套用18个解题模板.docx
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套用18个解题模板
套用18个解题模板
模板一 求函数值
例1 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当x∈[0,1)时,f(x)=2x-1,则f(lo
6)的值是( )
A.-
B.-5C.-
D.-6
答案 C
解析 因为-3 6<-2,所以-1 6+2<0, 即-1 <0.(转化) 又f(x)是周期为2的奇函数, 所以f(lo 6)=f =-f =-f =-( -1)=- .(求值) 故选C.(结论) ▲模板构建 已知函数解析式求函数值,常伴随对函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的考查,其解题思路如下: 跟踪集训 设f(x)为定义在R上的奇函数,且是周期为4的周期函数,f (1)=1,则f(-1)+f(8)=( ) A.-2B.-1C.0D.1 模板二 函数的图象 例2 已知函数y=f(x)的图象如图所示,则其导函数y=f'(x)的图象可能是( ) 答案 A 解析 由函数f(x)的图象,可知当x<0时,函数f(x)有两个极值点,且f(x)先增后减再增;当x>0时,函数f(x)无极值点,且是减函数.(定性) 根据函数的导函数的符号和原函数单调性间的关系,可知导函数y=f'(x)的图象在y轴左侧应该与x轴有两个交点,且导函数值先正后负再正,在y轴右侧与x轴无交点,且导函数值恒负,(判断) 由此可以判断A项符合y=f'(x)的图象要求.故选A.(结论) ▲模板构建 由原函数的图象判断导函数的图象,关键是根据原函数的单调性与导函数值的正负的对应关系进行判断,基本的解题要点如下: 跟踪集训 函数f(x)=(x-1)ln|x|的图象大致为( ) 模板三 函数的零点问题 例3 设函数f(x)= x-lnx(x>0),则y=f(x)( ) A.在区间 (1,e)内均有零点 B.在区间 (1,e)内均无零点 C.在区间 内有零点,在区间(1,e)内无零点 D.在区间 内无零点,在区间(1,e)内有零点 答案 D 解析 根据对数函数的性质,知当0 x-lnx>0,因此函数y=f(x)在区间 内无零点. 而f (1)= >0,f(e)= -1= <0,(求值、定号) 根据零点存在性定理可知函数y=f(x)在区间(1,e)内有零点.故选D.(下结论) ▲模板构建 利用零点存在性定理可以根据函数y=f(x)在某个区间端点处函数值的符号来确定零点所在区间.这种方法适用于不需要确定零点的具体值,只需确定其大致范围的问题.基本的解题要点为: 跟踪集训 已知f(x)= 则函数的零点个数为( ) A.1B.2C.3D.4 模板四 三角函数的性质 例4 已知函数f(x)= sin cos - sin2 . (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值. 解析 (1)f(x)= sin cos - sin2 = × sinx- × = sinx+ cosx- =sin - (化简) f(x)的最小正周期T= =2π. (2)因为x∈[-π,0], 设t=x+ 则t∈ (换元) μ=sint∈ 则y=μ- ∈ 当x+ =- 即x=- 时,f(x)取得最小值-1- .(结论) ▲模板构建 在利用三角函数的性质求最值或值域时,要注意: (1)先确定函数的定义域; (2)将已知函数化简为y=Asin(ωx+φ)+k的形式时,尽量化成A>0,ω>0的情况;(3)将ωx+φ视为一个整体.解题思路为: 跟踪集训 已知函数f(x)=sin sinx- cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值; (2)讨论f(x)在 上的单调性. 模板五 三角函数的图象变换 例5 把函数y=cos2x+1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( ) 答案 A 解析 由题意,将y=cos2x+1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=cosx+1的图象,然后向左平移1个单位长度得到函数y=cos(x+1)+1的图象,再向下平移1个单位长度得到函数y=cos(x+1)的图象.(定解析式) 在函数y=cosx图象上取特殊点 则函数y=cos(x+1)图象上的对应点为 .(定特殊点) 又函数y=cos(x+1)的周期为2π,观察所给图象,知选项A符合题意.(定图象) 故选A. ▲模板构建 三角函数图象变换的主要类型: 在x轴方向上的左、右平移变换,在y轴方向上的上、下平移变换,在x轴或y轴方向上的伸缩变换.其基本步骤如下: 跟踪集训 已知函数f(x)=sin (x∈R,ω>0)图象上相邻两条对称轴之间的距离为 .为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将y=f(x)的图象( ) A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 模板六 解三角形 例6 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且 + = . (1)求角A的大小; (2)若 = + a= 求b的值. 解析 (1)由题意,可得 + =3,即 + =1, 整理得b2+c2-a2=bc,(定已知) 由余弦定理,知cosA= = (选定理)
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