正弦定理与余弦定理.docx
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正弦定理与余弦定理
正弦定理、余弦定理
一、高考要求
sinA+B=cosC,
1.掌握正、余弦定理;
2.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化;
3.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状(抓最大角);
cos
2
A+B
2
2
=sinC.
2
4.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式.
二、知识与技能
1.正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦值的比相等,且比值等于外接圆的直径,即
4.在△ABC中,
角A,B,C成等差数列
⇔B=60︒.
5.在斜三角形△ABC中,
tanA+tanB+tanC=tanA⋅tanB⋅tanC.
a=b=c
=2R
(其中2R为外接圆
6.在△ABC中,
sinAsinBsinC
的直径).
利用正弦定理,可以解决以下两类问题:
(1)已知一边和两角,求第三个角和其它两边(一边两角);
acosB+bcosA=c(射影定理).
注:
可以用余弦定理证明.
7.在三角形△ABC中,
1
(2)已知两边和其中一边的对角,求第三边和其它两个角(两边对角).
SABC=
absinC(含正弦的面积公式).
2
2.余弦定理
三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
第一形式:
8.在三角形△ABC中,
AB=(x,y),AC=(u,v),
1
a2=
b2+c2-2bccosA,
则SABC=
xv-yu.
2
第二形式:
b2+c2-a2
cosA=.
2bc
记忆:
绝对“平行”的一半
9.解三角形(按边分三类)
(1)一边两角
解数:
一解
利用余弦定理,可以解决以下三类问题:
(1)已知三边,求三个角(三边);
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其它两个角
(两边夹角);
(3)已知两边和其中一边的对角,求第三边和其它两个角(两边对角).
3.在△ABC中,有
A+B+C=π(内角和定理);
sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC;
定理:
正弦定理
(2)两边一角
①两边夹角解数:
一解
定理:
余弦定理
②两边对角解数:
讨论
定理:
正、余弦定理
(3)三边
解数:
一解或无解
定理:
余弦定理两边对角问题:
(1)角A钝角
a
b
C
AcB
技巧:
作未知边上的高
10.在证明三角形问题或者三角恒等式时,要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系,并注意特殊角正、余弦关系的应用,比如互补角的
正弦值相等,互补角的余弦值互为相反数,等;
11.三角恒等式的证明或三角形形状的判断,重在发挥正、余弦定理的边角互换作用.
三、过程与方法
12
1.已知△ABC中,tanA=-5,则cosA=()
a
无解
A.12B.5
C.-5
D.12
a=b:
无解
a>b:
一解
13
【答案】D
【解析】
∵tanA
1313
50,
-13
(2)角A直角
a
C
b
AcB
a
无解
=-12<
A是△ABC的内角,
π
∴2<A<π.
∴cosA<0.
∵sinA=tanA5
cosA
=-12,
a=b:
无解
且sin2A+cos2A=1,
∴cosA12
a>b:
一解
(3)角A锐角
C
ba
ADcB
a
①a>bsinA:
两解
②a=bsinA:
一解
③a 无解 a=b: 一解 a>b: 一解 =-13. 2.在△ABC中,C>90°,则tanAtanB与1的大小关系是() D.不能确定 【答案】B 【解析】 ∵C>90°, ∴A+B<90°, ∴tan(A+B)>0,tanA+tanB>0, 3.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且c=2a,则cosB等于() A.1B322 . . C D 4.443 【答案】B ABC的形 【解析】 2,则△ ∵a、b、c成等比数列, ∴b2=ac. 状为() A.直角三角形 B.等边三角形 又c=2a, ∴b2=2a2. C.等腰三角形 【答案】C D.等腰直角三角形 a2+c2-b2 【解析】 2,得 ∴cosB= 2ac a2+4a2-2a2 =4a2 = 3 4. 4.锐角△ABC中,b=1,c=2,则a的取值范围是 () 2 =1+cosA, =1-cosBcosC+sinBsinC, A.1 B.1 ∴sinB·sinC+cosBcosC=1, C.3 【答案】C 5 D.不确定 即cos(B-C)=1, 又-π 【解析】 ∴B-C=0, 若a为最大边,则b2+c2-a2>0,即a2<5, ∴a<5, 若c为最大边,则a2+b2-c2>0,即a2>3,
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- 正弦 定理 余弦