科学和工程计算复习题201.docx

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科学和工程计算复习题201

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13.

科学和工程计算基础复习题

、填空题:

评价一个数值计算方法的好坏主要有两条标准:

计算结果的和得到结果

需要付出的.

计算机计费的主要依据有两项:

一是使用中央处理器（CPU）的时间,主要由决定;二是占据存储器的空间,主要由决定.

用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成.

对于某个算法,若输入数据的误差在计算过程中迅速增长而得不到控制,则称该算法

是,否则是.

函数求值问题yfx的条件数定义为:

单调减且有的数列一定存在极限;单调增且有的数列一定存在极限.

方程实根的存在唯一性定理:

设且,则至少存在一点a,b

使f0.当fx在a,b上时,方程在a,b内有唯一的实根函数fx,y在有界闭区域D上对y满足Lipschitz条件,是指对于D上的任意一对点

x,y1和x,y2成立不等式:

.其中常数L.

设ARnn,i,i1,2,,n为其特征值,则称为矩阵A的谱半径.

设A1存在,则称数为矩阵A的条件数,其中是矩阵的算子范数.

方程组xBxf,对于任意的初始向量x0和右端项f,迭代法xk1Bxkf收敛的充分必要条件是选代矩阵B的.

设被插函数fx在闭区间a,b上n阶导数连续,fn1x在开区间a,b上存在.若

n

xiin0为a,b上的n1个互异插值节点,并记n1xxxi,则插值多项式i0

中.

则称kxkn0为正交函

若函数组kxkn0Ca,b满足

数序列.

14.复化梯形求积公式,其余项为

15.复化Simpson求积公式,其余项为

16.选互异节点x0,x1,,xn为Gauss点,则Gauss型求积公式的代数精度为.

17.如果给定方法的局部截断误差是Tn1Ohp1,其中p1为整数,则称该方法是.

18.微分方程的刚性现象是指快瞬态解严重影响,给数值计算造成很大的实质性

困难的现象.

19.迭代序列xkk0a,b终止准则通常采用,其中的0

为.

20.在求解非线性方程组的阻尼牛顿迭代法中加进阻尼项的目的,是使线性方程组（牛顿方程）

的系数矩阵.

二、选择题

1.下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组Axb,Aaij的

nn

充分条件?

（）

A.矩阵A的各阶顺序主子式均不为零;B.A对称正定;

C.A严格对角占优;D.A的行列式不为零.

2.高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的

3.

B.

231333

n;C.n;D.n.

13

A.n;

3

344

敛的充分必要条件是（）.

A.B1;B.B1;C.detB0;D.B严格对角占优

4.下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组Axb,Aaij的Gauss-Seidel迭代法收

nn

敛的充分条件?

（）

A.A为严格对角占优阵;B.A为不可约弱对角占优阵;

C.A的行列式不为零;D.A为对称正定阵.

5.设fxC2a,b，并记M2maxfx，则函数fx的过点

a,fa,,bf的线b性插值余项R1x,xa,b满足（）.

A.R1xM2ba;B.R1xM2ba;

88

6.

7.

8.

C.R1x

M2

6

设nx是在区间

nx的n个根（

A.都是单实根;

Legendre多项式是

2

ba;

D.

M22

R1x62ba.

a,b上带权x的首项系数非零的n次正交多项式n1,则

）.

B.

（

A.区间1,1上带权

都是正根;C.有非负的根;D.存在重根）的正交多项式.（

1

x11x

B.区间1,1上带权x1;

C.区间,上带权xex

离散数据的曲线拟合的线性最小二乘法的

A.基函数kxk

B.

D.区间0,1上带权x1

Gram矩阵与（）无关?

m

m

自变量序列xii0;

C.权数wii0;

D.

离散点的函数值yiim0.

9.Simpson求积公式的余项是（

）.

h3

A.Rf1h2f,a,b;

h5

B.Rf9h0f4,a,b;

10.

11.

12.

13.

14.

15.

2

h2ba

C.Rf12f,a,b;

4

D.Rfh9b0af4,a,b

n个互异节点的Gauss型求积公式具有（A.n;B.n1;C.2n1;

一阶导数的数值计算公式中,中心差商公式的精度为（

B.Oh2;C.oh2;

）次代数精确度.D.2n1.

）.

D.Oh32.

A.Oh;

对于用插值法建立的数值求导公式,通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的

精度（）.

A.高;B,低;

在常微分方程初值问题的数值解法中

（

A.

）.

算术平均;B.几何平均;

当（

A.

C.相同;

梯形公式是显式

C.非等权平均;

D.不可比.

Euler公式和隐式Euler公式的

D.和.

）时,求解yy,0的显式Euler方法是绝对稳定的.

