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均匀试验设计
均匀试验设计
主要参考文献:
1、方开泰.均匀设计与均匀设计表.北京:
科学出版社,1994
2、林维萱.试验设计方法.大连:
大连海事大学出版社,1995
3、栾军.现在试验设计优化方法.上海:
上海交通大学出版社,1995
4、茆诗松等.回归分析及其试验设计.上海:
华东师范大学出版社,1981
一、均匀设计的概念及特点
均匀设计是由我国数学家方开泰教授和王元教授于1978年提出的。
1978年,七机部由于导弹设计的要求,提出了一个五因素的试验,希望每个因素的水平数要多于10,而试验总数又不超过50。
显然,正交试验设计不能用。
对于一个水平数为m的正交试验,至少要做m2次试验,如m=10时,m2=100,即至少要做100次试验,这在实际中是难于实施的。
因此,正交试验设计方法只适用于因素水平数不太多的多因素试验。
正交表的特点是使试验点“均匀分散、整齐可比”。
“均匀分散”即均匀性,使试验点均匀分布在试验范围内,让每个试验点都具有一定的代表性,可以用部分试验反映全面试验的情况,大大减少试验次数。
“整齐可比”就是综合可比性,使试验结果的分析十分方便,易于分析各因素及其交互作用对试验指标的影响大小及规律性。
但是,为了保证整齐可比性(即“均衡搭配”),对任意两个因素而言,必须是全面试验,每个因素的水平必须有重复。
这样,试验点在试验范围内就不能充分均匀分散,试验点就不能太少。
综上所述,正交试验为了保证“整齐可比”,使均匀性受到了一定限制,使试验点的代表性还不够强,试验次数不能充分地少,如果不考虑整齐可比(即综合可比)性,而完全保证均匀性,让试验点在试验范围内充分地均匀分散,不仅可大大减少试验点,而且仍能得到反映试验体系主要特征的试验结果。
这种从均匀性出发的试验设计,称为均匀试验设计。
均匀试验设计的最大优点是可以节省大量的试验工作量,尤其在试验因素水平较多的情况下,其优势更为明显。
例如,一个四因素七水平试验,进行一轮全面试验要做74=2401次,用正交试验也至少要做72=49次,而用均匀试验则仅需7次。
因此,对于水平数很多的多因素试验,对于试验费用昂贵或实际情况要求尽量少做试验的场合,对于筛选因素或收缩试验范围进行逐步寻优的场合,均匀设计都是十分有效的试验设计方法。
由于均匀设计没有整齐可比性,所以试验结果的处理不能采用方差分析法,而必须用回归分析。
因此,试验数据处理较为复杂,这是均匀设计的一个缺点。
对于发明均匀设计法的那个年代(1978年),计算机应用尚未普及,这确实是一个大难题,但对于计算机十分普及的今天,则已不是一个难题。
再说,多分析数据比多做试验,一般来讲要更为经济。
二、均匀设计表及其使用表
与正交试验设计相似,均匀设计也是通过一套精心设计的表格来安排试验的,这种表称为均匀设计表。
均匀设计表是根据数论方法在多重数值积分中的应用原理构造的,它分为等水平和混合水平两种。
1、等水平均匀设计表
等水平均匀设计表用Un(mk)表示,其中各符号的意义如下:
均匀设计表因素数
Un(mk)
试验次数因素水平数
表1为U6(64)均匀设计表,最多可安排4个因素,每个因素6个水平,共做6次试验。
等水平均匀设计表具有如下特点:
(1)每个因素的每个水平只做一次试验;
(2)任意两个因素的试验点画在平面格子点上,每行每列恰好有一个试验点。
如表U6(64)的第1列和第3列点成图1(a)所示。
表1U6(64)均匀表
列号
试验号
1
2
3
4
1
1
2
3
6
2
2
4
6
5
3
3
6
2
4
4
4
1
5
3
5
5
3
1
2
6
6
5
4
1
表2U6(64)使用表
因素数
列号
D(偏差值)
2
1
3
0.1875
3
1
2
3
0.2656
4
1
2
3
4
0.2990
(a)第1、3列
(4)第1、4列
