流体力学习题0001.docx

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流体力学习题0001

P125第五章习题

5-1流速为u°=10m/s沿正向的均匀流与位于原点的点涡叠加。

已知驻点位于（0,5），试

求

（1）点涡的强度；

（2）点（0,5）的流速；（3）通过驻点（0,-5）的流线方程。

100

尹5代入Vr，V

vrv0cos

负号表示以逆时针方向为正

（3）通过驻点（0，5）的流线方程

均匀流与位于原点点涡叠加后的流函数

即

0y50lnr5050ln5

y50lnr5ln550r

y5ln50

5

1.8kg/m3，流场中（0,

汇位于（2，0）点，其流量为240m3/s，已知流体密度为

0）点的压力为0，试求点（0，1）和（1，1）的流速和压力。

解：

平面势流点源和点汇构成的速度势为:

（1）则点

（

0，1）

的速度为：

10

01

20

02

10

1

20

2

13

u

—

八2丄2

2丄2

—

—

—

（m/s）

（0

1）1

（0

2）1

2

5

10

1

20

1

10

1

20

2

1…、

⑵

V

..2.2

2丄2

（m/s）

（0

1）1

（0

2）1

2

5

因为全流场中任意一点满足伯努力方程的拉格朗日形式（p72,）即

则（0，0），（0，1），（1，1

）都满足上式，因P（0,0）0

V（0,0）u（0,0）

01200220“，、（01）20（02）20ms

因:

2

V（0,0）

P（0,0）

v（0,1）P（0,1）

2

z（0,0）

2

z（0,1）

（1,

1）点

流速与压力

u（1,1）

10

11

20

12

（11）2

12（1

2）212

V（1,1）

10

1

20

1

（11）2

12（1

2）212

2

v（0,0）

P（0,0）

v（1,1）%）

2

z（0,0）

2

z（1,1）

202

（-）2

（上）2（8）2

P（1,1）1

2

2

400

260

2

2

1R1’1）

2

70,

F?

1,1）

10.97（N/

2、

21

P1,1）

m）

（2）

10

10

5-3

直径为2m

四点的绝对压力驻点的位置以及

19.17（N/m2）

20

14（m/s）

20

—（m/s）

的圆柱体在水下深度为H=10m以平移速度u0运动,

（2）若圆柱体运动的同时还受到本身轴线以角速度B、D两点的速度和压力。

试求

（1）A、B、C、D

60r/min转动，试决定

此时若水深增至100m，求产生空泡时的速度（注:

..32

温度为15c时，水的饱和蒸汽压力为2.33210N/m。

）

—=一一

亠A⑴

I

H

u0弋尸

D

（1）等效于：

均匀流+偶极

偶极强度：

M2v0a2

2

a1m,v0u010m/s,M2v0a20

代入r=a的圆柱表面的速度分布为:

PqP0

53

hg1.01310109.8110

1.994

105（帕）

注：

Po取1标准大气压

若取P0为一个工程大气压：

P00.981105Pa

均匀流与偶极叠加的速度势:

v0rcos

M

2

cos

r

M

2

VrV0

r

cos

cos

v0cos（12）

2

2r

1

sin（1

2a

V-——

V0

2）

r

r

PAFBghFBPAgR（静止状态，液体静力学方程）

A、B两点列伯努力方程

gZAPa1vAPB1VB

22

gzB

Za0,zBR,Va0,vB

2v0

PaPb1（2Vo）2gR

2

Pb

Pa1

2

4v；

gR

246.2

103

1103

2

4102

3

109.811

246.2

103

3

20010

9.81

103

36.4103（N/m2）

A、D列伯努力方程

12

gRPaPd-（2Vo）2

2

12

PdgRPa（2Vo）2

246.21031039.811-1034102

2

56.1103（N/m2）

PAPC246.2103（N/m2）

（2）等效于绕圆柱有环量流动

2a2

60r/min

60

/602

（rad/s）

1m,

（2）2

Vr

v0cos

速度分布:

圆柱表面

（1

v°sin

r=a上速度分布为:

2

寺）

（1

vr0

2v0sin

假设无穷远处

PP0,vv0由定常运动的伯努力方程的圆柱表面压力分布为:

（质量力忽略不计）

P0扌

2v0sin

Po

2

2

105

A:

1039.81

va

101.962105（N/m2）

2v0sin

色丄6.28m/s

21

B:

Vb

2v°sin

2V0

1

（2）2

2

26.28m/s

C:

Vc

2v0sin

6.28m/s

D:

