江苏省南京师范大学附属中学学年高一第一学期期中考试数学试题.docx
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江苏省南京师范大学附属中学学年高一第一学期期中考试数学试题
南师附中2020-2021学年度第一学期期中高一数学
一、单项选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40
分,请把答案直接填写在答题卡相应位置上
1.已知全集U={-1,0,1,2},A={-1,1},则集合UA=().
A.{0,2}
B.{-1,0}
C.{0,1}
D.{1,2}
2.“x=1”是“x2-5x+4=0”的()
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
3.命题“∃x∈R,x2-x-1>0”的否定是().
A.∃x∈R,x2-x-1<0
C.∀x∈R,x2-x-1≤0
B.∃x∈R,x2-x-1≤0
D.∀x∈R,x2-x-1>0
4.已知x2+x-2=3,则x+x-1的值为().
A.B.1C.
⎧2x-x2,0≤x≤3
±D.±1
⎨
5.函数f(x)=⎪1
⎪⎩x,
x<0
的值域为().
A.[-3,1]
B.(-∞,0)
C.(-∞,1)
D.(-∞,1]
6.下列四组函数中,f(x)与g(x)(或g(t))表示同一个函数的是()
A.f(x)=
C.f(x)=
g(x)=x
x2+x-2
gx=x+2
x-1
B.f(x)=
D.f(x)=x
g(t)=(
g(t)=
t)2
7.已知实数a>0,b>0,且1+1
=1,则a+2b的最小值为().
A.3+2
x3
ab+1
B.2+1
C.4D.3+35
22
8.函数f(x)=x2-1的图像大致为().
ABCD.
求,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.设集合A={xx2-2x=0},则下列表述不正确的是().
A.{0}∈A
B.2∉A
C.{2}∈A
D.0∈A
10.下列四个条件中,能成为x>y的充分不必要条件的是()
A.xt2>yt2B.xt>yt
C.x>y
D.0<1<1
xy
11.下列命题中是真命题的有().
A.若函数f(x)在(-∞,0]和(0,+∞)上都单调递增,则f(x)在R上单调递增;
B.
⎨0,x为无理数
狄利克雷函数f(x)=⎧1,x为有理数在任意一个区间都不单调;
⎩
C.若函数f(x)是奇函数,则一定有f(0)=0;
D.若函数f(x)是偶函数,则可能有f(0)=0;
12.已知a>1,b>1,且ab-(a+b)=1,那么下列结论正确的有().
A.a+b有最大值2+2B.a+b有最小值2+2
C.ab有最大值+1D.ab有最小值2+3
三、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案直接填写在答题卡相应位置上
⎧0,x>0
13.已知f(x)=⎪-1,x=0
⎪3x-2,x<0
,则f(f(f(6)))=.
14.已知函数f(x)=ax5+bx3+c+7,f(-3)=5,则f(3)=.
x
15.某水果店申报网上销售水果价格如下:
梨子60元/盒,桔子65元/盒,水蜜桃80元/盒,荔枝90元/盒,为增加销量,店主对这四种水果进行促销:
一次性购买水果总价达到120元,顾客就少付x元,每笔订单顾客网上支付成功后,店主会得到支付的80%.
①x=10时,顾客一次性购买梨子、水蜜桃各一盒,需要支付元;
②在促销活动中,为保证店主每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折(即70%),则x的最大值是.
16.f(x)为定义在R上的偶函数,g(x)=f(x)-2x2在区间[0,+∞)上是增函数,则不等式
f(x+1)-f(x+2)>-4x-6的解集为.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分,请把答案填写在答题卡相应位置上
17.(本小题满分10分)
2
2
已知a,b均为正数,证明:
a+b≥a+b.
ba
18.(本小题满分12分)计算:
-1
⑴eln2+⎛4⎫2+5-32;
⎝⎭
23
⑵(lg2)2+lg5⋅lg20+log3⋅log4.
19.(本小题满分12分)
已知二次函数f(x)的值域为[-4,+∞),且不等式f(x)<0的解集为(-1,3).
⑴求f(x)的解析式;
⑵若对于任意的x∈[-2,2],都有f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围.
