通用版版高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数8第8讲函数与方程教案理.docx
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通用版版高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数8第8讲函数与方程教案理
第8讲 函数与方程
1.函数的零点
函数零点的概念
对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
方程的根与函数零点的关系
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点
函数零点的存在定理
函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,若f(a)·f(b)<0,则y=f(x)在(a,b)内存在零点
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0),(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
两个
一个
零个
3.二分法
条件
(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上连续不断;
(2)在区间端点的函数值满足f(a)·f(b)<0
方法
不断地把函数y=f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( )
(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0.( )
(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.( )
(4)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.( )
(5)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.( )
答案:
(1)×
(2)× (3)× (4)√ (5)√
已知函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
-74
24.5
-36.7
-123.6
则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A.2个 B.3个
C.4个D.5个
解析:
选B.依题意,f
(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,根据零点存在性定理可知,f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有一个零点,故函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.
函数f(x)=x-的零点有________个.
解析:
函数f(x)=x-的零点个数是方程x-=0的解的个数,即方程x=的解的个数,也就是函数y=x与y=的图象的交点个数.在同一坐标系中作出两个函数的图象,可得交点个数为1.
答案:
1
已知函数f(x)=2ax-a+3,若∃x0∈(-1,1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是________.
解析:
依题意可得f(-1)·f
(1)<0,即(-2a-a+3)(2a-a+3)<0,解得a<-3或a>1.
答案:
(-∞,-3)∪(1,+∞)
函数零点所在区间的判断
[典例引领]
函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是( )
A.(1,2)B.(2,3)
C.(1,e)和(3,4)D.(e,+∞)
【解析】 因为f′(x)=+>0(x>0),所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(3)=ln3->0,f
(2)=ln2-1<0,所以f
(2)·f(3)<0,所以f(x)唯一的零点在区间(2,3)内.故选B.
【答案】 B
判断函数零点所在区间的方法
方法
解读
适合题型
定理法
利用函数零点的存在性定理进行判断
能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负
图象法
画出函数图象,通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
容易画出函数的图象
[通关练习]
1.在下列区间中,函数f(x)=3x-x2有零点的区间是( )
A.[0,1] B.[1,2]
C.[-2,-1]D.[-1,0]
解析:
选D.因为f(0)=1,f
(1)=2,所以f(0)f
(1)>0,
因为f
(2)=5,f
(1)=2,
所以f
(2)f
(1)>0,
因为f(-2)=-4=-,f(-1)=-1=-,
所以f(-2)f(-1)>0,
因为f(0)=1,f(-1)=-1=-,
所以f(0)f(-1)<0,
易知[-1,0]符合条件,故选D.
2.若x0是方程=x的解,则x0属于区间( )
A.B.
C.D.
解析:
选C.令g(x)=,f(x)=x,
则g(0)=1>f(0)=0,g= g=>f=, 所以由图象关系可得 函数零点个数的判断 [典例引领] (1)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( ) A.,0 B.-2,0 C.D.0 (2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x+x-3,则f(x)的零点个数为( ) A.1B.2 C.3D.4 【解析】 (1)当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0; 当x>1时,由f(x)=1+log2x=0, 解得x=, 又因为x>1, 所以此时方程无解. 综上函数f(x)的零点只有0. (2)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,所以0是函数f(x)的一个零点.当x>0时,令f(x)=2x+x-3=0,则2x=-x+3.分别作出函数y=2x和y=-x+3的图象如图所示,可得这两个函数的图象有一个交点,所以函数f(x)在(0,+∞)内有一个零点.又根据图象的对称性知,当x<0时函数f(x)也有一个零点.综上所述,f(x)的零点个数为3.故选C. 【答案】 (1)D (2)C 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点,令f(x)=0,有几个解就有几个零点; (2)零点存在性定理,要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数; (3)利用图象交点个数,作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数. [通关练习] 1.函数f(x)=的零点个数为( ) A.3B.2 C.7D.0 解析: 选B.法一: 由f(x)=0得或解得x=-2或x=e. 因此函数f(x)共有2个零点. 法二: 函数f(x)的图象如图所示, 由图象知函数f(x)共有2个零点. 2.函数f(x)=的零点个数是( ) A.0B.1 C.2D.3 解析: 选C.当x<0时,令f(x)=0,即x2+2x=0,解得x=-2,或x=0(舍去).所以当x<0时,只有一个零点;当x≥0时,f(x)=ex-x-2,而f′(x)=ex-1,显然f′(x)≥0,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,又f(0)=e0-0-2=-1<0,f (2)=e2-4>0,所以当x≥0时,函数f(x)有且只有一个零点.综上,函数f(x)只有2个零点,故选C. 函数零点的应用[学生用书P33] [典例引领] (1)(分离参数法)若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是________. (2)(数形结合思想)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是________. 