Vc

2v0sin

2v°

（1）

（2）2

1

13.72m/s

列A、B两点伯努力方程

PbP02

1v2

2

vb

gR

2

va

5

1.962105

103

102

32

10326.282

103

9.81

11036.282

2

驻点位置:

v2v0sin

2v0sin

210sin

sin

0

2a

（2）2

21

2-…

0.314

20

arcsin（0.314）

当H增加到100米，Vb速度〉Vd,应Vb先产生气泡，其速为

1

2—

1

2

PBPA

2

VagR

2

Vb

PB2.332

10（N/m

2）

-八3

,1

2

1

212

12

2.332

10

gH—

Vo

—

VaVa

gRVb

2

2

2

2

2

2

2.332

981

0.5Vo

9.81

0.54Vo

981

0.5

V9.81

2

2vS

2

2

Vo

1.5v212.57v0（2.3329819.8122）0

2

1.5v012.57v09490

（2）强度为m，位于（a，0）点

5-4写出下列流动的复势

（1）uU0cos,vU0sin

的平面点源；（3）强度为位于原点的点涡；（3）强度为M，方向为，合于原点的平面

偶极

（1）

Uo

>XVo

yUo

cosX

U0sin

y

U

0cos

yUo

sinx

uyv

X

w（z）

i

U0cosX

U0sin

yi（U0cos

yU0sin

X）

Uo

cos（x

iy）

U0sin

（yix）

Uo

cosz

（i）

U0sin

（Xiy）

Uo

cosz

iUo

sinz

Uo

z（cos

isin

）

Uo

ize

（2）

虽度为m，

位于

（a,0）点源的复势，只需求强度为

m,位于（0,

0）点的复势

则合于（a,0）的点源复势为

Inr

2

（4）强度为M,方向为，位于原点的平面偶极

源的速度势：

mInr（源位于原点）

汇的速度势：

mInr（汇位于原点）

点源现在位于（Xo,y。

）,点汇位于（X。

xo,yoyo）

则源和汇叠加流场的速度势为:

22

令f（x,xo,y,y°）In（xx°）（yy°）

它等于：

—cossin

Xo

yo

则：

M

f

f

（-

—cos-

—sin

）

4

X

y

M

2（xXo）（

1）

M

2（y

yo）（

1）

2

2

cos

2

sin

4

（x

xo）（y

yo）

2

（x

Xo）

（y

yo）

M

1

cos

M

1

sin

cos

sin

2

r

2

r

M

cos

M

sin

cos

sin

2

r

2

r

同样：

源的流函数为：

M

M

yarctan-

yo

2

2

X

Xo

则源和汇叠加的流场的速度势为:

lim空arctan—）arctany（y。

比

°2XXoX（XoXo）

arctany（%y°）arctan（「）

mx（XoXo）xXo

lim-

arctany（yoy°）arctan—）

MX（XoXo）XXo

lim一

o2

令g（x,xo,y,yo）在方向上的方向导数（注对xo,yo求导）

Mg

2Xo

sin

g

arctanYYo

1

Y

Yo

（X

Xo）2

Y

Yosin

X

Xo

Xo

Xo

2

1YYo

xXo

（x

Xo）2

（xXo）2

（YYo）2

（x

Xo）2r

Yo

g

Yo

arctan―Yo

XXo

1

1

（X

Xo）21

cos

Yo

1Y

2

YoxXo

（xXo）2

（YYo）2xXo

r

X

Xo

M

2

则方向为

—cos—sin

XoYo

的平面偶极的复势为：

Msincos

cossin

2rr

Mcos

sin

2r

Msin

cos

2r

w（z）i

M

2

cos

-cos

Msin

sin

；Mcos宀

r

2

r

1

2r

0111

M

cos

Msin

cos

isin

sini

cos

2

r

2r

M

cos

i

Msin

i）e

e

-（

2

r

2r

M

ie

cos

isin

2

r

M

ie

1

M

ie

Mei

2

r

cosi

sin

2

ire

2z

Msin

2r

5-5设在A（a,o）点放置一强度为2的平面点源,

cos

x=o是一固壁面，试求（

1）固壁上流体

的速度分布及速度达到最大值的位置,

（2）固壁上的压力分布，设无穷远处压力为P；（3）

若点源源强m=m（t）,其中t为时间变量，求壁面上的压力分布

A（-a,O）

A（a,0）对应的复势为:

A（a,O）

工1门（乙a）ln（za）

2

据奇点映像法：

平壁面

Wi（z）

映像

W（z）f（z）f（

z）

工1门（乙a）巴1门（乙a）

2一

ln（za）

ln（z

a）

Vdw（z）dz

壁面处：

z

iy

1

（1）

iya

iya

aiy~~22

ay

aiy

y

2iy

22

ay

2y

22

ay

当V达最大值—

y

22

2（ay）2y2y

222

（ay）

0,V

a代入V,则Vmax

2a2

（a2y

2a

2a2

2y2

2、2

固壁上流体速度分布

a即速度达到最大值对立

点为（0,a），（0,a）

（2）固壁上压力分布

w（z）ln（za）ln（z

a）

dw

dz

2y

2

a

—,uo,zy

v2

v2

二2

（—）2

ay

4y2p

（a2y2）2P

2P

2

y

222（ay）

壁面所受的合力为下:

变化

R（x）dx

据普拉休斯合力公式:

P-（dw）2dz,c为x0的壁面，z从

2c'dz

1/dw2.i/2z.2.