图1均匀表不同列组合的均匀性
上述两个特点反映了试验安排的均衡性,即对各因素,每个因素的每个水平一视同仁。
(3)等水平均匀表任两列之间不一定是平等的。
例如,用U6(64)的第1、3和第1、4列分别画图,得图1(a)和图1(b)。
可见图1(a)的点分布比较均匀,而图1(b)的点则分布不均匀。
均匀设计表的这一性质与正交表有很大不同,因此,每个均匀设计表必须有一个附加的使用表,以帮助我们在均匀设计时如何选列来安排各个因素。
表2为U6(64)的使用表,它告诉我们在利用U
(64)进行均匀设计时,若只有2个因数时,则应安排在第1、3列;若有3个因数,则应安排在第1、2、3列。
表2中最后一列D表示刻划均匀度的偏差(discrepancy),D值越小,均匀度越好。
(4)等水平均匀表的试验次数与该表的水平数相等。
当水平数增加时,试验数按水平数的增加量在增加。
如水平数m从9增加到10时,试验数n也从9增加到10。
但对于等水平正交试验,当水平数从9增加到10时,试验数将从81增加到100,按平方关系增加。
可见,均匀设计中增加因素水平时,仅使试验工作量稍有增加,这是均匀设计的最大优点。
(5)水平数为奇数的表与水平数为偶数的表之间,具有确定的关系。
将奇数表去掉最后一行,就得到水平数比原奇数表少1的偶数表,相应地,试验次数也少,而使用表不变。
例如,将U7(76)去掉最后一行,就得到了U6(66),使用表不变。
因此,许多书上只给出水平数为奇数的均匀设计表。
(6)均匀表中各列的因素水平不能象正交表那样可以任意改变次序,而只能按照原来的顺序进行平滑。
就是将原来的最后一个水平与第一个水平衔接起来,组成一个封闭圈,然后从任一处开始定为第一水平,按圈子的方向或相反方向,排出第二水平、第三水平,……。
2、混合水平均匀设计表
混合水平均匀设计表用于安排因素的水平不相同的均匀试验,其一般形式为U
式中n为试验次数,
为列的水平数,
分别表示水平数为
的列的数目。
混合水平均匀设计表是从等水平的均匀设计表,利用拟水平的方法得到的。
设某试验需考察A、B、C三个因素,A、B取三个水平,C取二个水平。
这个试验可以用正交表L18(2×37)来安排,这等价于全面试验,并且不可能找到比L18(2×37)更小的正交表来安排这个试验。
那么,是否可以用均匀设计来安排这个试验呢?
?
直接运用是有困难的,但可采用拟水平法对等水平均匀设计表进行改造。
我们选均匀表U6(66),按使用表的推荐用1、2、3前三列。
现将第1、2列的水平作如下改造:
{1,2}−→1,{3,4}−→2,{5,6}−→3
第3列的水平作如下改造:
{1,2,3}−→1,{4,5,6}−→2
这样,便得到了一个混合水平的均匀设计表U6(32×21),见表3。
把因素A、B、C依次放在U6(32×21)的第1、2、3列上即可。
表3有很好的均衡性(即正交表所具有的均衡搭配性质),如第1、3两列和第2、3两列的所有水平均出现且只出现一次,可惜的是并不是每一次作拟水平设计都能这么好。
表3拟水平设计U6(32×21)
列号
试验号
1(A)
2(B)
3(C)
1
(1)1
(2)1
(3)1
2
(2)1
(4)2
(6)2
3
(3)2
(6)3
(2)1
4
(4)2
(1)1
(5)2
5
(5)3
(3)2
(1)1
6
(6)3
(5)3
(4)2
用拟水平法构造混合水平均匀设计表时,为使生成的混合水平表有较好的均衡性,不能按使用表的指示选择列,应当通过比较确定选用哪些列去生成混合水平表,使得所生成的混合水平表既有好的均衡性,又使偏差(D值)尽可能地小。
为了使用方便,书上的附录(《试验设计方法》附表9,pp.338-339)给出了常用的混合水平表的拟水平构造指导表,按指导表生成的混合水平均匀表的均衡性最好。
但是,若在指导表中查不到,那只好按使用表的指示去构造了。
当然,这样得到的混合水平表,其均衡性不一定是最好的。
