明带得钱数
解2:
都转换成圆珠笔;买5支圆珠笔多(12×5-15)45角,买8支圆珠笔多6角。
[(12×5-15)-6]÷(8-5)=39÷3=13(角)--圆珠笔的价钱
13×8+6=104+6==110(角)=11(元)--小明带得钱数
6.某校到了一批新生,如果每个寝室安排8个人,要用33个寝室;如果每个寝室少安排2个人,寝室就要增加
10个,问这批学生可能有多少人?
解答:
关键在于条件的理解,
每个寝室安排8个人,要用33个寝室;因没说盈或亏,
我们只能认为至少有:
(33-1)×8+1=257(人);至多有:
33×8=264(人);
每个寝室少安排2个人,寝室就要增加10个,也没说盈或亏,
我们也只能认为至少有:
(33+10-1)×(8-2)+1=253(人);至多有:
(33+10)×(8-2)=258(人);
根据这两个条件可以得到人数在257与258之间。
(至少取大数,至多取小数,)
8.有48本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多5人。
如果把书全部分给第一组,那么每人4本,有剩余;每人5本,书不够。
如果把书全分给第二组,那么每人3本,有剩余;每人4本,书不够。
问第二组有多少人?
解答:
因分给第一组,那么每人4本,有剩余;每人5本,书不够。
说明第一组的人数不到48÷4=12人,多于(48÷5=9…3)9个人,即10到11人;
同理,第二组不到48÷3=16人,又多与48÷4=12人,即13到15人,
因15-10=5(人);由此可知:
第一组是10人,第二组是15人。
10.用绳测井深,把绳三折,井外余2米,把绳四折,还差1米不到井口,那么井深多少米?
绳长多少米?
分析:
绳三折,井外余2米,说明绳子比井深的3倍多(3×2)6米;绳四折,还差1米不到井口,说明绳子比
井深的4倍少(4×1)4米,总差:
(因多1折,就差);(3×2)+(4×1);分差:
(4-3);这样可求出井深。
解:
[(3×2)+(4×1)]÷(4-3)=10÷1=10(米)--井深
10×3+2×3=36(米)--绳长
12.有一个班的同学去划船。
他们算了一下,如果增加1条船,正好每条船坐6人;如果减少1条船,正好每条
船坐9个人。
问:
这个班共有多少名同学?
分析:
条件可以这样理解,每条船坐6人,多6人;每条船坐9人,差9人。
解:
(9+6)÷(9-6)=5(条);5×6+6=36(人)
14.“六一”儿童节,小明到商店买了一盒花球和一盒白球,两盒的球的数量相等。
花球原价1元钱2个,白球
原价1元钱3个。
因节日商店优惠销售,两种球的售
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