初中八年级等腰直角三角形中的常用模型.docx
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初中八年级等腰直角三角形中的常用模型
等腰直角三角形中的常用模型
【知识精析】
1等腰直角三角形的特征:
1边、角方面的特征:
两直角边相等,两锐角相等(都是45o)
2边之间的关系:
已知任意一边长,可得到其它两边长。
2、等腰直角三角形与全等三角形:
以等腰直角三角形为背景的几何问题中,常常包含全等三角形,发现并证明其中的全等三角
形往往是解题的关键突破口。
熟悉以下基本模型,对解决等腰直角三角形问题很有好处。
模型一:
一条直线(不与三角形的边重合)过等腰直角三角形的直角顶点
(1)以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边,必定可以构造一对全等的直角三角形:
(1)求证:
BG=AF;
(2)若D在BC的延长线上(如图
(2)),
(1)中的结论还成立吗?
若不成立,请写出新的
结论并证明。
变式1:
如图,在Rt△ABC中,/ACB=45°,/BAC=90°,AB=AC,点D是AB的中点,AF丄CD于H交BC于F,BE//AC交AF的延长线于E,
变式3:
等腰Rt△ABC中,AC=AB,/BAC=90
丄BD于点G,交BC于点F连接DF,求证:
/1=/2。
模型二:
等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边
变式2:
等腰Rt△ABC中,AC=AB,/BAC=90°,BE平分/ABC交AC于E,过C作CD丄BE于D,DM丄AB交BA的延长线于点M,
BMAM
(1)求abBC的值;
(2)求BC-AB的值。
模型三:
两个等腰直角三角形共一个顶点
3-1:
如图〔,△ABC、△BEF都是等腰直角三角形,/ABC=/BEF=900,连接AF、CF,
M是AF的中点,连ME,将△BEF绕点B旋转。
猜想CF与EM的数量关系并证明;
如图,△ABC和厶EBD都是等腰直角三角形,/BAC=ZBED=90a把DE平移到CF,使E
与C重合,连接AE、AF,则△AEB与厶AFC全等(关键是利用平行证明/ABE=/ACF)
?
2、3,将"BAC绕A旋转a度,
(1)中的结论是否仍然成立?
任意选择一个证明
3-2:
如图:
两个直角三角形ABC、ADE的顶点A重合,P是线段BD的中点,连PC、PE。
(1)如图1,若/BAC=/DAE=45。
,当A、C、D在同一直线上时,线段PC、PE的关系是
(2)如图你的结论。
AB=AC且/BAC=90有一点D满足/BDC=90:
D在边BC下面时,试探究DBDA和DC的大小关系?
D在边BC上面时,试探究DBDA和DC的大小关系?
△ABC为等边三角形,D为BC下面一点且/BDC=120,此时呢?
△
ABC为等腰三角形,D为BC下面一点且/BDC=60,此时又如何?
2
=2AE,其中正确的是
【巩固练习】
1.如图,在RtABC中,AB=AC,/BAC=90,D、E为BC上两点,/DAE=45,
F为ABC外一点,且FB丄BC,FA_AE,则下列结论:
①CE=BF;②222122
BD2CE2二DE2;③SAdeADEF;④CE2BE2
4
B、①②④
图1
D、②③
(2)若/MON=45°(如图2),求证:
①AM+MN=CN;
3•如图,在平面直角坐标系中,△AOB为等腰直角三角形,A(4,4)。
(1)若C为x轴正半轴上一动点,以AC为直角边作等腰直角△ACD,/ACD=90,连OD,求/AOD的度数;
(2)过A作y轴的垂线交y轴于E,F为x轴负半轴上一点,G在EF的延长线上,以EG
为直角边作等腰Rt△EGH,过A作x轴垂线交EH于点M,连FM,等式AM一FM二1是
OF
否成立?
若成立,请证明;若不成立,说明理由。
4.在△ABC和厶DCE中,AB=AC,DC=DE,/BAC=/EDC=90°点E在AB上,连AD,DF丄AC于点F。
试探索AE、AF、AC的数量关系;并求出/DAC的度数。
5•如图:
等腰RtAABC和等腰Rt△EDB,AC=BC,DE=BD,/ACB=ZEDB=90°E为
AB是一点,P为AE的中点。
⑴连接PC,PD;则PC,PD的位置关系是;数量关系是;并证明你
⑵当E在线段AB上变化时,其它条件不变,作EF丄BC于F,连接PF,试判断厶PCF
的形状;在点E运动过程中,△PCF是否可为等边三角形?
若可以,试求△ACB与
△EDB的两直角边之比。
6.已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC,Rt△CEF,/ABC=/CEF=90°连接AF,M是
AF的中点,连接MB、ME.
(1)如图1,当CB与CE在同一直线上时,求证:
MB//CF;
(2)如图1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长;
(3)如图2,当/BCE=45时,求证:
BM=ME.
(3)若点P为第四象限内一动点,且/关系?
请证明你的结论。
8•已知:
PA=2,PB=4,以AB为直角边作等腰直角三角形ABD,且P、D两点在直线AB的两侧•
(1)如图,当/APB=45°寸,求AB及PD的长;
(2)当/APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值及相应/APB的大小.
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- 初中 年级 等腰 直角三角形 中的 常用 模型