上海市宝山区届高三下学期期中教学质量监控二模数学试题.docx
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上海市宝山区届高三下学期期中教学质量监控二模数学试题
宝山区2016-2017学年第二学期期中
高三年级数学学科教学质量监测试卷
(满分150分,时间120分钟)
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.若集合
,
,则
.
2.已知复数
满足
(
为虚数单位),则
.
3.函数
的最小正周期是.
4.已知双曲线
(
)的一条渐近线方程为
,则
.
5.若圆柱的侧面展开图是边长为
的正方形,则圆柱的体积为.
6.已知
满足
,则
的最大值是.
7.直线
(
为参数)与曲线
(
为参数)的交点个数是.
8.已知函数
的反函数是
,则
.
9.设多项式
(
)的展开式中
项的
系数为
,则
.
10. 生产零件需要经过两道工序,在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为
和
,
每道工序产生废品相互独立.若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是
,则
.
11. 设向量
,
,
为曲线
(
)上的一个动点,若点
到直线
的距离大于
恒成立,则实数
的最大值为.
12.设
为
的一个排列,则满足对任意正整数
,且
,都有
成立的不同排列的个数为.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考
生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
13.设
,则“
”是“
且
”的………………………( )
(
)充分而不必要条件 (
)必要而不充分条件
(
)充要条件 (
)既不充分又不必要条件
14.如图,
为正方体
中
与
的交点,则
在该正方体各
个面上的射影可能是…………………………………………………………………()
1②③④
(
)①②③④ (
)①③ (
)①④ (
)②④
15.
如图,在同一平面内,点
位于两平行直线
同侧,且
到
的距离分别为
.点
分别在
上,
,则
的最大值为…………………()
(
)
(
)
(
)
(
)
16. 若存在
与正数
,使
成立,则称“函数
在
处存
在距离为
的对称点”.设
(
),若对于任意
,总存在正数
,使得“函数
在
处存在距离为
的对称点”,则实数
的取值范围是…()
(
)
(
)
(
)
(
)
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出
必要的步骤.
17.(本题满分14分,第1小题满分8分,第2小题满分6分)
如图,在正方体
中,
分别是线段
的中点.
(1)求异面直线
与
所成角的大小;
(2)求直线
与平面
所成角的大小.
18.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
已知抛物线
(
),其准线方程为
,直线
过点
(
)且与抛物线交于
两点,
为坐标原点.
(1)求抛物线方程,并证明:
的值与直线
倾斜角的大小无关;
(2)若
为抛物线上的动点,记
的最小值为函数
,求
的解析式.
19.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
对于定义域为
的函数
,如果存在区间
(
),同时满足:
①
在
内是单调函数;②当定义域是
时,
的值域也是
.
则称函数
是区间
上的“保值函数”.
(1)求证:
函数
不是定义域
上的“保值函数”;
(2)已知
(
)是区间
上的“保值函数”,求
的取值范围.
20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)
数列
中,已知
对任意
都成立,数列
的前
项和为
.(这里
均为实数)
(1)若
是等差数列,求
的值;
(2)若
,求
;
(3)是否存在实数
,使数列
是公比不为
的等比数列,且任意相邻三项
按某顺序排列后成等差数列?
若存在,求出所有
的值;若不存在,请说明理由.
21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
设
,若存在常数
,使得对任意
,均有
,则称
为有界集合,同时称
为集合
的上界.
(1)设
、
,试判断
、
是否为有界集合,并说明理由;
(2)已知
,记
(
).若
,
,且
为有界集合,求
的值及
的取值范围;
(3)设
均为正数,将
中的最小数记为
.是否存在正数
,使得
为有界集合
,
均为正数
的上界,若存在,试求
的最小值;若不存在,请说明理由.
宝山区2016-2017学年第二学期期中高三数学教学质量监测试
参考答案及评分标准
一、填空题(本大题共有12题,满分54分)
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)
17.解:
(1)方法一:
设正方体棱长为
,以
为原点,直线
,
,
为
,
,
轴,建立空间直角坐
标系,则
,
,
,
,故
,
,
,
,………………………………………………4/
设异面直线
与
所成角的大小为
,向量
与
所成角为
,则
……6/
,……7/
注意到
,故
,即异面直线
与
所成角的大小为
.…………………8/
(2)由
(1)可知,平面
的一个法向量是
,…………………10/
设直线
与平面
所成角的大小是
,向量
与
所成角为
,则
………12/
……13/
又
,
,即直线
与平面
所成角的大小为
.………………14/
方法二:
设正方体棱长为
.
