高考数学理科课标版仿真模拟卷四含新题附答案.docx
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高考数学理科课标版仿真模拟卷四含新题附答案
2018高考仿真卷·理科数学(四)
(考试时间:
120分钟 试卷满分:
150分)
一、选择题(本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合M=
N={x|x≥1,x∈R},则下列结论正确的是( )
A.M∩N=NB.M∩∁RN=⌀C.M∪N=RD.M⊂∁RN
2.已知i为虚数单位,若复数z满足(1-i)z=(1+i)2,则|z|等于( )
A.2B.-
C.
D.1+i
3.在等差数列{an}中,已知a2=2,前7项和S7=56,则公差d=( )
A.2B.3C.-2D.-3
4.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图一),图二是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”,其中正方形ABCD内部即为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形AFB,BCG,CDH,DAE组成,其中BF=3,AF=4,分别延长FA,GB,HC,ED到A',B',C',D',使AA'=FA,BB'=GB,CC'=HC,DD'=ED,连接A'B,B'C,C'D,D'A,我们将图中阴影所在的四个三角形ABA',三角形BCB',三角形CDC',三角形DAD'称为“风叶”,若在风车内随机取一点,则此点取自“风叶”的概率为( )
A.
B.
C.
D.
5.设x,y满足约束条件
则z=x+3y的取值范围是( )
A.[8,12]B.[7,12]C.[7,8]D.[7,+∞)
6.
的展开式中x3的系数为( )
A.-
B.-
C.
D.
7.
执行右画的程序框图,如果输入的x∈[-1,4],则输出的y属于( )
A.[-2,5]B.[-2,3)
C.[-3,5)D.[-3,5]
8.将函数y=2sin
x+
sin
-x
的图象向左平移φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数恰为奇函数,则φ的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A.11πB.29πC.3πD.
π
10.在直角坐标系xOy中,设F为双曲线C:
=1(a>0,b>0)的右焦点,P为双曲线C的右支上一点,且△OPF为正三角形,则双曲线C的离心率为( )
A.
B.
C.1+
D.2+
11.已知不等式lnx+(a-2)x-2a+4≥0有且仅有三个整数解,则a的取值范围是( )
A.(-∞,2)B.[2-ln3,2)C.[2-ln3,2-ln2)D.
12.
在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=1,AB=2,E,F分别为AB,BC的中点,点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧DE上变动(如图所示),若
=λ
+μ
其中λ,μ∈R,则2λ-μ的取值范围是( )
A.[-2,2)B.[-1,1]
C.[-1,0]D.[0,2]
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.抛物线:
y2=2px过点(1,-2),则抛物线的准线方程为 .
14.设向量a,b是相互垂直的单位向量,向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ= .
15.在各项都为正数的等比数列{an}中,若a2018=
则
的最小值为 .
16.若0 -x3在[-a,a]上有最大值M和最小值m,则M+m的值为 . 三、解答题(共70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答) (一)必考题: 共60分 17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a=2,acosB=(2c-b)cosA. (1)求角A的大小; (2)求△ABC周长的最大值. 18.(12分)如图,四边形ABCD是矩形,AB=3 BC=3,DE=2EC,PE⊥平面ABCD,PE= . (1)证明: 平面PAC⊥平面PBE; (2)求二面角A-PB-C的余弦值. 19.(12分)在十九大“优先发展教育事业”精神指引下,2018年教师资格证考试报名异常火爆.教师资格证考试共分笔试和面试两个步骤,只有笔试合格才能进入面试环节,笔试与面试均合格者由教育部颁发教师资格证. 甲、乙、丙三人准备考取教师资格证,根据对三人知识、能力、素质各方面的考察,甲、乙、丙三人笔试合格的概率依次为 面试合格的概率依次为 . (1)求笔试结束后甲、乙、丙三人中恰有一人笔试合格的概率; (2)经过笔试与面试,甲、乙、丙三人中获得教师资格证的人数为X,求随机变量X的数学期望. 20. (12分)如图,已知椭圆C: =1(a>b>0)的右焦点为F,A(2,0)是椭圆的右顶点,过F且垂直于x轴的直线交椭圆于P,Q两点,且|PQ|=3. (1)求椭圆的方程; (2)过点A的直线l与椭圆交于另一点B,垂直于l的直线l'与直线l交于点M,与y轴交于点N,若FB⊥FN且|MO|=|MA|,求直线l的方程. 