李永乐复习全书数一例题无答案第九章.docx
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李永乐复习全书数一例题无答案第九章
2013李永乐复习全书(数一)例题(无答案)
(第九章)
1、
2、
计算现^x2+y2ds,其中,L是圆周x2+y2=4x(见图9.1).计算积分[x2dx+(y-x)dy,其中L:
(I)是半径为a的上半
圆周,起点A(a,0),bl,0)(见图9.2);(n)x轴上由
3、
4、
5、
6、
7、
A(a,0)到B(—a,0)的直线段.
将JJf(x,y)dxdy化为累次积分,其中D为x2+y2<2ax与D
22
x+y<2ay的公共部分(a>0).
图9.1
x
设D是由曲线
a
=1a>0,b>0)与x轴,y轴围成的区域,求
I=ydxdy.
D
=川xdV,Q由三个坐标面及平面x+y+2z=2围成.
ffz2dS,其中是曲面z=Jx2+y2(0
I
「1〕
设O二』(x,y,zJx2+y2+z2 4j… 计算 计算 9、 在极坐标变换下将JJf(x,y)db化为累次积分,其中D为x2+y2<2ax与x2+y2兰2ay D 的公共部分(a>0). 0是由x2+y2+z2兰2z. I二Jj[j1+2x2+3y2sin(xy)+4dxdy= 20、 求I=(Xds,其中L为x+y=1. 21、 计算曲面积分l=[[(ax+by+cz+Y'dS,其中工是球面: x2+y2+z2=R2. I 23、 设D由抛物线y=x2,y=4x2及直线y=1围成用先x后y的顺序,将I=JJf(x,y)dxdy D 配置积分限化成累次积分. 24、 求I=JJxydxdy,D由曲线x2+y2=2x+2y-1所围成. D 27、 求1=口axdydz,其中工为下半球z=^a2-x2-y2的上侧,a>0. mx2+y2+z2『 28 (I)设S为球面x2+y2+z2=9,取外侧,则JJzdxdy二. S (n)设D为平面区域: x2+y2<4则JJJx2+y2dxdy二 D 2222 (m)设C是球体: (x-a)+(y-b)+(z-c) Q (z>0)取上侧. 30、 计算曲面积分JJx2zcosYdS,其中曲面积分工是球面x2+y2+z2=a2的下部分, 向上的法向量与z轴正向的夹角. 22122 32、 求曲面x+(y-1)=1介于xOy平面与曲面z=-(x2+y2)之间的部分的面积. 33、 记Il为物体对I轴的转动惯量,h为对平行于I轴并通过物体质心的轴I的转动惯量, 比较下列积分值的大小: (I)I—yin2(x+y)dxdy,I2二JHx+yjdxdy,I3二jj[sin(x+y)Tdxdy DD 1 由x=0,y=0x+y=,x+y=1围成,则h,L打之间的大小顺序为 2 (A)11 (n)JJe"ydxdy,i=1,2,3,其中D1={(x,yjx2+y2 Di (A)J产J2 36、 设D是有界闭区域,下列命题中错误..的是的是 (A)若f(x,y)在D连续,对D的任何子区域D0均有JJf(xy)d=0,则 D f(x,y)三0WXy-D (B)若f(x,y)在D可积,f(x,y)30但不等于0,则((x,y戶D),则 (I)L关于y轴对称,则 其中Li是L在右半平面部分. 其中L,是L在上半平面部分. 43、设分块光滑定向曲面S关于xy平面对称,S在xy平面上方部分记为8,(方程为 z=z(x,y)(x,y卢Dxy)下方部分记为S2,又设R(x,y,z'在S连续,求证: i0,若R关于Z为偶函数, 严^拠尸BjJRgz)dxdy,若R关于Z为奇函数, IS1 22222 计算fl^(x+y)ds,其中L为x+y+z=1与x+y+z=1的交线. 47、 48 1x+12x+133 I^dx]ydy+J0dxJxydy+J2dxJxydy. 11-xx^y 交换累次积分的积分顺序: IrJodxJodyJof(x,y,z)dz,改换成先x最后y的顺序. 计算累次积分: 2ac F(r,日)dr,其中F(r,0尸f(rco史,rsinQ)r. 49、 50、 求I=0dx^dyfyAA+zd乙 将极坐标系中的累次积分转换成直角坐标系中的累次积分或相反: 兀sin6 (I)J兀d日Jf(rcosQrsin日)rdr写成直角坐标系下先对y后x对积分的累次积分;L・0 2 P2R2y2R2JR2^2 (n)计算『e-ydyj。 gxdx+L2Re-ydy[e-xdx ~2 51、 计算JJr^=(a>0),其中D是由圆心在点(a,a卜半径为a且与坐标轴相切的圆周的 Dv2a-x 52、 53、 较短一段弧和坐标轴所围成的区域. 