1h1;B.2h0;C.0h1;D.2h2

求解yy,0的经典R-K公式的绝对稳定条件是（

）:

A．2h0;

B.

2

1hh1;

C.

234

1hhhh

23!

4!

1;

D.

1h2h12

2

1h2h12

1.

（）阶的.A.1;B.0;

17.在非线性方程的数值解法中

A.1;B.0;

18.在非线性方程的数值解法中

16.在非线性方程的数值解法中,只要x*1,（x*x*）,那么不管原迭代法

xk1xk,k0,1,2,是否收敛,由它构成的Steffensen迭代法的局部收敛的阶是

C.2;D.2.

Newton迭代法的局部收敛的阶是（）阶的.

C.2;D.2.

离散Newton迭代法的局部收敛的阶是（）阶的.

A.1;B.2;

C.

15

2

D.2.

19.在求解非线性方程时

迭代终止准则通常采用

）,其中的0为给定的相对误差

容限.

20.在求解非线性方程组时,加进阻尼项的目的,是使线性方程组的（）.

三、判断题

1.在用计算机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题.（）

2.用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成算术运算;在作加减法时,应避免接近的两个数相减;在所乘除法时,计算结果的精度不会比原始数据的高.（）

3.用计算机作加减法时,交换律和结合律成立.（）

4.单调减且有下界的数列一定存在极限。

（）

5.设BRnn,则limBk0的充要条件是B的谱半径B1.（）

k

6.若ARnn,则一定有A2B.（）

7.求解线性代数方程组,当n很大时,Cholesky分解法的计算量比Gauss消去法大约减少了一半.（）

8.在用迭代法求解线性代数方程组时,若Jacobi迭代矩阵为非负矩阵,则Jacobi方法和

Gauss-Seidel方法同时收敛,或同时不收敛;若同时收敛,则Gauss-Seidel方法比Jacobi方法收敛快.（）

9.均差（或差商）与点列xi,fxii0的次序有关.（）

10.线性最小二乘法问题的解与所选基函数有关.（）

11.复化梯形求积公式是2阶收敛的,复化Simpson求积公式是4阶收敛的.（）

12.Gauss求积系数都是正的.（）

13.在常微分方程初值问题的数值解法中,因为梯形公式是显式Euler公式和隐式Euler公式的算术平均,而Euler公式和隐式Euler公式是一阶方法,所以梯形公式也是一阶方法.（）

14.在Runge-Kutta法中,通常同级的隐式公式能获得比显式公式更高的阶.（）

15.求解yy,0的梯形公式是无条件稳定的.（）

16.在常微分方程初值问题的数值解法中,不论单步法还是多步法,隐式公式比显式公式的稳定性好.（）

17.迭代法的基本问题是收敛性、收敛速度和计算效率.（）

18.在一元非线性方程的数值解法中,最有效的是Steffensen迭代法和Newton迭代法.前者不需要求导数,但不宜推广到多元的情形;后者需要求导数,但可直接推广到多元方程组（）

19.常微分方程边值问题的差分法,就是将解空间和微分算子离散化、组成满足边值条件的

差分方程组,求解此方程组,得到边值问题在节点上函数的近似值.

（）

20.在求解非线性方程组时,在一定条件下映内性可保证不动点存在

因而也能保证唯一性.

（）

四、线性代数方程组的数值解法

1.用高斯消去法求解方程组Axb，即

211x14

132x26

122x35

（1）列出用增广矩阵A,b表示的计算过程及解向量x；

（2）列出由此得到的Doolittle三角分解ALU中的三角阵L和U；（3）由U计算detA。

2.用高斯消去法求解方程组Axb，即

711x13

1

242x21

113x32

1）列出用增广矩阵

A,b表示的计算过程及解向量x；

2）列出由此得到的Doolittle三角分解ALU中的三角阵L和U；

3）由U计算detA。

3.用高斯消去法求解方程组Axb，即

1

3

3x11

2

1

1x22

2

3

4x32

4）

列出用增广矩阵

A,b表示的计算过程及解向量x；

5）

列出由此得到的

Doolittle三角分解ALU中的三角阵L和U；

6）

由U计算

detA。

4.用高斯消去法求解方程组Axb，即

211x14

342x211

324x311

1）列出用增广矩阵A,b表示的计算过程及解向量x；

2）列出由此得到的Doolittle三角分解ALU中的三角阵L和U；

3）由U计算detA。

5.

