人教版九年级数学上册《212 降次解一元二次方程》.docx
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人教版九年级数学上册《212降次解一元二次方程》
《21.2降次——解一元二次方程》
一、选择题(共13小题)
1.一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
2.下列关于x的方程有实数根的是( )
A.x2﹣x+1=0B.x2+x+1=0C.(x﹣1)(x+2)=0D.(x﹣1)2+1=0
3.关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
4.有两个一元二次方程M:
ax2+bx+c=0;N:
cx2+bx+a=0,其中a•c≠0,a≠c.下列四个结论中,错误的是( )
A.如果方程M有两个相等的实数根,那么方程N也有两个相等的实数根
B.如果方程M的两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同
C.如果5是方程M的一个根,那么
是方程N的一个根
D.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1
5.方程x2﹣2x+3=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根B.只有一个实数根
C.没有实数根D.有两个不相等的实数根
6.一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是( )
A.没有实数根B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根
7.已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0,则该方程根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.两个根都是自然数D.无实数根
8.若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解,则a的取值范围是( )
A.a<1B.a≤4C.a≤1D.a≥1
9.下列一元二次方程中,有两个相等实数根的是( )
A.x2﹣8=0B.2x2﹣4x+3=0C.9x2+6x+1=0D.5x+2=3x2
10.一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.无法确定
11.下列一元二次方程有两个相等实数根的是( )
A.x2﹣2x+1=0B.2x2﹣x+1=0C.4x2﹣2x﹣3=0D.x2﹣6x=0
12.若a满足不等式组
,则关于x的方程(a﹣2)x2﹣(2a﹣1)x+a+
=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.以上三种情况都有可能
13.下列方程中,没有实数根的是( )
A.x2﹣4x+4=0B.x2﹣2x+5=0C.x2﹣2x=0D.x2﹣2x﹣3=0
二、填空题(共12小题)
14.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根,则m=______.
15.若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根,则m的值可能是______(写出一个即可).
16.关于x的方程mx2+x﹣m+1=0,有以下三个结论:
①当m=0时,方程只有一个实数解;②当m≠0时,方程有两个不等的实数解;③无论m取何值,方程都有一个负数解,其中正确的是______(填序号).
17.关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根,则m=______.
18.若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是______.
19.关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根,则m的取值范围是______.
20.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根,则m的取值范围是______.
21.关于x的一元二次方程ax2+bx+
=0有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实数a,b的值:
a=______,b=______.
22.已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根,则实数a的取值范围是______.
23.若一元二次方程(m﹣1)x2﹣4x﹣5=0没有实数根,则m的取值范围是______.
24.关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根,则实数a的取值范围是______.
25.已知关于x的一元二次方程x2﹣2
x﹣k=0有两个相等的实数根,则k值为______.
三、解答题(共5小题)
26.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0.
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围;
(2)若方程两实数根为x1,x2,且满足5x1+2x2=2,求实数m的值.
27.已知:
关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
(1)不解方程,判别方程根的情况;
(2)若方程有一个根为3,求m的值.
28.已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=|m|.
(1)求证:
对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根.
29.已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=0.
(1)证明:
不论m为何值时,方程总有实数根;
(2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根.
30.已知关于x的一元二次方程
mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根.
(1)求m的值;
(2)解原方程.
《21.2降次——解一元二次方程》
参考答案与试题解析
一、选择题(共13小题)
1.一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
【考点】根的判别式.
【分析】把a=1,b=﹣4,c=5代入△=b2﹣4ac进行计算,根据计算结果判断方程根的情况.
【解答】解:
∵a=1,b=﹣4,c=5,
∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×1×5=﹣4<0,
所以原方程没有实数根.
故选:
D.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2﹣4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
2.下列关于x的方程有实数根的是( )
A.x2﹣x+1=0B.x2+x+1=0C.(x﹣1)(x+2)=0D.(x﹣1)2+1=0
【考点】根的判别式.
