函数奇偶性知识点总结与经典题型归纳.docx
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函数奇偶性知识点总结与经典题型归纳
函数奇偶性知识点总结与经典题型归纳
函数奇偶性
知识梳理
1.奇函数、偶函数的定义
(1)奇函数:
设函数()yfx=的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有()()fxfx-=-,
则这个函数叫奇函数.
(2)偶函数:
设函数()yfx=的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有()()fxfx-=,
则这个函数叫做偶函数.
(3)奇偶性:
如果函数()fx是奇函数或偶函数,那么我们就说函数()fx具有奇偶性.
(4)非奇非偶函数:
无奇偶性的函数是非奇非偶函数.
注意:
(1)奇函数若在0x=时有定义,则(0)0f=.
(2)若()0fx=且()fx的定义域关于原点对称,则()fx既是奇函数又是偶函数.
2.奇(偶)函数的基本性质
(1)对称性:
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
(2)单调性:
奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反.
3.判断函数奇偶性的方法
(1)图像法
(2)定义法
○
1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;○
2确定f(-x)与f(x)的关系;○
3作出相应结论:
若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;
若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
例题精讲
【例1】若函数2()fxaxbx=+是偶函数,求b的值.
解:
∵函数f(x)=ax2+bx是偶函数,
∴f(-x)=f(x).∴ax2+bx=ax2-bx.
∴2bx=0.∴b=0.
【例3】已知函数21()fxx
=在y轴左边的图象如下图所示,画出它右边的图象.
题型一判断函数的奇偶性
【例4】判断下列函数的奇偶性.
(1)2()||
(1)fxxx=+;
(2)
1()
fx
x
=;
(3)()|1||1|
fxxx
=+--;
(4)()
fx=
(5)()
fx=
(6)
2
2
0()
0
xxx
fx
xxx
⎧+<
⎪
=⎨
->
⎪⎩
解:
(1)2
()||
(1)
fxxx
=+的定义域为R,关于原点对称.
∵22
()||[()1]||
(1)()
fxxxxxfx
-=--+=+=
∴()()
fxfx
-=,即()
fx是偶函数.
(2)
1
()
fx
x
=的定义域为{|0}
xx>
由于定义域关于原点不对称
故()
fx既不是奇函数也不是偶函数.
(3)()|1||1|
fxxx
=+--的定义域为R,关于原点对称.
∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),∴f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数.
(4)()
fx={2},
由于定义域关于原点不对称,
故()
fx既不是奇函数也不是偶函数.
(5)()
fx=的定义域为{1,-1},
由
(1)0
f=且
(1)0
f-=,所以()0
fx=
所以()
fx图象既关于原点对称,又关于y轴对称
故()
fx既是奇函数又是偶函数.
(6)显然定义域关于原点对称.
当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-x=-(x-x2);
当x<0时,-x>0,f(-x)=-x-x2=-(x2+x).
即
2
2
(),0()
(),0
xxx
fx
xxx
⎧-+<
⎪
-=⎨
-->
⎪⎩
即()()
fxfx
-=-
∴()
fx为奇函数.
题型二利用函数的奇偶性求函数值
【例2】若f(x)是定义在R上的奇函数,f(3)=2,求f(-3)和f(0)的值.解:
∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-3)=-f(3)=-2,
f(0)=0.
【例5】已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g
(1)=2,f
(1)+g(-1)=4,求g
(1).解:
由f(x)是奇函数,g(x)是偶函数
得()()fxfx-=-,()()gxgx-=
所以-f
(1)+g
(1)=2①
f
(1)+
g
(1)=4②
由①②消掉f
(1),得g
(1)=3.
题型三利用函数的奇偶性求函数解析式
【例6】已知函数()fx是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)=x3-x2,
当x>0时,求f(x)的解析式.
解:
当0x>时,有0x-<
所以3232()()()fxxxxx-=---=--
又因为()fx在R上为偶函数
所以32()()fxfxxx=-=--
所以当0x>时,32()fxxx=--.
【例7】若定义在R上的偶函数()fx和奇函数()gx满足()()xfxgxe+=,求()gx.解:
因为()fx为偶函数,()gx为奇函数
所以()()fxfx-=,()()gxgx-=-
因为()()xfxgxe+=①
所以()()xfxgxe--+-=
所以()()xfxgxe-+-=②
由①②式消去()fx,得()2xx
eegx--=.
课堂练习
仔细读题,一定要选择最佳答案哟!
1.函数()11fxxx=--)
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
2.已知函数()fx为奇函数,且当0x>时,21()fxxx
=+,则
(1)f-=()A.2B.1C.0D.-2
3.f(x)为偶函数,且当x≥0时,f(x)≥2,则当x≤0时,有()
A.f(x)≤2
B.f(x)≥2
C.f(x)≤-2D.f(x)∈R
4.已知函数y=f(x)是偶函数,y=f(x-2)在[0,2]上是单调减函数,则()
A.f(0) (2) B.f(-1) (2) C.f(-1) (2) D.f (2) 5.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,那么g(x)=ax3+bx2+cx是()A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数6.定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则不等式xf(x)<0的 解集为() A.(-3,0)∪(0,3) B.(-∞,-3)∪(3,+∞) C.(-3,0)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)7.若f(x)在[-5,5]上是奇函数,且f(3) (1),则下列各式一定成立的是() A.f(-1) B.f(0)>f (1) C.f (2)>f(3) D.f(-3) 8.设f(x)在[-2,-1]上为减函数,最小值为3,且f(x)为偶函数,则f(x)在[1,2]上() A.为减函数,最大值为3 B.为减函数,最小值为-3 C.为增函数,最大值为-3 D.为增函数,最小值为3 9.下列四个函数,既是偶函数又在(0,+∞)上为增函数的是() A.y=x^3 B.y=-x^2+1 C.y=|x|+1 D.y=2-|x|10.若函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,则a=()A.1 B.-1 C.0 D.不存在 11.偶函数y=f(x)的图象与x轴有三个交点,则方程f(x)=0的所有根之和为________. 12.如图,给出了偶函数y=f(x)的局部图象,试比较f (1)与f(3)的大小. 13.已知函数()(0)pfxxmpx=++≠是奇函数,求m的值. 14.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的表达式. 15.定义在(-1,1)上的奇函数f(x)是减函数,且f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围. 16.函数f(x)=ax+b 1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,且f⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫1 2= 2 5,求函数f(x)的解析式 17.判断函数()(1 fxx =+.
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- 函数 奇偶性 知识点 总结 经典 题型 归纳