高三数学数学解题方法之反证法和数学归纳法探讨教案新人教A版.docx
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高三数学数学解题方法之反证法和数学归纳法探讨教案新人教A版
数学解题方法之反证法和数学归纳法探讨
3~8讲,我们对数学思想方法进行了探讨,从第九讲开始我们对数学解题方法进行探讨。
数学问题中,常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。
反证法是“间接证明法”一类,是从反面的角度的证明方法,即:
肯定题设而否定结论,从而得出矛盾。
具体地讲,反证法就是从反论题入手,把命题结论的否定当作条件,使之得到与条件相矛盾,肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明。
在应用反证法证题时,一定要用到“反设”,否则就不是反证法。
用反证法证题时,如果欲证明的命题的方面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以,这种反证法又叫“归谬法”;如果结论的方面情况有多种,那么必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断原结论成立,这种证法又叫“穷举法”。
数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法,它主要用来研究与自然数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
一般地,在高中数学中证明一个与自然数n有关的命题P(n),有如下步骤:
(1)证明当n取第一个值n0时命题成立。
n0对于一般数列取值为0或1,但也有特殊情况;
(2)假设当n=k(k≥n0,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。
综合
(1)
(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立。
结合2012年全国各地高考的实例探讨反证法和数学归纳法的应用:
一、反证法的应用:
典型例题:
例1:
(对于数集
,其中
,
,定义向量集
.若对于任意
,存在
,使得
,则称X具有性质P.例如
具有性质P.
(1)若
>2,且
,求
的值;(4分)
(2)若X具有性质P,求证:
1X,且当
n>1时,
1=1;(6分)
(3)若X具有性质P,且
1=1,
(
为常数),求有穷数列
的通项公式.(8分)
【答案】解:
(1)选取
,则Y中与
垂直的元素必有形式
。
∴
,从而
=4。
(2)证明:
取
,设
满足
。
由
得
,∴
、
异号。
∵-1是X中唯一的负数,所以
、
中之一为-1,另一为1。
故1X。
假设
,其中
,则
。
选取
,并设
满足
,即
。
则
、
异号,从而
、
之中恰有一个为-1。
若
=-1,则
,矛盾;
若
=-1,则
,矛盾.
∴
=1。
(3)猜测
,i=1,2,…,
。
记
,
=2,3,…,
。
先证明:
若
具有性质P,则
也具有性质P。
任取
,
、
.当
、
中出现-1时,显然有
满足
。
当
且
时,
、
≥1。
∵
具有性质P,∴有
,
、
,使得
。
从而
和
中有一个是-1,不妨设
=-1,
假设
且
,则
。
由
,得
,与
矛盾。
∴
,从而
也具有性质P。
现用数学归纳法证明:
,i=1,2,…,
。
当
=2时,结论显然成立。
假设
时,
有性质P,则
,i=1,2,…,
;
则当
时,若
有性质P,则
也有性质P,所以
。
取
,并设
满足
,即
。
由此可得
与
中有且只有一个为-1。
若
,则
,所以
,这不可能;
∴
,
,又
,所以
。
综上所述,
,i=1,2,…,
。
【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系,数学归纳法和反证法的应用。
【解析】
(1)根据题设直接求解。
(2)用反证法给予证明。
(3)根据题设,先用反证法证明:
若
具有性质P,则
也具有性质P,再用数学归纳法证明猜测
,i=1,2,…,
。
例2:
设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表,满足:
每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零,记s(m,n)为所有这样的数表构成的集合。
对于A∈S(m,n),记Ri(A)为A的第ⅰ行各数之和(1≤ⅰ≤m),Cj(A)为A的第j列各数之和(1≤j≤n);
记K(A)为∣R1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。
