高数复习知识点.docx

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高数复习知识点

高等数学上册知识点

」、函数与极限

（一）函数

1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；

2、反函数、复合函数、函数的运算；

3、初等函数：

幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函

数、反双曲函数；

4、函数的连续性与间断点；（重点）

函数f（x）在X。

连续V—Alim（）（）

T；0

fXfXXX

0

c

第一类：

左右极限均存在

间断点可去间断点、跳跃间断点

I

第二类：

左右极限、至少有一个不存在

无穷间断点、振荡间断点

（重点）、

5、闭区间上连续函数的性质：

有界性与最大值最小值定理、零点定理

介值定理及其推论•

（二）极限

1、定义

1）

数列极限

=uz>

limxa

nn

0,N

GNV>-|£

nN,xa

n

2）

函数极限

=uP

z>

36>V<-

T

limf（x）A

0,

0,x,0xxf（x）

XX

0

当时，

0

<£

A

第1页共12页

2、

1）

1）yn

左极限：

f（x0）=limf（x）

xx

T0

limf（x）A

xrx

0

极限存在准则

夹逼准则:

<<

XnZn

存在

no）

右极限:

2）

lim

y

lim

n

n

lim

2）

单调有界准则:

3、

单调有界数列必有极限

a=

无穷小（大）量

1）

0则称为无穷小量；若

2）

Th1

Th2

4、

lim

+T

定义：

若lim

aBB=a+a

无穷小的阶：

高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小

0

lim

则称为无穷大量.

p*

o（）;a

、、

P•

k阶无穷小

lim存在，则

lim

lim

（无穷小代换）

求极限的方法

单调有界准则;

夹逼准则;

极限运算准则及函数连续性;

两个重要极限:

T

（重点）

sinx

a）lim

b）

5）无穷小代换:

0）（重点）

x0

lim（

lim

（1

a）x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx第2页共12页

b）

1cos

112345

x

2

（a

1〜xIna）

c）

d）

ln（1

x）〜

（log

（1

a

x）〜

e）

（1

x）

Ina

导数与微分

导数

函数f（x）在Xo点可导

（）

X0

第3页共12页

与x无关.

（xo）dx

f（b）

7）对数求导法.（重点）

5、高阶导数

2

dyddy1）定义：

2

dxdxdx

n

（）（n）二三k（k）（n-k）

2）Leibniz公式：

uvCnuv

k一0

（二）微分

1）定义：

yf（xox）f（xo）Axo（x），其中A

—_F\

2）可微与可导的关系：

可微可导，且dyf（X。

）xf

三、微分中值定理与导数的应用

（一）中值定理

1、Rolle定理：

（重点）若函数f（x）满足：

1）f（x）C[a,b]；2）f（x）D（a,b）；3）f（a）

贝U（a,b）,使f（）0.

2、Lagrange中值定理：

若函数f（x）满足：

1）f（x）C[a,b];2）f（x）D（a,b）;

贝9（a,b）,使f（b）f（a）f（）（ba）.

3、Cauchy中值定理：

若函数f（x）,F（x）满足：

1）f（x）,F（x）C[a,b];2）f（x）,F（x）D（a,b）;3）F（x）

f（b）f（a）

F（b）F（a）

（二）洛必达法则（重点）

Taylor公式（不考）

（四）

单调性及极值

1、

单调性判别法：

（重点）f（x）C[a,b]，

f（X）D（a,b）,

则若f（x）0，

a）

b）

c）

d）

e）

则f（x）单调增加；则若f（X）o，则

极值及其判定定理:

必要条件:

第一充分条件:

■%.

则①若当X

点；②若当X

值点；③若在

第二充分条

则①若f

占

八、、・

f（x）单调减少

f（X）在Xo可导，若Xo为

f（X）的极值点，

（重点）f（x）在Xo的邻域内可导，且

Xo时，f（x）

Xo时，f（X）

<孑

o,当XXo时，f（x）

Xo时，f（x）

，则Xo为极大值

则Xo为极小

Xo的两侧f（X）不变号，

件：

（重点）f（X）在

（Xo）o，则Xo为极大值点;

凹凸性及其判断，拐点

f（x）在区间I上连续，

Xo

Xo不是极值点

处二阶可导,

②若

，则

Xo为极小值

则称f（X）在

X/€

区间I上的图形是凹的;

则称f（X）在

区间I上的图形是凸的.

2）判定定理（重点）：

f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）上有一阶、二阶导数，则

a）若x（a,b）,f（x）0,则f（x）在[a,b]上的图形是凹的；

第5页共12页

b）若x（a,b）,f（x）o,则f（x）在［a,b］上的图形是凸的

yf（x）经

3）拐点：

设yf（x）在区间I上连续，xo是f（x）的内点，如果曲线

过点（xo,f（xo））时，曲线的凹凸性改变了，则称点（xo,f（xo））为曲线的拐点.

（五）

不等式证明

1、

利用微分中值定理；

2、

利用函数单调性；（重点）

3、

利用极值（最值）•

（六）

方程根的讨论

1、

连续函数的介值定理；

2、

Rolle定理；

3、

函数的单调性；

4、

极值、最值；

5、

凹凸性•

（七）

渐近线

1、

铅直渐近线：

limf（x）=辺，

xTa

则x=a为一条铅直渐近线;

2、

水平渐近线：

limf（x）=b，

xT远

则y=b为一条水平渐近线;

f（x）

）c

3、

斜渐近线：

limk

fxkxb

渐近线.