【专题】计算题.
【分析】分别计算A、B中的判别式的值;根据判别式的意义进行判断;利用因式分解法对C进行判断;根据非负数的性质对D进行判断.
【解答】解:
A、△=(﹣1)2﹣4×1×1=﹣3<0,方程没有实数根,所以A选项错误;
B、△=12﹣4×1×1=﹣3<0,方程没有实数根,所以B选项错误;
C、x﹣1=0或x+2=0,则x1=1,x2=﹣2,所以C选项正确;
D、(x﹣1)2=﹣1,方程左边为非负数,方程右边为0,所以方程没有实数根,所以D选项错误.
故选:
C.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
3.关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
【考点】根的判别式.
【专题】判别式法.
【分析】先根据判别式的意义得到△=(﹣3)2﹣4m>0,然后解不等式即可.
【解答】解:
根据题意得△=(﹣3)2﹣4m>0,
解得m<
.
故选:
B.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
4.有两个一元二次方程M:
ax2+bx+c=0;N:
cx2+bx+a=0,其中a•c≠0,a≠c.下列四个结论中,错误的是( )
A.如果方程M有两个相等的实数根,那么方程N也有两个相等的实数根
B.如果方程M的两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同
C.如果5是方程M的一个根,那么
是方程N的一个根
D.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1
【考点】根的判别式;一元二次方程的解;根与系数的关系.
【专题】压轴题.
【分析】利用根的判别式判断A;利用根与系数的关系判断B;利用一元二次方程的解的定义判断C与D.
【解答】解:
A、如果方程M有两个相等的实数根,那么△=b2﹣4ac=0,所以方程N也有两个相等的实数根,结论正确,不符合题意;
B、如果方程M的两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同,那么△=b2﹣4ac≥0,
>0,所以a与c符号相同,
>0,所以方程N的两根符号也相同,结论正确,不符合题意;
C、如果5是方程M的一个根,那么25a+5b+c=0,两边同时除以25,得
c+
b+a=0,所以
是方程N的一个根,结论正确,不符合题意;
D、如果方程M和方程N有一个相同的根,那么ax2+bx+c=cx2+bx+a,(a﹣c)x2=a﹣c,由a≠c,得x2=1,x=±1,结论错误,符合题意;
故选:
D.
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
△>0⇔方程有两个不相等的实数根;△=0⇔方程有两个相等的实数根;△<0⇔方程没有实数根.也考查了根与系数的关系,一元二次方程的解的定义.
5.方程x2﹣2x+3=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根B.只有一个实数根
C.没有实数根D.有两个不相等的实数根
【考点】根的判别式.
【分析】把a=1,b=﹣2,c=3代入△=b2﹣4ac进行计算,然后根据计算结果判断方程根的情况.
【解答】解:
∵a=1,b=﹣2,c=3,
∴△=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×3=﹣8<0,
所以方程没有实数根.
故选C.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2﹣4ac.当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程没有实数根.
6.一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是( )
A.没有实数根B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根
【考点】根的判别式.
【分析】先求出△的值,再判断出其符号即可.
【解答】解:
原方程可化为:
4x2﹣4x+1=0,
∵△=42﹣4×4×1=0,
∴方程有两个相等的实数根.
故选C.
【点评】本题考查的是根的判别式,熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△的关系是解答此题的关键.
7.已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0,则该方程根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.两个根都是自然数D.无实数根
【考点】根的判别式.
【分析】判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了.
【解答】解:
∵a=2,b=﹣5,c=3,
∴△=b2﹣4ac=(﹣5)2﹣4×2×3=1>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选:
A.
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式,掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根,是解决问题的关键.
8.若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解,则a的取值范围是( )
A.a<1B.a≤4C.a≤1D.a≥1
【考点】根的判别式.
【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解,则根的判别式△≥0,据此可以列出关于a的不等式,通过解不等式即可求得a的值.
【解答】解:
因为关于x的一元二次方程有实根
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