湖南省衡阳市届高三第三次联考三模数学理试题解析版.docx
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湖南省衡阳市届高三第三次联考三模数学理试题解析版
2019年湖南省衡阳市高考数学三模试卷(理科)
一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)
1.已知i是虚数单位,复数i•z=1-2i,则复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.若集合,则实数a的值为( )
A.B.2C.D.1
3.若双曲线x2-ty2=3t的焦距为6,则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
4.已知某批电子产品的尺寸服从正态分布N(1,4),从中随机取一件,其尺寸落在区间 (3,5)的概率为
(附:
若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9545)( )
A.B.C.D.
5.若,则cos(30°-2α)=( )
A.B.C.D.
6.
著名的“3n+1猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换,最终都会变成1.如图的程序框图示意了3n+1猜想,则输出的n为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
7.已知正项等比数列{an}满足a1-a2=8,a3-a4=2,若a1a2a3…an=1,则n为( )
A.5B.6C.9D.10
8.设两直线l1:
x-2y-2=0与l2:
ax+y+1=0垂直,则的展开式中x2的系数为( )
A.12B.3C.D.
9.函数f(x)=|x|+(其中a∈R)的图象不可能是( )
A.
B.
C.
D.
10.已知一个几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积为,则a的值为( )
A.
B.
C.
D.
11.已知函数f(x)=ex-(a-1)x-1(e为自然对数的底数),若∃x0∈(0,+∞),使得f(lgx0)>f(x0)成立,则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
12.已知点R(1,2),曲线C:
y4=(px)2(p>0)),直线m>0,m≠2)与曲线C交于M,N两点,若△RMN周长的最小值为2,则p的值为( )
A.8B.6C.4D.2
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.已知向量,若,则λ=______.
14.
如图,茎叶图表示甲、乙两人在5次测验中的数学分数,其中有一个被污损,若乙的中位数恰好等于甲的平均数,则•的值为______
15.若x,y满足约束条件,则z=2x+3y的最大值为______.
16.已知数列{an}满足对∀m,n∈N*,都有am+an=an+m成立,,函数,记yn=f(an),则数列{yn}的前13项和为______.
三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)
17.已知函数的最大值为1.
(1)求t的值;
(2)已知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a、b、c,若,三角形△ABC的面积为,且,求b+c的值.
18.
如图,四棱锥M-ABCD中,AB=2DC,∠CDA=∠DAB=90°,△MCD与△MAD都是等边三角形,且点M在底面ABCD的投影为O.
(1)证明:
O为AC的中点;
(2)求二面角D-MC-B的余弦值.
19.
某人经营淡水池塘养草鱼,根据过去40期的养殖档案,该池塘的养殖重量X(百斤)都在20百斤以上,其中不足40百斤的有8期,不低于40百斤且不超过60百斤的有20期,超过60百斤的有12期.根据统计,该池塘的草鱼重量的增加量y(百斤)与使用某种饵料的质量x(百斤)之间的关系如图所示.
(1)根据数据可知y与x具有线性相关关系,请建立y关于x的回归方程
=
x
;如果此人设想使用某种饵料10百斤时,草鱼重量的增加量须多于5百斤,请根据回归方程计算,确定此方案是否可行?
并说明理由.
(2)养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高,某商家为该养殖户提供收费服务,即提供不超过3台增氧冲水机,每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X有如下关系:
鱼的重量(单位:
百斤)
20<X<40
40≤X≤60
X>60
冲水机只需运行台数
1
2
3
若某台增氧冲水机运行,则商家每期可获利5千元;若某台冲水机未运行,则商家每期亏损2千元.视频率为概率,商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大,应提供几台增氧冲水机?
附:
对于一组数据(x1,y1),(x2,y2)…(xn,yn),其回归方程
=
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
==,
=
.
20.已知以椭圆C:
的一个焦点,短轴的一个端点和坐标原点为顶点的三角形为等腰三角形,且点在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点T作圆x2+y2=2的切线,切点分别为A、B,直线AB与x轴交于点E,过点E作直线l交椭圆C于M,N两点,点E关于y轴的对称点为Q,求△QMN面积的最大值.
21.已知函数f(x)=ex(ax2+x+a2)存在极大值与极小值,且在x=-1处取得极小值.
(1)求实数a的值;
(2)若函数g(x)=f(x)-2x-m有两个零点,求实数m的取值范围.(参考数据:
)
22.已知直线l:
为参数),在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为4ρ2+5ρ2cos2θ-36=0.
(1)求曲线C的参数方程和直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点M作与l夹角为60°的直线,交l于点N,求MN的最小值.
23.已知不等式2|x|-|2x-3|>1的解集为 A.
(1)求A;
(2)若m,n∈A,且m+n=4.证明:
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解:
复数i•z=1-2i,∴-i•i•z=-i(1-2i),z=-2-i,
则复数z在复平面内对应的点(-2,-1)位于第三象限.
故选:
C.
利用复数的运算法则、几何意义即可得出.
本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
2.【答案】A
【解析】
解:
由2x>2
,解得x>
;
由
(x-a)<0的解集为{x|x>a+1},
令a+1=
,解得a=
.
故选:
A.