用高斯消去法求解方程组Axb，即

1

2

3

4x1

2

1

4

9

16

x2

10

1

8

27

64

x3

3

44

1

16

81

256

x4

190

2）

列出由此得到的Doolittle三角分解ALU中的三角阵L和U；

3）由U计算detA。

6.用高斯消去法求解方程组

Axb，即

1

2

41x121

2

8

6

4

x2

52

3

10

8

8

x3

79

4

12

10

6

x4

82

1）

3）由U计算detA。

7.用追赶法求解三对角方程组Axf,其中

4101

A

141

f

1

014

1

8.用追赶法求解三对角方程组Axf,其中

4101

A141,f3

01

4

2

9.用追赶法求解三对角方程组

Axf

其中

2

1

6

1

32

1

A

f

24

3

2

3

5

1

五、插值与拟合

1.已知函数fx的三个点0,1,1,5和2,1，写出Lagrange插值基函数,并求2次插值多项式L2x.

2.已知f10,f13,f24,求函数fx过这三点的二项Lagrange插值多项式L2x.

3.求不超过3次的多项式p3x，使它满足插值条件：

p12,p01,p10,p00.

4.求不超过4次的多项式px，使它满足插值条件：

p0p00,p1p11,p21.

5.给定数据如下:

x

1

1.5

0

2

fx

1.25

2.50

1.00

5.50

（1）作函数fx的均差表;

（2）用牛顿插值公式求三次插值多项式N3x.

6.求不超过3次的多项式Hx，使它满足插值条件

H19,H115,H11,H11.

7.己知函数fx的三个点处的值为：

f11,f00,f11

在区间[-1,1]上,求fx在自然边界条件下的三次样条插值多项式.

8.已知fx为定义在区间0,3上的函数,且有

f00,f10.5,f22.0,f31.5,f00.2,f31.试求区间0,3上满足上述条件的三次样条插值函数.

9.己知点列和权数xii402,1,0,1,2,wii400.5,1,1,1,1.5,试用三项

递推公式构造对应的正交多项式0x,1x,2x.

10.观察物体的直线运动,得出如下数据：

时间t/s

0.0

0.9

1.9

3.0

3.9

5.0

距离s/m

0

10

30

50

80

110

求运动方程satb,并作图.

11.试用二次多项式拟合下表中的离散数据

i

0

1

2

3

4

xi

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

yi

0.10

0.35

0.81

1.09

1.96

12.试用二次多项式拟合下表中的离散数据

i

0

1

2

3

4

xi

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

yi

1.0000

1.2840

1.6487

2.1170

2.7183

13.用自己的语言叙述最小二乘原理，并求参数和，使积分值

2

2sinxxdx最小.

六、数值积分和数值微分

1.求积公式

1

fxdxA0f0A1f1B0f0

已知其余项的表达式为Rfkf,0,1,试确定系数A0,A1,B0使该求积公式具有尽可能高的代数精确度,并给出该求积公式的余项和代数精确度的次数.

2.确定下列求积公式的待定参数,使该求积公式的代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数.

111

（1）1fxdxA0fA1fx1A2f

122

h

（2）hfxdxA0fhA1f0A2fh

1

（3）0fxdxA0f0A1f1A2f0

3.确定下列求积公式的待定参数,使该求积公式的代数精确度尽量高,指出其代数精确度的次数,并求出余项中的常数k.

1

（1）fxdxA0f0A1f1A2f1kf,0,1

1

（2）1fxdxA0f1A1fx1kf,1,1

4.给定数据表:

x

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

fx

3.12014

4.42569

6.04241

8.03014

10.46675

2.6分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算fxdx的近似值.

5.分别用4段梯形公式和2段Simpson公式计算下列积分,运算时取5位有效数字。

（1）1xdx

（2）x1x2dx

6.己知求积公式:

2fxdx432f1f02f1

7.

用两种不同的方法确定x1,x2,A1,A2，使下面公式为Gauss求积公式:

1

fxdxA1fx1A2fx2

1.

取步长h0.1，试用显式Euler法求解初值问题：

yy2x,0x1y

y01.

并将计算解和精确解（要求求出）比较.

2.取h0.1，试用显式Euler法、隐式Euler法和梯形公式求解初值问题：

y4x2y,0x0.5y02.

并将计算解和精确解（要求求出）比较.

4.考虑常微分方程初值问题:

yyxe1

y10

分别取h1,2,用经典R-K方法计算到x13.

八、非线性代数方程和方程组的解法

2x

1.对于方程fx3xe0，选择适当的初始值，分别用牛顿法和割线

法求它的全部根。

2.利用Steffensen迭代法,求方程fxxex10的根.

3.设x*是方程fx0的m重根m2,试证:

fx*1

（1）牛顿迭代函数xx满足x*1;

fxm

（2）迭代法xk1xkxkmfxk的迭代函数满足x*0.

fxk

5.

试确定常数p,q和r,使迭代法

局部收敛于3a，并使收敛阶尽量高。

是几阶方法？