届高中数学苏教版 直线与圆锥曲线的位置关系单元测试 Word版 含答案.docx
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届高中数学苏教版直线与圆锥曲线的位置关系单元测试Word版含答案
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考点35直线与圆锥曲线的位置关系
一、解答题
1.(2016·全国卷Ⅱ理科·T20)已知椭圆E:
=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积.
(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
【解题指南】
(1)当t=4时,椭圆方程是确定的,又|AM|=|AN|,可利用弦长公式将|AM|,|AN|用k表示出来,从而建立k的方程,解方程可求k,进而可求三角形的面积.
(2)利用弦长公式表示出2|AM|=|AN|,整理可得t和k的关系,利用椭圆的焦点在x轴上这一隐含条件,建立k的不等式,解不等式,可求得取值范围.
【解析】
(1)当t=4时,椭圆E的方程为
=1,A点坐标为(-2,0),
则直线AM的方程为y=k(x+2).
联立
并整理得,
(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,
解得x=-2或x=-
则|AM|=
因为AM⊥AN,
所以|AN|=
=
.
因为|AM|=|AN|,k>0,
所以
整理得(k-1)(4k2+k+4)=0,
4k2+k+4=0无实根,所以k=1.
所以△AMN的面积为
.
(2)直线AM的方程为y=k(x+
),
联立
并整理得,
(3+tk2)x2+2t
k2x+t2k2-3t=0,
解得x=-
或x=-
所以|AM|=
同理可求|AN|=
因为2|AM|=|AN|,
所以2·
=
整理得,t=
.
因为椭圆E的焦点在x轴,所以t>3,即
>3,
整理得
<0,
解得
2.(2016·全国卷Ⅱ文科·T21)已知A是椭圆E: =1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA. (1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积. (2)当2|AM|=|AN|时,证明: 【解题指南】 (1)设出点Μ(x1,y1)的坐标,由已知条件可得点Μ的坐标,进而可得△ΑΜΝ的面积. (2)利用弦长公式表示出2|AM|=|AN|,得到关于k的方程,利用函数的单调性确定k的取值范围. 【解析】 (1)设Μ(x1,y1),则由题意知y1>0, 由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为 又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2, 将x=y-2代入 =1,得7y2-12y=0. 解得y=0或y= 所以y1= . 因此△AMN的面积为2× × × = . (2)设直线AM的方程为y=k(x+2)(k>0),代入 =1, 得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0, 由x1·(-2)= 得x1=- 故|AM|=|x1+2| = 由题意设直线AN的方程为y=- (x+2), 故同理可得|AN|= 由2|AM|=|AN|,得 即4k3-6k2+3k-8=0, 设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点, f'(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0, 所以f(t)在(0,+∞)上单调递增, 又f( )=15 -26<0,f (2)=6>0, 因此f(t)在(0,+∞)上有唯一的零点,且零点k在( 2)内,故 3.(2016·山东高考理科·T21)平面直角坐标系xOy中,椭圆C: =1 的离心率是 抛物线E: x2=2y的焦点F是C的一个顶点. (1)求椭圆C的方程. (2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M. ①求证: 点M在定直线上; ②直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S1,△PDM的面积为S2,求 的最大值及取得最大值时点P的坐标. 【解题指南】 (1)由抛物线E: x2=2y的焦点F是C的一个顶点,易知b= 再由离心率可求a. (2)设出P点坐标,表示出直线l的方程,与椭圆方程联立,可求D点坐标,表示出直线OD的方程,进而可求M点纵坐标,①得以解决;结合三角形相似和基本不等式可解决②. 【解析】 (1)由题意F点的坐标为 所以b= 又e= 所以 易得a2=4b2=1,于是椭圆C的方程为x2+4y2=1. (2)①设P(2t,2t2) 则直线l的斜率kl=2t,直线l的方程为: y-2t2=2t(x-2t), 即y=2tx-2t2,将其与x2+4y2=1联立得, x2-32t3x+16t4-1=0, 则x1+x2= y1+y2=2t(x1+x2)-4t2= . 所以D 所以kOD=- 可得直线OD的方程为: y=- 由题意,xM=2t,所以yM= 所以点M在定直线y=- 上. ②由图可知,|OG|=2t2,|FG|=2t2+ 所以S1= S△DOG= . 显然,△DPM与△DGO相似,所以 S2= . 所以 . 当且仅当8t2+2=16t2+1,即t= 时,取等号.所以 的最大值为 取得最大值时点P的坐标为 . 4.(2016·山东高考文科·T21) 已知椭圆C: =1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2 . (1)求椭圆C的方程. (2)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B. ①设直线PM,QM的斜率分别为k,k',证明 为定值. ②求直线AB的斜率的最小值. 