20.(本小题满分12分)
某小区为了扩大绿化面积,规划沿着围墙(足够长)边画出一DC
块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建花圃,规定ABCD的每条边长不超过20米.如图所示,要求矩形区域EFGH用来种花,且点A,B,E,F四点共线,阴影部分为1米宽的种草区域.设AB=x米,种花区域EFGH的面积为S平方米.
⑴将S表示为x的函数;
⑵求S的最大值.
21.(本小题满分12分)已知集合A={y|y=
4x-x2},集合B={x|x2-x+a-a2<0}.
⑴若AB=A,求a的取值范围;
⑵在AB中有且仅有两个整数,求a的取值范围.
22.(本小题满分12分)
设f(x)=x+a(x>0,a为大于0的常数)
x
⑴若f(x)的最小值为4,求a的值;
⎣
⑵用定义证明:
f(x)在⎡
a,+∞)上是增函数;
⑶在⑴的条件下,当x>1时,都有f(x)>m-m+1恒成立,求实数m的取值范围.
x
【答案】A;
【解析】由补集定义知选A.2.
【答案】B;
【解析】因为{1}是{xx2-5x+4=0}的真子集,所以“x=1”是“x2-5x+4=0”的充分不必要条件.
3.
【答案】C;
【解析】存在量词命题的否定,需要把存在量词改成全称量词,并否定后面的结论,故选C.4.
【答案】C;
【解析】由(x+x-1)2=x2+x-2+2=5,知x+x-1=±
5.
【答案】D;
5,故选C.
【解析】当x<0时,f(x)=1单调递减,范围为(-∞,0),当0≤x≤3时,f(x)=2x-x2在[0,1]上单调递
x
增,在[1,3]上单调递减,范围是[-3,1],所以函数值域为(-∞,1],故选D.
6.
【答案】D;
【解析】A选项,f(x)=x,故错误;B选项,定义域不同,故错误;C选项,定义域不同,故错误;D选项,是同一函数,故选D.
7.
【答案】B;
⎝⎭
【解析】a+2b=a+2(b+1)-2=⎛1+1⎫⎡a+2(b+1)⎤-2=3+2(b+1)+a-2≥22+1,当且仅当
a=1+
8.
2且b=
çab+1⎪⎣⎦
2时等号成立,故选B.
2
ab+1
【答案】A;
【解析】f(x)定义域为(-∞,-1)(-1,1)(1,+∞),是奇函数,当x→+∞时,f(x)→+∞,故选A.
【答案】ABC;
【解析】A={0,2},故选ABC.10.
【答案】ACD;
【解析】A选项,若xt2>yt2,则t2≠0,则x>y,反之不成立,A正确;
B选项,当t<0时,x C选项,若x>y,由y≥y,则x>y,反之不成立,C正确; D选项,f(x)=1在(0,+∞)单调递减,若0<1<1,则x>y,反之不成立,D正确; xxy 故选ACD. 11. 【答案】BD; ⎩ 【解析】A选项,若f(x)=⎧ x,x≤0 是一个反例,A错误; 12. ⎨lnx,x>0 B选项,在任意区间I上总可以取x1,x2∈Q,使f(x1)=f(x2),则f(x)在I上不单调,B正确; C选项,f(x)=1是一个反例,C错误; x D选项,f(x)=x2符合要求,D正确;故选BD. 【答案】BD; 【解析】法一: 令a+b=s,ab=t,由题意可得s>2,t>1,t-s=1, 由基本不等式s≥2t, 则t-1≥2 ,由t>1可得t2-2t+1≥4t,则t≥3+2 ,a=b= 2+1取等; s≥2 s+1,由s>2可得s2-4s-4≥0,则s≥2+2 ,a=b= 2+1取等; 故选BD;法二: 由ab-(a+b)=1可得(a-1)(b-1)=2,令m=a-1>0,n=b-1>0, 则a+b=m+n+2≥2+2 =2+2 ,m=n= 2取等; ab=(m+1)(n+1)=mn+m+n+1=3+m+n≥3+2 故选BD. ,m=n= 2取等; 【答案】-5; 【解析】f(f(f(6)))=f(f(0))=f(-1)=-5. 