21.(12分)已知函数f(x)=(a+2)x+ -alnx,g(x)=-x2+(a+2)x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当a>0时,若函数f(x)与函数g(x)的图象有且仅有一个交点(x0,y0),求[x0]的值.(其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.23]=0,[2.1]=2,[-1.4]=-2) 参考数据: ln2=0.693,ln3=1.099,ln5=1.609,ln7=1.946. (二)选考题: 共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4—4: 坐标系与参数方程(10分) 在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (α为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsin . (1)求C的普通方程和l的倾斜角; (2)设点P(0,2),直线l和C交于A,B两点,求|PA|+|PB|. 23.选修4—5: 不等式选讲(10分) 已知函数f(x)=|x-2|. (1)求不等式f(x)≤5-|x-1|的解集; (2)若函数g(x)= -f(2x)-a的图象在 上与x轴有3个不同的交点,求a的取值范围. 2018高考仿真卷·理科数学(四) 1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.A 7.D 8.A 9.A 10.C 11.C 12.B 13.x=-1 14.2 15.4 16.4035 17.解 (1)由已知,得acosB+bcosA=2ccosA. 由正弦定理,得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA, 即sin(A+B)=2sinCcosA. 因为sin(A+B)=sin(π-C)=sinC, 所以sinC=2sinCcosA. 因为sinC≠0,所以cosA= 因为0 (2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA, 得bc+4=b2+c2,即(b+c)2=3bc+4. 因为bc 所以(b+c)2 (b+c)2+4. 即b+c≤4(当且仅当b=c=2时等号成立). 所以a+b+c≤6. 18. (1)证明∵四边形ABCD是矩形,AB=3 BC=3, DE=2EC,∴EC= 即AB∶BC=BC∶CE, 即Rt△ABC∽Rt△BCE, ∴∠EBC=∠CAB,∴∠EBC+∠ACB=90°,即AC⊥BE, 又∵PE⊥底面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴PE⊥AC, ∴AC⊥平面PBE. (2)解以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,垂直于平面xOy且向上的方向为z轴建立空间直角坐标系: 则A(3,0,0),B(3,3 0),C(0,3 0),P(0,2 ), =(0,3 0), =(3, - ), =(3,0,0), 设平面PAB的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则 令z1=3,则x1= 所以n1=( 0,3). 同理,设平面PBC的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则 令z2=1,则y2= ∴n2=(0, 1). ∴|cos 易知二面角为钝角,所以二面角A-PB-C的余弦值为- 19.解 (1)设事件A为甲笔试合格,事件B为乙笔试合格,事件C为丙笔试合格,则三人中恰有一人合格的概率P=P(A )+P( )+P( C)= (2)甲获得教师资格证即甲笔试面试都通过的概率P(甲)= 乙获得教师资格证的概率P(乙)= 丙获得教师资格证的概率P(丙)= 可知,服从二项分布,所以随机变量的期望为E(X)=3 20.解 (1)由 得a=2,b= 所以椭圆方程为 =1. (2)由于直线l过点A,可设直线l方程为x=my+2,由题意可知m≠0,与直线PQ: x=1联立, 得M 直线MN与直线l垂直,可得直线MN方程为y=-m(x-1)- =-mx+m- 令x=0,得N 设B(my0+2,y0),FB⊥FN, =0,∴y0=-m,① 由B点在椭圆上,代入椭圆方程得 =1,② 联立①②,得m=± 所以直线l方程为x=± y+2. 21.解 (1)f'(x)=a+2- 当a=-4时,f'(x)= 0, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递减, 当a=-2时,f'(x)= 所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 当a<-4时,f'(x)=(a+2) (x-1),f(x)在 上单调递减,在 上单调递增,在(1,+∞)上单调递增.
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