四、不定积分

（1）概念和性质

第6页共12页

1、原函数：

在区间I上，若函数F（x）可导，且F（x）f（x），贝9F（x）称为

f（x）的一个原函数.（重点）

2、不定积分：

在区间I上，函数f（x）的带有任意常数的原函数称为f（x）在

区间I上的不定积分.

3、基本积分表（P188，13个公式）；（重点）

4、性质（线性性）

（二）换元积分法（重点）

1、第一类换元法（凑微分）：

f［（x）］（x）dx=（f（u）duu攻（x）

f（x）dxf［（t）］（t）dt2、第二类换元法（变量代换）：

t（x）

■iB

（三）分部积分法：

udvuvvdu（重点）

（四）有理函数积分

1、“拆”；

2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）

五、定积分

（一）概念与性质:

=F-A入T_

b

f（x）dxlimf（i）x

a0i

i1

2、性质：

（7条）

性质7（积分中值定理）

函数f（x）在区间［a,b］上连续，则

[a,b]，使

b

f（x）dxf（）（ba）

a

（平均值:

f（x）dx

a

）

微积分基本公式（

N—L公式）（重点）

C>r

1、

变上限积分：

设

P

（x）

（）

ftdt

P

（x）

f（x）

推广:

）

f（t）dt

（x）]

（x）

dx

N—L公式：

若

F（x）为

换元法和分部积分

*a

（重点）

1、

换元法：

（

xdx

）]

udv

vdu2、

分部积分法:

（四）反常积分

1、

无穷积分:

a€

ta

t

dx

lim

1

『（x）

t皿

a

1

b

lim

1

『（x）

f（x）dx

t

dx

-be

f（x）dx

f（x）dx

f（x）dx

瑕积分:

（x）

（x）]（x）

的一个原函数，

Q*

uv

b

f（x）dx

a

F（b）F（a）

tt

）da

（x）dx

b

b

af（

）

lim

（x）dx

（a为瑕点）

a

xdx

ft

b

ta

t

af（

）dx

lim

（）（

b为瑕点）

u

x

fxdx

tb

a

第8页共12

页

两个重要的反常积分:

1）

dx

—■■ip

a

p

J

aX

PP1

dx

平面图形的面积y=

1、

直角坐标:

（X）：

f（X）]dx

/i

/■1

（重点）

y=j\\x）

—r*

bx

P

cp

a

）]d

2、极坐标：

A

第9页共12页

（二）体积

1、旋转体体积：

（重点）

a）曲边梯形yf（x）,xa,xb,x轴，绕x轴旋转而成的旋转体的体积:

3、极坐标：

s

七、微分方程

（一）概念

第10页共12页

1、微分方程：

表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程

阶：

微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数

2、解：

使微分方程成为恒等式的函数

通解：

方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同

特解：

确定了通解中的任意常数后得到的解

（二）变量可分离的方程（重点）

（）

（），

两边积分

g（y）dy

f（x）dx

ydyf

xdx

齐次型方程

dy

y

dy

du

（），设

u，

则

u

x

dx

x

x

dx

dx

——=@

=

•

dx

x

x

dx

dv

或

（），设

v，

则

v

y

dy

y

y

dy

dy

（4）一阶线性微分方程（重点）

dy

P（x）yQ（x）-J-f

dx

P（X）dxP（x）dx用常数变易法或用公式：

ye

QxedxC

（）

（5）可降阶的高阶微分方程I"口'

1、

（n）

y

f（x），

两边积分n

次；

2、

y

f（x,y）

（不显含有

y）

，令y

p，则y

p；

3、

y

f（y,y）

（不显含有

x）

，令y

p,则y

dpp

dy

（6）线性微分方程解的结构

第11页共12页

1、yi,y是齐次线性方程的解，则CiyiC2目2也是；

2

2、yi,y2是齐次线性方程的线性无关的特解，则CiyiC2y2是方程的通解;

—

、y为非齐次方程的通解，其中yi,y2为对应齐次方程的

CiyCyy

i22

线性无关的解，y非齐次方程的特解.

（七）常系数齐次线性微分方程（重点）

fft

++=

二阶常系数齐次线性方程：

ypyqy0

++=

2prq

r=

，特征根：

ri,「2

=+

征方程：

=

0l+

特征根0

=a通+解p

rxrx

实根

ri

r

2

p

y

Cei

i

2

C

e

2

rx

r

i

r2

2

y

（CC

i

x）e

2

xr

■i

e（Ci

x）

i

y

cosxC2sin

2

（八）常系数非齐次线性微分方程

ypy

qy

f（x）

i、f（x）

e

x（重点）

P（x）

m

■

a

0）

+

0,

入

不是特征根

*

设特解y

x

k

eQx其中

x

（）

m

k1,

入

是一个单根

2,

入是重根

x（）cos

（）sin

2、fx

e

Pxx

Px

x

CO

*

（1）

（2）

kx（）cos

（）sin

设特解y

xeRx

x

Rxx

m

m

0,

■

i

不是特征根

k其中

mmax{l,n}，

1,

■

i

是特征根

l

n

1）导数定义；（重点）

2）基本公式；

3）四则运算；

4）复合函数求导（链式法则）；（重点）

5）隐函数求导数；（重点）

6）参数方程求导；（重点）