【解析】 (1)因为函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点, 所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解, 即方程a=4x-2x在[-1,1]上有解. 方程a=4x-2x可变形为a=(2x-)2-, 因为x∈[-1,1], 所以2x∈, 所以-∈. 所以实数a的取值范围是. (2)函 数g(x)=f(x)-m有3个零点,转化为f(x)-m=0的根有3个,进而转化为y=f(x),y=m的交点有3个.画出函数y=f(x)的图象,则直线y=m与其有3个公共点.又抛物线顶点为(-1,1),由图可知实数m的取值范围是(0,1). 【答案】 (1) (2)(0,1) 已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法 [通关练习] 1.(2018·河南新乡模拟)若函数f(x)=log2(x+a)与g(x)=x2-(a+1)x-4(a+5)存在相同的零点,则a的值为( ) A.4或-B.4或-2 C.5或-2D.6或- 解析: 选C.g(x)=x2-(a+1)x-4(a+5)=(x+4)[x-(a+5)],令g(x)=0,得x=-4或x=a+5,则f(-4)=log2(-4+a)=0或f(a+5)=log2(2a+5)=0,解得a=5或a=-2. 2.(2018·四川绵阳模拟)函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是( ) A.(1,3)B.(1,2) C.(0,3)D.(0,2) 解析: 选C.由题意,知函数f(x)在(1,2)上单调递增,又函数一个零点在区间(1,2)内, 所以即 解得0 3.(2018·福建漳州八校联考)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个零点,则实数m的取值范围是________. 解析: 令g(x)=f(x)-m=0,得f(x)=m,则函数g(x)=f(x)-m有三个零点等价于函数f(x)与y=m的图象有三个不同的交点,作出函数f(x)的图象如图: 当x≤0时,f(x)=x2+x=-≥-,若函数f(x)与y=m的图象有三个不同的交点,则- 答案: 明确三个等价关系(三者相互转化) 函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标,实质是同一个问题的三种不同表达形式,方程根的个数就是相应函数的零点的个数,亦即该函数的图象与x轴交点的个数. 如: 二次函数零点问题常转化为二次方程根的分布问题来解决,结合二次函数的图象从根的判别式、对称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件. 函数的对称性与函数零点之和 已知x0为函数f(x)的零点. (1)若函数f(x)为奇函数,则-x0也为函数f(x)的零点,故奇函数的所有零点之和为0. (2)若函数f(x)为偶函数,则-x0也为函数f(x)的零点,故偶函数的所有零点之和为0. (3)若函数f(x)的图象关于直线x=b对称,则2b-x0也为函数f(x)的零点,若该函数有2n个零点,则该函数所有零点之和为2nb. 易误防范 (1)函数f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)=0的根,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标. (2)函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件. 1.(2018·湖北襄阳四校联考)函数f(x)=3x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2D.3 解析: 选B.由题意知f(x)单调递增,且f(0)=1+0-2=-1<0,f (1)=3+1-2=2>0,即f(0)·f (1)<0且函数f(x)在(0,1)内连续不断,所以f(x)在区间(0,1)内有一个零点. 2.已知实数a>1,0 A.(-2,-1)B.(-1,0) C.(0,1)D.(1,2) 解析: 选B.因为a>1,00,由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点. 3.(2018·辽宁大连模拟)已知偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(x)=x2-3x(x≥0),若函数g(x)=则y=f(x)-g(x)的零点个数为( ) A.1B.3 C.2D.4 解析: 选B.作出函数f(x)与g(x)的图象如图,由图象可知两个函数有3个不同的交点,所以函数y=f(x)-g(x)有3个零点,故选B. 4.(2018·云南省第一次统一检测)已知a,b,c,d都是常数,a>b,c>d.若f(x)=2017-(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是( ) A.a>c>b>dB.a>b>c>d C.c>d>a>bD.c>a>b>d 解析: 选D. f(x)=2017-(x-a)(x-b)=-x2+(a+b)x-ab+2017,又f(a)=f(b)=2017,c,d为函数f(x)的零点,且a>b,c>d,所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象,如图所示,由图可知c>a>b>d,故选D. 5.(2018·河北承德模拟)若函数f(x)=有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( ) A. B. C.(-∞,0)∪ D.(-∞,0)∪ 解析: 选B.由题意知,当x≤0时,函数f(x)有1个零点,即2x-2a=0在x≤0上有根,所以0<2a≤1解得00时函数f(x)有2个零点,只需解得a>,综上可得实数a的取值范围是 6.(2018·河北石家庄模拟)若函数f(x)=m+的零点是-2,则实数m=________. 解析: 依题意有f(-2)=m+=0,解得m=-9. 答案: -9 7.设函数y=x3与y=的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是________. 解析: 设f(x)=x3-,则x0是函数f(x)的零点,在同一坐标系下画出函数y=x3与y= 的图象如图所示. 因为f (1)=1-=-1<0,f (2)=8-=7>0,所以f (1)f (2)<0,所以x0∈(1,2). 答案: (1,2) 8.已知函数f(x)=有两个零点,则实数a的取值范围是________. 解析: 当x<1时,显然函数f(x)存在唯一零点x=0,所以当x≥1时,函数f(x)存在唯一零点,又因为y=2x在[1,+∞)上单调递增且值域为[2,+∞),所以a的取值范围为[2,+∞). 答案: [2,+∞) 9.设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0). (1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点; (2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围. 解: (1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3或x=-1. 所以函数f(x)的零点为3或-1. (2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同实根,所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以有(-4a)2-4×(4a)<0⇒a2-a<0,解得0 10.设函数f(x)=(x>0). (1)作出函数f(x)的图象; (2)当0 (3)若方程f(x)=m有两个不相等的正根,求m的取值范围. 解: (1)如图所示. (2)因为f(x)= = 故f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数,
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