也有一些书上直接给出了已构造好的混合水平均匀设计表。
三、均匀试验设计的基本方法
均匀试验设计的基本步骤与正交试验设计一样,也包括试验方案设计与试验结果分析两部分。
1试验方案设计
(1)确定试验指标;
(2)选择试验因素;
(3)确定因素水平:
对于均匀设计,因素水平范围可以取宽一些,水平数可多取一些;
(4)选择均匀设计表及表头设计。
根据试验因素数、试验次数和因素水平数选择均匀设计表。
均匀试验结果不能用方差分析法处理,只能用多元回归分析法处理。
若各因素(x1,x2,…,xk)与响应值y之间的关系是线性的,则多元线性回归方程为:
(1)
为求出这m个回归系数bi(i=1,2,…,m),就要列出m个方程(b0可由这m个回归系数求出)。
为了对求得的方程进行检验,还要增加二次试验,共需m+2次试验,此时的剩余自由度
,为使F检验法具有足够的灵敏度,应做到
,故至少还应再增加一次试验,所以应选择试验次数n大于或等于m+3的均匀设计表。
∵回归方程是线性的,∴方程个数m=因素个数k。
(∵
)。
当各因素与响应值的关系为非线形时,或因素间存在交互作用时,可回归为多元高次方程。
例如,当各因素与响应值均为二次关系时,回归方程为:
(2)
式中
式
(2)中的xixj反映因素间的交互作用,
反映因素二次项的影响,回归系数总计为(不计常数项b0):
其中k为因素个数,最后一项为交互作用项个数。
因此,为了求得二次项和交互作用项,同时为了使
,此时与前面一样,必须选用试验次数大于回归方程系数总数的均匀设计表,即应做到
。
均匀设计表选定后,接下来进行表头设计,若为等水平表,则根据因素个数在使用表上查出安排因素的列号,再把各因素依其重要程度为序,依次排在表上;若为混合水平均匀设计表,则按水平把各因素分别安排在具有相应水平的列中。
(5)、制定试验方案
表头设计好后,各因素所在列已确定,将各因素列的水平代码换成相应因素的具体水平值,即得试验设计方案。
应该指出,均匀设计表中的空列(即未安排因素的列),既不能用于考察交互作用,也不能用于估计试验误差。
2试验结果分析
(1)直观分析法
从已做的试验点中挑一个指标值最好的试验点,用该点对应的因素水平组合作为较优工艺条件,该法主要用于缺乏计算工具的场合。
(2)回归分析法
通过回归分析,可解决如下问题:
i)、得到因素与指标之间的回归方程;
ii)、根据标准回归系数的绝对值大小,得出各因素对试验指标影响的主次顺序;
iii)、由回归方程的极值点,可求得最优工艺条件。
四、均匀试验设计应用实例
参见《试验设计方法》(林维宣,1995)
例1二因素九水平均匀试验(p242)
选U9(96)均匀设计表,由使用表知二个因素应排在第1、3列。
进行二元一次线性回归分析。
回归分析时,没有必要象书上那样对二个因素的各水平做线性变换,完全可以用计算机或计算器直接计算。
多元线性回归分析方法,参见p.78
书中虽然对回归方程进行了显著性检验,但未对回归系数进行显著性检验!
下面进行回归系数的显著性检验(seep.84~87)。
正规方程组为:
解得:
∴
故回归方程为:
,已知
,
=60×60-6×6=3564
是
中
的余子式。
,
∴
×103>
×103>
这说明在上述回归方程中,x1和x2对y有显著影响。
例2 5因素10水平均匀试验 (p.245)
选
均匀设计表,根据使用表,应将5个因素排在第1、2、3、5、7列上。
考虑到可能存在交互作用和某些因素平方项的影响,采用五元二次回归模型。
回归方程为:
将二次项和交互作用项进行变量替换,可将上述非线性回归分析转化为多元线性回归分析。
在回归分析过程中,若发现几个变量不显著时,因考虑到回归系数间存在相关关系,故不能将这些变量一起剔除,而只能一次除去F值最小的一个不显著变量,重新建立回归方程后再对变量一一作检验。
这一筛选变量过程比较麻烦,工作量也比较大。
经过反复多次的多元线性回归分析,才能得到最终结果!