根据指数函数与对数函数的性质,列方程求出a的值.
本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用问题,是基础题.
3.【答案】B
【解析】
解:
双曲线x2-ty2=3t的标准方程为:
,所以a2=3t,b2=3,
∴c2=3t+3=9,解得t=2,所以双曲线的离心率为:
e=
=
=
.
故选:
B.
利用已知条件,列出方程,转化求解即可.
本题考查双曲线的离心率的求法,简单性质的应用,是基本知识的考查.
4.【答案】C
【解析】
解:
由已知,得μ=1,σ=2,
P(3<X<5)=P(μ+σ<X<μ-σ)=
.
故选:
C.
由已知可得μ=1,σ=2,再由P(3<X<5)=P(μ+σ<X<μ-σ)求解.
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量μ和σ的应用,考查曲线的对称性,属于基础题.
5.【答案】D
【解析】
解:
∵
,则cos(30°-2α)=-cos(150°+2α)=-[1-2sin2(75°+2α)]=-
,
故选:
D.
由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式,求得要求式子的值.
本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用,属于基础题.
6.【答案】B
【解析】
解:
a=10是偶数,a=5,n=1,a>1否,
a=5,a=5是奇数,a=16,n=2,a>1.
a=16是偶数,a=8,n=3,a=8是偶数,a=4,n=4,a>1,
a=4是偶数,a=2,n=5,a>1,
a=2是偶数,a=1,n=6,a>1不成立,
输出n=6,
故选:
B.
根据程序框图进行模拟运算即可.
本题主要考查程序框图的识别和判断,利用模拟运算法是解决本题的关键.比较基础.
7.【答案】C
【解析】
解:
正项等比数列{an}满足a1-a2=8,a3-a4=2,可得
=
,∴q2=
,q>0,解得q=
,代入a1-a2=8,可得a1=16,a1a2a3…an=1,可得(a1an)n=1,所以a1an=1,a12qn-1=1,
∴
=1,解得n=9.
故选:
C.
利用已知条件求出对比以及数列的首项,通过a1a2a3…an=1,转化求出n的表达式,求解即可.
本题考查数列的递推关系式以及等比数列的性质的应用,考查转化思想以及计算能力.
8.【答案】D
【解析】
解:
∵两直线l1:
x-2y-2=0与l2:
ax+y+1=0垂直,∴
•(-a)=-1,求得a=2.
则
=
=
,故它的展开式中x2的系数为
=
,
故选:
D.
利用两条直线垂直的性质,求得a的值,根据则
=
,利用通项公式求的它的展开式中x2的系数.
本题主要考查两条直线垂直的性质,二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,属于基础题.
9.【答案】C
【解析】
解:
当a=0时,f(x)=|x|,且x≠0,故A符合,
当x>0时,且a>0时,f(x)=x+
≥2
,当x<0时,且a>0时,f(x)=-x+
在(-∞,0)上为减函数,故B符合,
当x<0时,且a<0时,f(x)=-x+
≥2
=2
,当x>0时,且a<0时,f(x)=x+
在(0,+∞)上为增函数,故D符合,
故选:
C.
分三种情况讨论,根据函数的单调性和基本不等式即可判断.
本题考查了函数图象的识别,关键是分类讨论,利用基本不等式和函数的单调性,属于中档题.
10.【答案】A
【解析】
解:
由三视图可知,几何体的直观图如图:
是一个三棱锥和一个三棱柱的组合体,底面都是
的等腰直角三角形,高为a,所以体积为:
,解得a=
.
故选:
A.
画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的体积即可.
本题考查三视图求解几何体的体积,判断几何体的形状是解题的关键.
11.【答案】D
【解析】
解:
∵lgx0<x0;
∴要满足∃x0∈(0,+∞),使f(lgx0)>f(x0),则:
函数f(x)为减函数或函数f(x)存在极值点;
∵f′(x)=ex-(a-1);
x∈(0,+∞)时,f′(x)≤0不恒成立,即f(x)不是减函数;
∴只能f(x)存在极值点,∴f′(x)=0有解,即a-1=ex有解;
∴a∈(2,+∞);
即a的取值范围为(2,+∞).
故选:
D.
可知lgx0<x0,从而根据条件便可判断f(x)为减函数或存在极值点,求导数f′(x)=ex-a+1,从而可判断f(x)不可能为减函数,只能存在极值点,从而方程a-1=ex有解,这样由指数函数y=ex的单调性即可得出a的取值范围.
考查函数y=lgx和y=x图象的位置关系,减函数的定义,函数极值和极值点的定义,以及指数函数的单调性.
12.【答案】B
【解析】
解:
由题意得曲线C是由两抛物线y2=px和y2=-px构成,
设MN与y轴交点为D,抛物线y2=-px的焦点为F,
则△RMN的周长为2(MR+MD)=2(RM+MF-
)≥2(RF-
)=2,
当M,R,F三点共线时取最小值,
∴2
-
=2,∴p=6.
故选:
B.
曲线C是由两抛物线y2=px和y2=-px构成,设MN与y轴交点为D,抛物线y2=-px的焦点为
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- 湖南省 衡阳市 届高三 第三次 联考 三模数 学理 试题 解析