高考数学 热点题型和提分秘籍 专题03 逻辑联结词全称量词与存在量词 文doc.docx
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高考数学热点题型和提分秘籍专题03逻辑联结词全称量词与存在量词文doc
2019年高考数学热点题型和提分秘籍专题03逻辑联结词、全称量词与存在量词文
【高频考点解读】
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义
2.理解全称量词与存在量词的意义
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定
【热点题型】
热点题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断
例1、【2017山东,文5】已知命题p:
;命题q:
若
则a A. B. C. D. 【答案】B 【提分秘籍】 (1)判断含有逻辑联结词命题真假的步骤 ①先判断简单命题p,q的真假。 ②再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假。 (2)含逻辑联结词命题真假的等价关系 ①p∨q真⇔p,q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假。 ②p∨q假⇔p,q均假⇔(綈p)∧(綈q)真。 ③p∧q真⇔p,q均真⇔(綈p)∨(綈q)假。 ④p∧q假⇔p,q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真。 ⑤綈p真⇔p假;綈p假⇔p真。 【举一反三】 命题p: 函数f(x)=x3-3x在区间(-1,1)内单调递减,命题q: 函数f(x)=|sin2x|的最小正周期为π,则下列命题为真命题的是( ) A.p∧qB.(綈p)∨qC.p∨qD.(綈p)∧(綈q) 【答案】C 【解析】由f′(x)=3x2-3<0,解得-1<x<1,故函数f(x)=x3-3x在区间(-1,1)内单调递减,即命题p为真命题;函数y=sin2x的最小正周期为π,则函数f(x)=|sin2x|的最小正周期为 ,即命题q为假命题.由于p真、q假,故p∧q为假命题,p∨q为真命题;由于綈p假、q假,故(綈p)∨q为假命题;由于綈p假,綈q真,故(綈p)∧(綈q)为假命题。 热点题型二全称命题、特称命题的真假判断 例2、 (1)下列命题中的假命题是( ) A.∀x∈R,x2≥0 B.∀x∈R,2x-1>0 C.∃x0∈R,lgx0<1 D.∃x0∈R,sinx0+cosx0=2 (2)已知命题p: ∀x∈R,2x<3x,命题q: ∃x0∈R,x =1-x ,则下列命题中为真命题的是( ) A.p∧qB.(綈p)∧q C.p∧(綈q)D.(綈p)∧(綈q) 【答案】 (1)D (2)B 【提分秘籍】全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假 假 所有对象使命题假 否定为真 【举一反三】 已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若m满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项中的命题为假命题的是( ) A.∃x0∈R,f(x0)≤f(m) B.∃x0∈R,f(x0)≥f(m) C.∀x∈R,f(x)≤f(m) D.∀x∈R,f(x)≥f(m) 【答案】C 【解析】因为a>0,所以函数f(x)=ax2+bx+c在x=- 处取得最小值,所以f(m)是函数f(x)的最小值。 故选C。 热点题型三含有一个量词的命题的否定 例3. (1)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p: ∀x∈A,2x∈B,则( ) A.綈p: ∃x0∈A,2x0∈B B.綈p: ∃x0∉A,2x0∈B C.綈p: ∃x0∈A,2x0∉B D.綈p: ∀x∉A,2x∉B (2)已知命题p: ∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则綈p是( ) A.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 【答案】 (1)C (2)C 【提分秘籍】 对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作: (1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词; (2)将结论加以否定.这类问题常见的错误是没有变换量词,或者对于结论没有给予否定.有些命题中的量词不明显,应注意挖掘其隐含的量词。 【举一反三】 已知命题p: ∃x0>1,x -1>0,那么綈p是( ) A.∀x>1,x2-1>0 B.∀x>1,x2-1≤0 C.∃x0>1,x -1≤0D.∃x0≤1,x -1≤0 【答案】B 【解析】特称命题的否定为全称命题,所以綈p: ∀x>1,x2-1≤0,故选B。 热点题型四由命题真假求参数的取值范围 例4、已知a>0,设命题p: 函数y=ax在R上单调递增;命题q: 不等式ax2-ax+1>0对∀x∈R恒成立。 若“p∧q”为假,“p∨q”为真,求a的取值范围。 【提分秘籍】 解决这类问题时,应先根据题目条件,即复合命题的真假情况,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况),然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围,最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围。 【举一反三】 已知c>0,命题p: 函数y=cx在R上单调递减,q: 不等式x+|x-2c|>1的解集为R,p∧q为假,p∨q为真,求c的取值范围。 【解析】函数y=cx在R上单调递减⇔0<c<1。 不等式x+|x-2c|>1的解集为R⇔函数y=x+|x-2c|在R上恒大于1。 ∵x+|x-2c|= ∴函数y=x+|x-2c|在R上的最小值为2c。 不等式x+|x-2c|>1的解集为R⇔2c>1⇔c> 。 如果p正确,且q不正确,则0<c≤ ; 如果p不正确,且q正确,则c≥1。 ∴c的取值范围为 ∪[1,+∞)。 【高考风向标】 【2017山东,文5】已知命题p: ;命题q: 若 则a A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由 时 成立知p是真命题,由 可知q是假命题,所以 是真命题,故选B. 1.【2016高考四川文科】设p: 实数x,y满足 且 ,q: 实数x,y满足 ,则p是q的() (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 【答案】A 2.【2016高考天津文数】设 , ,则“ ”是“ ”的() (A)充要条件(B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 所以充分性不成立; ,必要性成立,故选C 3.【2016高考上海文科】设 ,则“ ”是“ ”的() (A)充分非必要条件(B)必要非充分条件 (C)充要条件(D)既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 ,所以“ ”是“ ”的充分非必要条件,选A. 1.【2015高考浙江,文3】设 , 是实数,则“ ”是“ ”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】D 2.【2015高考重庆,文2】“ ”是“ ”的() (A)充要条件(B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由“ ”显然能推出“ ”,故条件是充分的,又由“ ”可得 ,所以条件也是必要的,故选A. 3.【2015高考天津,文4】设 则“ ”是“ ”的() (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由 可知“ ”是“ ”的充分而不必要条件,故选A. 4.【2015高考四川,文4】设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的() (A)充要条件(B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】a>b>1时,有log2a>log2b>0成立,反之当log2a>log2b>0成立时,a>b>1也正确.选A 5.【2015高考湖南,文3】设 R,则“ >1”是“ >1”的() A、充分不必要条件B、必要不充分条件 C、充要条件D、既不充分也不必要条件 【答案】C 6.【2015高考安徽,文3】设p: x<3,q: -1 (A)充分必要条件(B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】∵ , ∴ ,但 ,∴ 是 成立的必要不充分条件,故选C. 1.(2014·北京卷)设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】当ab<0时,由a>b不一定推出a2>b2,反之也不成立. 2.(2014·广东卷)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB”的( ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 【答案】A 【解析】设R是三角形外切圆的半径,R>0,由正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB.故选A.∵sin≤AsinB,∴2RsinA≤2RsinB,∴a≤b.同理也可以由a≤b推出sinA≤sinB. 3.(2014·新课标全国卷Ⅱ)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p: f′(x0)=0,q: x=x0是f(x)的极值点,则( ) A.p是q的充分必要条件 B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 【答案】C 4.(2014·浙江卷)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若四边形ABCD为菱形,则AC⊥BD;反之,若AC⊥BD,则四边形ABCD不一定为平行四边形.故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.故选A. 【高考冲刺】 1.设命题p: 函数y= 在定义域上为减函数;命题q: ∃a,b∈(0,+∞),当a+b=1时, + =3.以下说法正确的是( ) A.p∨q为真B.p∧q为真 C.p真q假D.p,q均假 【答案】D 【解析】函数y= 分别在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数,在定义域{x|x≠0}上不具有单调性,∴命题 2.下列命题中正确的是( ) A.若命题p为真命题,命题q为假命题,则命题“p∧q”为真命题 B.“sinα= ”是“α= ”的充分不必要条件 C.l为直线,α,β为两个不同的平面,若l⊥β,α⊥β,则l∥α D.命题“∀x∈R,2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0” 【答案】D 【解析】选项A中,命题“p∧q”为假命题;选项B中,“sinα= ”是“α= ”的必要不充分条件;选项C中,直线l可能在平α内;选项D正确. 3.命题p: ∀x∈[0,+∞),(log32)x≤1,则( ) A.p是假命题,綈p: ∃x0∈[0,+∞),(log32)x0>1 B.p是假命题,綈p: ∀x∈[0,+∞),(log32)x≥1 C.p是真
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