十章 曲面积分作业及答案.docx
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十章曲面积分作业及答案
第二十八次作业第二十二章曲面积分§1第一型曲面积分
班级:
姓名
1、计算
,其中
分别是:
(1)球面
;
(2)
解:
(1)
解:
(2)
2、计算下列曲面积分:
(1)
,其中
是圆锥曲面
被曲面
所割下的部分;
解:
(2)
,其中
是柱面
被平面
所截取的部分;
解:
(3)
,其中
是立体
的边界曲面;
解:
3、求均匀曲面
的重心;
解:
质量
所以,均匀曲面重心坐标是
。
4、求密度为
的均匀球面
对于
轴的转动惯量。
解:
第二十九次作业第二十二章曲面积分§2第二型曲面积分
班级:
姓名
1、计算下列第二型曲面积分:
(1)
,其中
为由
六个平面所围的立方体表面,并取外侧为正向;
解:
另法:
由高斯公式得
(2)
,其中
为以原点为中心,边长为2的立方体表面,并取外侧为正向;
解:
另法:
由高斯公式得
(3)
,其中
是球面
的上半部分
并取外侧为正向。
解:
另法:
补上平面
,则
构成封闭曲面,取外侧,由高斯公式得
(4)
,其中
是球面
并取外侧为正向。
解:
,
另法:
由高斯公式得
(5)
,其中
是平行六面体
的表面,并取外侧为正向,
为
上的连续函数。
解:
,
同理可得:
所以,原式=
2、设某流体的流速为
,求单位时间内从球面
的内部流过球面的流量。
解:
另,由高斯公式
第三十次作业第二十二章曲面积分§3高斯公式与斯托克斯公式1
班级:
姓名
1、应用高斯公式计算下列曲面积分:
(1)
,其中
是锥面
与平面
所围空间区域的表面,方向取外侧;
解:
空间区域在
上的投影区域是
,由高斯公式有
(2)
,其中
是球面
的外侧。
解:
空间区域在
上的投影区域是
,由高斯公式有
(3)
,其中
是上半球面
的外侧。
解:
补上平面
,则
构成封闭曲面,取外侧,由高斯公式得
(4)
,其中
是曲面
的外侧。
解:
补上平面
,则
构成封闭曲面,取外侧,在
上的投影区域是
,由高斯公式得
而
,
所以
2、应用高斯公式计算下列三重积分
,其中
是由
与
所确定的空间区域。
解:
记
,
令
,则
在
上恒成立,所以
3、应用斯托克斯公式计算下列曲线积分:
(1)
,其中
为
与三坐标面的交线,它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧。
解:
将
看成是曲面
的边界,取上侧,由斯托克斯公式
另法:
由两类曲面积分之间的关系得:
(2)
,其中
为
所交的椭圆,从
轴正向看,取逆时针方向。
解:
考虑以
为边界的平面
,取上侧。
解法一:
因为
垂直于
面,由斯托克斯公式得
解法二:
平面
上任意点处的法向量
,方向余弦为
,
由斯托克斯公式及两类曲面积分中关系得
(3)
,其中
为以
为顶点的三角形沿
的方向。
解:
考虑以
为边界的平面
,取上侧,
,则平面上任意点处的法向量
,方向余弦为
,由斯托克斯公式及两类曲面积分中关系得
第三十一次作业
第二十二章曲面积分§3高斯公式与斯托克斯公式2§4场论初步
班级:
姓名
1、求下列全微分的原函数:
(1)
解:
因为
,所以原函数
,其中
是任意常数。
(2)
解:
,则
故曲面积分与路径无关,取定点
,取折线
,则
2、验证下列曲线积分与路径无关,并计算其值:
(1)
解:
,则
,故曲面积分与路径无关,取折线
,则
(2)
,其中
在球面
上。
解:
,所以曲面积分与路径无关,原函数
另法:
取折线
,则
3、若
,计算
解:
4、求
在点
处的梯度,并求梯度为零之点。
解:
,则点
处的梯度为
因为
令
,即点
处梯度为零。
5、求向量场
的散度与旋度。
解:
6、证明:
场
是有势场,并求其势函数。
证明:
因为
,所以
是有势场。
又
所以其势函数为
。
7、设流速
为常数),求环流量:
(1)沿圆周
;
(2)沿圆周
解:
(1)设曲线上任一点处切向量的方向余弦为
,则沿圆周
的环流量为
(2)设曲线上任一点处切向量的方向余弦为
,则沿圆周
的环流量为
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- 十章 曲面积分作业及答案 曲面 积分 作业 答案
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