例3四因素混合水平均匀试验(p.247)
选U12(12×63)混合水平均匀设计表
考虑一次项和二次项的影响,忽略所有交互作用,所以回归模型为:
在回归分析过程中,对二次项作变量替换,使问题转化为八元一次线性回归分析。
五、配方均匀设计(混合均匀设计)见方开泰专著第四章(1994)
1、概述
配方设计即混料设计,在食品、化工、橡胶、材料等领域中十分重要,常见的配方设计方法有:
单纯形格子点设计(Simplex-latticedesign)、单纯形重心设计(Simplex-centrioddesign)和轴设计(Axialdesign)等,Cornell(Cornell,J,A,1981,Experiments,withMixtures,Designs,Models,andtheAnalysisofMixturesdata,Wiley,NewYork)对各种配方试验设计方法作了详尽的介绍和讨论。
(a){3,3}单纯形格子点设计(b)三因子单纯形重心设计(c)三因子轴设计
图2三种三因子配方设计(p=3时)
图2给出了三种三因子配方设计的试验点图。
对于p因子d次单纯形格子点设计{p,d}试验点数为
;对于p因子单纯形重心设计,试验点数为
;对于轴设计,试验点数=因子数p。
单纯形
的重心和它各顶点的联线称为轴。
每个轴上取一个点,使这些点到重心有相等的距离s,通常0<s<(p-1)/p。
单纯形格子点设计和单纯形重心设计,是Scheffe分别于1958年和1963年提出的,而轴设计则是由Cornell提出的。
由图2可见,这三种配方设计存在以下两个问题:
(1)、试验点在试验范围Tp内分布不十分均匀;
(2)、在试验边界上有太多的试验点。
众所周知,在化学试验中,若有p种成分,如果缺少一种或多种,则或者不起化学反应,或者生成另外一种产品。
对于上述第
(2)个问题,可以用编码的办法进行解决,我们在讲解单纯形格子设计时,已经用一个具体实例对该问题进行过介绍(见《回归分析及其试验设计》,茆诗松等,1981,华东师范大学出版社,pp.312~314)。
为了同时克服上述两个缺点,王元和方开泰于1990年建议用均匀设计的思想来做配方设计,即配方均匀设计。
2、配方均匀设计
p种原料的试验范围是单纯形Tp。
设我们打算比较n种不同的配方,这些配方对应Tp中的n个点。
配方均匀设计的思想就是使这n个点在Tp中散布尽可能均匀,其设计方案可用如下步骤获得:
(1)给定p和n,查均匀设计表和使用表,得U
,用
表示U
中的元素。
(2)对每个i,计算:
C
,k=1,…,n(4)
(3)计算
(5)
则
就给出了对应n、p的配方均匀设计,并用记号UM
表示之。
表4对n=11、p=3时给出了产生UM
的过程。
这时,计算公式(5)有如下简单形式:
(6)
表4UM
及其生成过程
No.(k)
Ck1
Ck2
xk1
xk2
xk3
1
1/22
13/22
0.787
0.087
0.126
2
3/22
5/33
0.631
0.285
0.084
3
5/22
19/22
0.523
0.065
0.412
4
7/22
11/22
0.436
0.282
0.282
5
9/22
3/33
0.360
0.552
0.087
6
11/22
17/22
0.293
0.161
0.546
7
13/22
9/22
0.231
0.454
0.314
8
15/22
1/22
0.174
0.788
0.038
9
17/22
15/22
0.121
0.280
0.599
10
19/22
7/22
0.071
0.634
0.296
11
21/22
21/22
0.023
0.044
0.993
表4的具体生成过程,举例说明如下:
1)查均匀设计表
及其使用表,知:
p=2时,取第1、5两列,如表5所示;
表5
1(
)
2
3
4
5(
)
6
1
1
7
2
2
3
3
3
10
4
4
6
5
5
2
6
6
9
7
7
5
8
8
1
9
9
8
10
10
4
11
11
11
2)由式(4)得
如:
3)由式(6),得:
;
;
;
……。
公式(5)可以用逆推方法计算,以减少计算量。
逆推方法如下:
(a)令gkp=1,gko=0,k=1,2,…,n
(b)逆推计算:
,j=p-1,p-2,…,2,1
(c)计算
,j=1,2,…,p,k=1,2,…,n
则{xkj}即为所求,用这个算法便于编程计算。
由于编写产生
表的程序极其简单,因此无需列出各种配方均匀设计表。
配方均匀设计的试验结果也是用回归分析,当因素间无交互作用时,用线性模型;当因素间有交互作用时,用二次型回归模型或其他非线性回归模型。
3、有约束的配方均匀设计(略)
录入:
96食工肖瑶煌、张映斌
校对:
王中来2000年5月11日星期四
2004年3月23日星期二
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