P（）dzG2）dz

2cdz2cz2a2

其中-^^^）2dz（/^「dz属于

cza-za

的积分，参考复变函数的留级中无穷积分公式

，（复变函数P164）

R（x）dx2i

ResR（z）,Zk,Zk为奇

ResR（z）,zk

z

/V

ma

z

a）

2

4Z

（z

（z

a）

4a4a

则P

i/2z、2只i

2c（z2a2）dz22i

ResR（z）,Zk分2

因戸

为实部，无虚部

则P

P

w（z）

罗ln（za）

a）

dwm（t）11

dz2zaza

m（t）2iy

2a2y2

（3）u0,v血兀

2ay

V2m2（t）4y2

V,2（22、2

4（ay）

PP-V2P-

22

m2（t）

（a2

5-6已知复势为w（z）

2z83il门乙，求

（1）流场的速度分布及绕圆周

z

x2y210的环

量；

（2）验证有一条流线与x2

y24的圆柱表面重合，并用卜拉休斯公式求圆柱体的作

用力

8

w（z）2z-

z

Vdw（z）z

dz

xiy

8

z（xiy）2

8（x2y2）

w（z）

3ilnz

3i

3i

xiy

16xyi

（x2y2）2

8（x2y2）

2（x2

2\2

y）

3i（xiy）

22

xy

3y

22,V

xy

8

2xyi

8（x2

辽

16xy

z22^2

（xy

2z8

z

3ilnz

为均匀流，偶极,均匀流复势：

点涡叠加后的复势

偶极复势:

W（z）voz2z

M8

2zz

W2（Z）

V。

2

2m/s

点涡复势:

W3（z）

则绕圆周x

ilnz

2

10的环量为

3iInz

Vocos（r

将速度势代入物面条件

3i

xiy

y2）

y

2）2

2严

（x

3y

22

xy

3x

16

8（x2y2）2xyi

2、22

y）4x

16xyi

（x2

2\2

y）

3i（xiy）

22

xy

3xi

22

xy

2

贝y—v0cos（1葺）

rr

r2物面为半径为2的圆周x2y24

a,又因为M2

Vo

a2,M

16

i,dw、2’iP（）dz—

dz

83i因:

c（2

Czz

c（2

2dz

%（4

8

z

64

~~4

z

）dzz

9

z

32

~2

z

12i

ic1

i12i

24

尸24

12i

12

iY

0,Y

12

5-7如题5-3图所示，设直径为2m的圆柱体在水下深度为H=10m的水平面上以速度

uo10m/s做匀速直线运动，

（1）试写出流动的绝对速度势，牵连速度势，相对速度势及

对立的单位速度势;

（2）求出圆柱体表面上

A、B、C、D及=45、135六点的绝对速度

相对速度势:

M2v0a2

牵连速度势:

解：

圆柱直航相当于均匀流与偶极叠加

Mcosu0rcos

2r

2cosu°rcosv°a

r

u0rcos

绝对速度势:

单位速度势:

0e

rcos

2cosev°ar

2cos0rcosa

r

2cos

0a

r

2cos

（2）v°a

r

vr

2cos

v°a2

r

r

2cos

v°a—,v

r

1

-（

r

2

v0a

sin

2r

2sin

2

r

A:

r1

Vr

V0,V

0

B:

r1

Vr

0,V

V0

2

C:

0,r1

Vr

V0,V

0

3

D:

r

1V

r0,V

V0

2

•、2

2

45vr

—

V°,V

V0

2

2

.2

2

135vr

V0,V

V0

2

2

5-8若一半径为r。

的圆球在静水中从速度为零加速到U。

试求需对其做多少功

12

mv,

2

11

3

r。

Tu

To

-（m

2

ii）uo

3

r0球

3

1/43

-（4r。

1（水2球）

32

r。

水）Uo

3

roUo

5-9无限深液体中有一长为L,半径为R的垂直圆柱体，设其轴心被长度为I的绳子系住，它一方面以角速度在水平面内绕绳子固定端公转，另一方面又以另一角速度w绕自身轴线

自转，已知圆柱体重量为G,假定IR，试求绳子的拉力

w

公转：

单位圆柱体的附L长圆柱体的附加质量：

公转向心力：

F（m

（物水）R2I2

绳子受到反向力，离心自转：

由于IR则公转切向加速度

此时圆柱相当于有环量流动

水）

加质量：

11

iiR2L

ii）2I（物R2

L

力F'与F方向相反

R2

L水R2L）2I

l可以认为均匀流作用于自转圆柱

F环Vo0LI0LF环

0w2R2

F总F公F环（物水）R2I2与w同向时为负，反向为正

w2R2

R2IL

5-10设有一半径为R的二元圆柱体在液体中以水平分速度

uU0t（m/s）运动，设t=0时,

它静止于坐标原点，液体密度为

，试求出流体作用于圆柱体上的推力

及t=2s时圆柱体的位置

卓y

x

uUot

F

（m

12

）i（t）（

2

）RUo

T

—V

X1dI

2

dv

2..

X1

—

aUo

dt

t

2s时，

vtUo

2Uo

12

dvH

12

T

V

dI

v

dIUo

2

dt

2

12

—（2U。

）2

dIUo

dI2Uo

2

，圆柱体密度为