计算二重积分JJ||x+y-2dxdy,其中D: 0 D 计算下列二重积分: (I)JJxydb, D 其中D是由曲线 r=sin2日『0<日<—〕围成的区域; V2丿 54、 (n)JJxydb, D 求下列二重积分: 其中D是由曲线 y=J1-x2,x2+(y-1)2=1与y轴围成的在右上方的部分 ^1)I=? (1+x2+y23 D为正方形域: 0 (n)I=jj|3x+4ydxdy,其中D: x2+y2兰1; (m)l=JJydxdy,其中D由直线x=-1,y=0,y=2及曲线x二-J2y-y2所围成. D 55、求下列三重积分: (l)l=JJJxy2z3dV,其中O是由曲面z=xy,y=x,z=0,x=1所围成; (n)I二川ysinXdV,其中0由y=jx,y=0,z=0,x+z二一围成; Qx2 (m)I=m(1+x4)dV,其中0由曲面x2=y2+z2,x=1,x=2围成. Q 56、求下列三重积分: (I)1=JJJ(x2+y2)dV,其中O由z=16(x2+y2),z=4(x2+y2),z=16围成; Q _5 (n)l=UJ(Jx2+y2+z2)dV,其中0由x2+y2+z2<2z所确定; Q (m)l=UJxyzdV,其中C: x2+y2+z2兰1位于第一卦限的部分. Q 57、求下列三重积分: 1 (l)I二川dV,其中0是球体x2+y2+z2 QJx+y+(z-h) (n)I二川ze^y'dV,其中0: 1 fi (m)I=JJJ(x3+y3+z3)dV,其中0是半球面x2+y2+z2=2z(z二1)与锥面z^x2+y2围成. Q 58、求下列曲线积分: ”2! X=a(t-sint)“斗 (n)I二ry2ds,其中平面曲线L为旋轮线<\,(0 L[y=a(1-cost) (m)l=[(x+y)ds,其中L为双纽线r2二a2cos2日(极坐标方程)的右面一瓣. 59、求曲线积分I=*(x+y)dx+(3x+y)dy+zdz,其中C为闭曲线x=asin2t,y=2acostsint 2 z=acost(0兰t兰兀),C的方向安t从0到兀的方向. 60、求下列曲面积分: (I)l=UydS,其中工是平面x+y+z=1被圆柱面x2+y2=1截出的有限部分;I (n)l=JJzdS,其中II是锥面z^x2+y2在柱体x2+y2兰2x内的部分. I 2222 (I)I=JJxyzdxdy+xzdydz+zdzdx,其中工是x+y=a在x>0的一半被y=0和 y=h(h>0)所截下部分的外侧; (n)l=JJxydzdx,其中S是由曲线x二ey2(0 S 62、 求区域 Q的体积V,其中0: 由z=xy,x2+y2=a2,z=0围成. 63、 求区域 O的体积V,其中O是班球面Z二J3a2-x2-y2及旋转抛物面x2+y2=2az所围成. 64、 求区域 O的体积,其中O是由曲面z=y2(y>0),z=4y2(y>0),z二x.z=2x,z=4所围成. 65、 求下列曲面的面积: (I)半球面z=J3a2-x2-y2及旋转抛物面2az=x2+y2所围立体的表面S; (n)锥面z^x2+y2被柱面z2=2x所割下部分的曲面S. 66、 求八分之一球面x2+y2+z2=R2,x>0,y>0,z>0的边界曲线的质心,设曲线线密度P=1. 67、 求密度为1的均匀圆柱体x2+y2 x=y=z的转动惯量. 平面上质点M(x,y)在力F的作用下沿椭圆r: 2 a 22 xy r+务=1(a>b>0)运动,力F指向b 点C(c,0)(c=Ja2-b2),F的大小与点M,C之间的距离 r的平方成反比,比例系数k》0 为常数,分别求下列情形力F所做的功(如图9.69). 设流速v=(x2+y2)j+(z-1)k,求下列情形流体穿过 69、 曲面工的体积流量Q(如图9.71): -a M O (a,b) 图9.69 (I)工为圆锥面x2+y2=z2(0WzW1),取下侧; (n)H为圆锥体(z2>x2+y2,0 设f(u琏续,f(0)=1,区域0: Jx2+y2 t>0,又设F(tFJJJf(X2+y2+z2)dV,求lim+ 求RmKf: dy-yd: 2,其中l: x2+y2=R2的正方向.(X+xy+y) 72、(i)记0(R尸{(x,yjx2+y2 +处X2J— (n)证明fedx=JF. -3C
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- 永乐 复习 全书 例题 答案 第九