14. 【答案】9; 【解析】f(3)+f(-3)=7+7=14,所以f(3)=14-5=9. 15. 【答案】130;15. 【解析】①60+80-10=130; ②由题意可知,购买总价刚好为120元时,折扣比例最高,此时有0.8⨯(120-x)≥0.7⨯120, 解得x≤15. 16. 【答案】⎛-∞,-3⎫; ç2⎪ ⎝⎭ 【解析】由f(x)为偶函数,可知g(x)也为偶函数,且在R上先减再增,由f(x+1)-f(x+2)>-4x-6, 可知f(x+1)-2(x+1)2>f(x+2)-2(x+2)2,即g(x+1)>g(x+2), 可知x+1>x+2,解得x<-3. 2 17. 【答案】详见解析. 【解析】法一: 由基本不等式可得, 22 b++a≥2 a ⨯b+2 =2(a+b), bab ⎧a2= 当且仅当⎪b b2 = ⎩a 则原式得证. b ,即a=b时取等, a 22 法二: ç⎪(a+b)=a 2+b2 +a3+b3 ⎝ba⎭ba 由a>0,b>0,可得a+b>0,b0,a>0,ab>0, ab ⎛a2 则ç+ 2 ⎪(a+b)≥a 2+b2+2 =a2+b2 +2ab=(a+b)2, ⎝ba⎭ 2 由a+b>0可得a+b≥a+ ba a2b2 a2-b2 b2-a2 (a-b)(a2-b2)(a-b)2(a+b) 法三: +-(a+b)=+==, babaabab 22 由a>0,b>0可得a+b-(a+b)≥0即a+b≥a+b. baba 18. 【答案】⑴3;⑵3. 2 【解析】⑴ -1 eln2+⎛4⎫2+ ⎝⎭ =2+3-2=3; 22 23 ⑵(lg2)2+lg5⋅lg20+log3⋅log4=(lg2+lg5)2+2=3. 19. 【答案】⑴ f(x)=x2-2x-3;⑵ m<-7. 【解析】⑴设f(x)=ax2+bx+c,由题意可知: ⎧f(-1)=a-b+c=0 ⎧a=1 ⎪f(3)=9a+3b+c=0,解得⎪b=-2,即f(x)=x2-2x-3; ⎨ ⎪f (1)=a+b+c=-4 ⎨ ⎪c=-3 ⑵m 当x∈[-2,2],可知g(x)∈[-7,9], 故m<-7. 20. 【答案】⑴ S=102-200-x(5≤x≤20);⑵S的最大值为102-202. x 【解析】⑴因为AB=x, 所以AD=100,EF=x-2,FG=100-1; xx 所以S=(x-2)⎛100-1⎫=102-200-x çx⎪x ⎝⎭ 因为0 xx ⑵S≤102-2 =102-20 ,当且仅当x=102时取等 所以S的最大值为102-202. 21. 【答案】⑴0≤a≤1;⑵[-1,0)(1,2]; 【解析】⑴因为A 所以B⊆A, 因为4x-x2≤4,所以A=[0,2]; 集合B的不等式可化为(x+a-1)(x-a)<0, ①B=∅,即∆≤0,解得a=1,符合; 2 ②B≠∅,即a≠1时,此时0≤a≤2,0≤1-a≤2,解得0≤a≤1且a≠1; 22 综上0≤a≤1; ⑵集合A中有三个整数0,1,2,B={x|(x-a)(x+a-1)<0}; 由AB中有且仅有两个整数,可得B中有0,1,2中的两个整数; a<1-a即a<1时,B=(a,1-a), 2 则B中整数仅有有0,1或仅有1,2, 若仅有0,1,则-1≤a<0,1<1-a≤2,解得-1≤a<0;若仅有1,2,则0≤a<1,2<1-a≤3,无解; a=1-a即a=1时,B=∅,不满足题意; 2 a>1-a即a>1时,B=(1-a,a), 2 则B中整数仅有有0,1或仅有1,2,
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- 江苏省 南京师范大学 附属中学 学年 第一 学期 期中考试 数学试题