【解题指南】 (1)由长轴长为4,焦距为2 可得a=2,c= 方程易得. (2)设出点P坐标,易得点Q坐标,表示出直线PM,QM的斜率分别为k与k',它们之比易得;借助上述关系可以方便计算直线AB的斜率,此外理清直线截距与斜率k之间的关系是解决问题的又一关键. 【解析】 (1)由题意a=2,c= 所以b2=2,所以椭圆方程为 =1. (2)①由题意,设P 则Q(p,-2m), 所以 =-3为定值. ②直线PA的斜率k= 其中0 所以k>0. 将直线y=Kx+m与椭圆方程联立,可得, x2+4Kmx+2m2-4=0. 设A B 直线PA: y=kx+m,直线QB: y=-3kx+m, 分别令K=k,K=-3k可得: x1p= x2p= 所以,kAB= (当且仅当k= 时取等号). 所以,直线AB的斜率的最小值为 . 5.(2016·天津高考理科·T19)(本小题满分14分) 设椭圆 =1(a> )的右焦点为F,右顶点为A.已知 其中O为原点,e为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程. (2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(点B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围. 【解题指南】 (1)利用 得出a的值,进而得到椭圆的方程. (2)设出直线l的点斜式方程,与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系用直线l的斜率k表示出点B的坐标,利用垂直关系设出HM的方程,求出H点的坐标,利用HF⊥FB表示出M点的坐标,由∠MOA≤∠MAO知M点的横坐标大于等于1,解不等式即可. 【解析】 (1)由题意,如图所示: 已知 所以 解得a=2, 所以椭圆方程为: =1. (2)由已知,设l斜率为k(k≠0),方程为y=k(x-2). 设B(xB,yB),M(x0,k(x0-2)),x0≥1(∠MOA≤∠MAO),H(0,yH),与椭圆的方程联立可得 整理得(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0,Δ>0成立 由根与系数的关系得2·xB= 所以xB= yB=k(xB-2)= lHM: y-k(x0-2)=- (x-x0), 令x=0,得yH= x0-2k, 因为HF⊥FB,所以 =(-1,yH)·(xB-1,yB)=0, 即1-xB+yHyB=1- =0, 所以x0= ≥1,所以8k2≥3, 所以k≥ 或k≤- . 所以直线l的斜率的取值范围为(-∞, ]U[ +∞) 6.(2016·天津高考文科·T19)(本小题满分14分) 设椭圆 =1(a> )的右焦点为F,右顶点为A,已知 其中O为原点,e为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程. (2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(点B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H,若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率. 【解题指南】 (1)利用 得出a的值,进而得到椭圆的方程. (2)∠MOA=∠MAO⇔MA=MO,所以M在OA的中垂线上,所以xM=1,再利用直线与椭圆位置关系,联立方程组求B点坐标,利用两直线方程组求H,最后根据BF⊥HF,列等量关系解出直线斜率. 【解析】 (1)由题意,如图所示 已知 所以 解得a=2, 所以椭圆方程为: =1. (2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2), 设B(xB,yB),由方程组 消去y, 整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0,解得x=2或x= 由题意得xB= 从而yB= 由 (1)知F(1,0),设H(0,yH),有 =(-1,yH), = 由HF⊥FB,得 =0,所以 =0, 解得yH= 因此直线MH的方程为y=- 设M(xM,yM),由方程组 消去y,得xM= 在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔MA=MO, 即(xM-2)2+ = + 化简得xM=1,即 =1, 解得k=- 或 所以直线l的斜率为- 或 . 7.(2016·北京高考文科·T19)已知椭圆C: 过A(2,0),B(0,1)两点. (1)求椭圆C的方程及离心率. (2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证: 四边形ABNM的面积为定值. 【解题指南】 (1)把A,B两点代入可求得a,b. (2)设P(x0,y0),表示出直线AP,BP方程,求出点M,N坐标,表示出面积.再利用点P在椭圆上化简整理为定值. 【解析】 (1)把A(2,0),B(0,1)分别代入椭圆方程得a=2,b=1. 所以椭圆C的方程为 +y2=1. 因为c= = 所以离心率e= = . (2)设P(x0,y0),其中x0<0,y0<0. 则直线AP方程为y= (x-2),直线BP方程为y= x+1. 所以M N . 所以|AN|=2+ |BM|= +1. 所以四边形ABNM的面积为S= |AN||BM| = = = . 因为点P在椭圆C上,所以 =4-4 .代入上式得 S= = =2. 因此,四边形ABNM的面积为定值2. 关闭Word文档返回原板块
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