北京市东城区示范校届高中三年级上学期综合能力测试数学文试题.docx
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北京市东城区示范校届高中三年级上学期综合能力测试数学文试题
北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试
数学试卷(文科)
本试卷分第I卷和第II卷两部分,共150分。
考试时长120分钟。
第I卷(选择题共40分)
符合题目要求的一项)
2.已知复数z^a2i,z2=1-2i,若■Z1是纯虚数,贝U实数a的值为()
Z2
兀1
3.'X”是Cosx二1”成立的
32
判断条件是()
面积是()
6.已知fx=2|x|-x2a有唯一的零点,贝U实数a的值为()
....222
7.如图,直线y=x-2与圆xy-4x3=0及抛物线y=8x依次交于A、B、C、
D四点,则|AB||CD尸()
立,贝U实数a的取值范围是()
B.--,0C.0,2D.-2,0
第II卷(非选择题共110分)
二、填空题。
(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
x-y1_0,
9.不等式组 _ x<1 10.设平面向量a=(1,2),b=(—2,y),若a丄b,则|2a—b|=。 11.在等差数列£>中,印=3,a"2,则+…七3.卅=。 12.直线x-J3y-4=0被圆(x-2f+y2=4截得的弦长为。 _ 7f兀) 13.已知0£x£71,且sin2x=-——,则sin—一x[的值为。 25<4丿 14.已知数集A=2“a2,a3,a4,a5}0乞a_j: : : a2: : : a3: : : a4: : : a5具有性质P: 对任意 i,j€Z,其中1兰i^j兰5,均有a」—a属于a,若a^60,则。 _ 三、解答题。 (本大题共6小题,共80分。 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 15.(本小题共13分) 设数列乳'的前n项和为Sn,且Sn=2an-1n=1,2,…。 (I)求数列Qn'的通项公式; (II)若数列h{满足bnd=an■bnn=1,2,■-,0=2,求数列b匚的通项公式。 16.(本小题共13分) 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,满足c=1,且 cosBsinC-a-sinBcosC二0。 (I)求c的大小; (II)求a2b2的最大值,并求取得最大值时角A,B的值。 17.(本小题共14分) 如图,将矩形ABCD沿对角线BD把厶ABD折起,使A点移到A点,且A在平面BCD 上的射影0恰好在CD上。 (I)求证: BC丄AD; (II)求证: 平面ACD丄平面ABC; (III)若AB=10,BC=6,求三棱锥A-BCD的体积。 18.(本小题共13分) 设aR,已知函数fx二ax3-3x2。 (I)当a=1时,求函数fx的单调区间; (II)若对任意的x1,31有fxfx-0恒成立,求实数a的取值范围。 19.(本小题共13分) x2y2 已知椭圆W: 21的左焦点为Fm,0,过点M(-3,0)作一条斜率 2m+10m-2 大于0的直线I与W交于不同的两点A、B,延长BF交W于点C。 (I)求椭圆W的离心率; (II)求证: 点A与点C关于x轴对称。 20.(本小题共14分) 已知定义在1,上的函数fx=x-Inx-2,gx=xlnx■x (I)求证: fx存在唯一的零点,且零点属于(3,4); (II)若k,Z,且gxkx-1对任意的x-1恒成立,求k的最大值。 参考答案: 15.(共13分) 则Sn1-2anj-1n=2,3,…, 所以当n亠2时,an=Sn-Sn4=2an-2an4, 整理得an=2an」, 由Sn-2anT,令n=1,得-2a1-1,解得a .-n_1 (II)因为an=2, 由累加得b^b1b2-bi-b3-b2 n-4 =2口2n41,n一2, 1-2 当n=1时也满足,所以bn=2n_1°(13分) 16.(共13分) 解: (I)由cosBsinC「[a-sinBcosC^O,得 sinA=acosC, 又c=1,所以csinA二acosC 由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC。 因为0: : : A二,所以sinA0,从而sinC=cosC,即C=—。 (6分) 4 (ll)由余弦定理a2+b2—2abcosC=c2,得a2+b2—j2ab=1, a22(0、 又ab兰,所以1|(a2+b2)兰1,于是a2+b2兰2+J2。 2l2丿 当a二B=? 二时,a2b2取得最大值22(13分) 8 17.(共14分) 解: (I)因为A在平面BCD上的射影O在CD上, 所以AO丄平面BCD。 又BC平面BCD, 所以BC丄AO。 又BC丄CO,CO「AO=O, CO平面ACD,AO平面ACD, 所以BC丄平面ACD。 又AD平面ACD, 所以BC—AD。 (5分) (II)因为矩形ABCD, 所以A,D丄A1B。 由(I)知BC丄AD。 又BC「AB二B,BC平面ABC,A1B平面ABC, 所以AD_平面ABC。 又a(d平面acd, 所以平面ABC_平面ACD。 (10分) (III)因为AD_平面ABC, 所以ad_ac。 因为CD=10,ad=6,所以AC=8。 11 所以VapcdhVd^bc686=48。 (14分) 18.(共13分) 解: (I)当a=1时,fx=x3-3x2, 贝Ufx=3x2-6x, 由fx•0,得x: 0,或x2, 由厂x<0,得0: : : x: : : 2, 所以fx的单调递增区间为-二,0,2,•,单调递减区间为(0,2)。 (6分) (II)依题意,对一x1,3】,ax3-3x23ax2-6x乞0, 2 3x2+6x3x+6ri 这等价于,不等式a乞-t=丁一对x•1,3】恒成立。 所以hx的最小值为h3=5 6 19. (共13分) 解: (I)由题意2m10]im2-2m2m: : 0, 解得m--2。 22 所以椭圆W: xy1。 .6 62 ty V '丿 o 3 (5分) (II)设直线l的方程为y二kx•3。 y=kx3,联立k2y2 —1 .62 得13k2x218k2x-27k2-6=0。 由直线l与椭圆W交于A、B两点,可知 △=(18k22—41+3k2【27k2—6)a0,解得k2<2。 3 设点A,B的坐标分别为(yj,x2,y2, 22 nt丄—18k27k-6 则x「X22,人X2厂, 1+3k1+3k y^i=kXj3,y2=kx23。 因为F(-2,0),设点A关于x轴的对称点为C',则C'%,-yi), 所以FC: =%2,-%,FB=x22,y2。 又因为x12y^x221-y1 二x12kx2'x22kx13 =k2x1x25%x2〕亠121 =k严―严+竺+初 [1+3k1+3k一 k54k2-12-90k21236k2n 13k 所以B,F,C共线,从而C与C重合,故点A与点C关于x轴对称。 (13分) 20.(共14分) 1x_1 解: (I)由fx=x-lnx-2,可得「X】=10, Xx 故fX在1,•: : 上单调递增, 而f3=1-1n3: 0,f4=2-1n40, 所以fx存在唯一的零点X。 •3,4。 (7分) (II)由(I)fx存在唯一的零点x°显然满足: x°-1nx0-2=0,且当1,x°时, fx: fx0=0;当xx0,亠]时,fx]>fx0=0。 当x1时,gxkx-1等价于仝虫仝xk。 x—1 设hx二沁」, x—1 贝yhx=-—=fx2,故hx与fx同号, (X-12(X-1)2 因此当X•1,X0时,hx: 0;当X•x°,•: : 时,hx0。 所以hx在1,x0上单调递减,在x°,*上单调递增, 故h(xL=h(x)=X0(ln"「。 仪。 -门 FJXmin0q。 X°-1X。 -1 由题意有k (14分) .专业资料.
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- 北京市 东城区 示范 高中 三年级 上学 综合 能力 测试 数学 试题