(1)在面
内,作
于
,联结
.因为正方体
,所以
∥
;在面
内,有
∥
,故异面直线
与
所成的角就是
(或其补角).………………………4/
由已知及作图可知,
为
的中点,于是,在
中,易得
,
,故
,…………………………………………6/
,……………………………………………7/
又
,所以
,从而异面直线
与
所成角的大小为
.…………8/
(2)因为正方体
,所以平面
∥平面
,故直线
与平面
所成角的大小就是直线
与平面
所成角.注意到
平面
,即
平面
,所以
直线
与平面
所成角的大小即为
. ………………………………10/
在
中,易得
,故
…………………………12/
, ………………………13/
又
,故
,即直线
与平面
所成角的大小为
. ……14/
18.解:
(1)方法一:
由题意,
,所以抛物线的方程为
.…………………2/
当直线
的斜率不存在时,直线
的方程为
,则
,
,
.…………3/
当直线
的斜率
存在时,则
,设
的方程为
,
,
,由
消去
,得
,故
,所以,
.……………5/
综上,
的值与直线
倾斜角的大小无关.…………………………………………6/
方法二:
由题意,
,所以抛物线的方程为
.………………………………2/
依题意,可设直线
的方程为
(
),
,
,由
得
,
故
,所以,
…………5/
综上,
的值与直线
倾斜角的大小无关.…………………………6/
(2)设
,则
,
,……………8/
注意到
,所以,
若
,即
,则当
时,
取得最小值,即
;………10/
若
,即有
,则当
时,
取得最小值,即
;………12/
综上所述,
…………………………………………………14/
19.解:
(1)函数
在
时的值域为
,…………………………4/
不满足“保值函数”的定义,因此函数
不是定义域
上的“保值函数”.………………………6/
(2)因
在
内是单调增函数,故
,……………………8/
这说明
是方程
的两个不相等的实根,……………………………………10/
其等价于方程
有两个不相等的实根,……………………………11/
由
解得
或
.………………………………………13/
故
的取值范围为
.………………………………………………14/
20.解:
(1)若
是等差数列,则对任意
,有
,……………………2/
即
,…………………………………………………………………………3/
故
.……………………………………………………………………………………………4/
(2)当
时,
,即
,
,
故
.…………………………………………5/
所以,当
是偶数时,
;………………………7/
当
是奇数时,
,
.………………9/
综上,
(
). ……………………………………………10/
(3)若
是等比数列,则公比
,由题意
,故
,
,
.……11/
1若
为等差中项,则
,即
,解得
(舍去);……12/
2若
为等差中项,则
,即
,因
,故解得,
,
;………………………………………14/
3若
为等差中项,则
,即
,
因为
,解得
.………………………………………………………15/
综上,存在实数
满足题意,
.…………………………………………………………………16/
21.解:
(1)对于
,由
得
,解得
,…………………………………………2/
为有界集合;…………………………………………3/
显然
不是有界集合.………………………4/
(2)记
,则
.
若
,则
,
,即
,且
,从而
.
(ⅰ)当
时,
,所以
,从而
为有界集合.……………………5/
(ⅱ)当
时,由
,
,显然,此时
,利用数学归纳法可得
,故
为有界集合.……………………………………………………………………………6/
(ⅲ)当
时,
,
,即
,由累加法得
,故
不是有界集合.因此,当
,且
时,
为有界集合;当
,且
时,
不是有界集合;
若
,则
,即
,又
(
),
即
(
).于是,对任意
,均有
,即
(
),再由累加法得
,故
不是有界集合.………8/
综上,当
,且
时,
为有界集合;当
,且
时,
不是有界集合;
当
(
)时,
不是有界集合.
故,满足题设的实数
的值为
,且实数
的取值范围是
.………………10/
(3)存在.………………………………………………………………………11/
不妨设
.
若
,则
,且
.故
,
即
;…………13/
若
,则
,即
,又
,故
,又
,
即
,因此,
是有界集合
的一个上界.……………………………………15/
下证:
上界
不可能出现.
假设正数
出现,取
,
,则
,此时,
(*)…17/
由式(*)可得
,与
是
的
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