(1)对如下数表A,求
的值;
1
1
-0.8
0.1
-0.3
-1
(2)设数表A∈S(2,3)形如
1
1
c
a
b
-1
求
的最大值;
(3)给定正整数t,对于所有的A∈S(2,2t+1),求
的最大值。
【答案】解:
(1)由题意可知
,
∴
。
(2)先用反证法证明
:
若
,则
,
∴
(无解)
。
同理可知
。
∴
。
由题设所有数和为0,即
,
∴
,解得
,与题设
矛盾。
∴
。
易知当
时,
存在。
∴
的最大值为1。
(3)
的最大值为
。
首先构造满足
的
:
,
。
经计算知,
中每个元素的绝对值都小于1,所有元素之和为0,且
,
,
。
下面证明
是最大值。
若不然,则存在一个数表A∈S(2,2t+1),使得
。
由
的定义知
的每一列两个数之和的绝对值都不小于
,而两个绝对值不超过1的数的和,其绝对值不超过2,故
的每一列两个数之和的绝对值都在区间
中.由于
,故
的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于
。
设
中有
列的列和为正,有
列的列和为负,由对称性不妨设
,则
。
另外,由对称性不妨设
的第一行行和为正,第二行行和为负。
考虑
的第一行,由前面结论知
的第一行有不超过
个正数和不少于
个负数,每个正数的绝对值不超过1(即每个正数均不超过1),每个负数的绝对值不小于
(即每个负数均不超过
)。
因此
,故
的第一行行和的绝对值小于
,与假设矛盾。
因此
的最大值为
。
【考点】逻辑推理,反证法的应用。
【解析】
(1)根据ri(A)为A的第i行各数之和(i=1,2),cj(A)为A的第j列各数之和(j=1,2,3);求出|r1(A)|,|r2(A)|,|c1(A)|,|c2(A)|,|c3(A)|中的最小值可即为所求。
(2)用反证法证明。
(3)先构造满足
的
,用反证法证明
是最大值。
例3:
已知各项均为正数的两个数列
和
满足:
,
,
(1)设
,
,求证:
数列
是等差数列;
(2)设
,
,且
是等比数列,求
和
的值.
【答案】解:
(1)∵
,∴
。
∴
。
∴
。
∴数列
是以1为公差的等差数列。
(2)∵
,∴
。
∴
。
(﹡)
设等比数列
的公比为
,由
知
,下面用反证法证明
若
则
,∴当
时,
,与(﹡)矛盾。
若
则
,∴当
时,
,与(﹡)矛盾。
∴综上所述,
。
∴
,∴
。
又∵
,∴
是公比是
的等比数列。
若
,则
,于是
。
又由
即
,得
。
∴
中至少有两项相同,与
矛盾。
∴
。
∴
。
∴
。
【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法。
【解析】
(1)根据题设
和
,求出
,从而证明
而得证。
(2)根据基本不等式得到
,用反证法证明等比数列
的公比
。
从而得到
的结论,再由
知
是公比是
的等比数列。
最后用反证法求出
。
二、数学归纳法的应用:
例1:
(对于数集
,其中
,
,定义向量集
.若对于任意
,存在
,使得
,则称X具有性质P.例如
具有性质P.
(1)若
>2,且
,求
的值;(4分)
(2)若X具有性质P,求证:
1X,且当
n>1时,
1=1;(6分)
(3)若X具有性质P,且
1=1,
(
为常数),求有穷数列
的通项公式.(8分)
【答案】解:
(1)选取
,则Y中与
垂直的元素必有形式
。
∴
,从而
=4。
(2)证明:
取
,设
满足
。
由
得
,∴
、
异号。
∵-1是X中唯一的负数,所以
、
中之一为-1,另一为1。
故1X。
假设
,其中
,则
。
选取
,并设
满足
,即
。
则
、
异号,从而
、
之中恰有一个为-1。
若
=-1,则
,矛盾;
若
=-1,则
,矛盾.
∴
=1。
(3)猜测
,i=1,2,…,
。
记
,
=2,3,…,
。
先证明:
若
具有性质P,则
也具有性质P。
任取
,
、
.当
、
中出现-1时,显然有
满足
。
当
且
时,
、
≥1。
∵
具有性质P,∴有
,
、
,使得
。
从而
和
中有一个是-1,不妨设
=-1,
假设
且
,则
。
由
,得
,与
矛盾。
∴
,从而
也具有性质P。
现用数学归纳法证明:
,i=1,2,…,
。
当
=2时,结论显然成立。
假设
时,
有性质P,则
,i=1,2,…,
;
则当
时,若
有性质P,则
也有性质P,所以
。
取
,并设
满足
,即
。
由此可得
与
中有且只有一个为-1。
若
,则
,所以
,这不可能;
∴
,
,又
,所以
。
综上所述,
,i=1,2,…,
。
【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系,数学归纳法和反证法的应用。
【解析】
(1)根据题设直接求解。
(2)用反证法给予证明。
(3)根据题设,先用反证法证明:
若
具有性质P,则
也具有性质P,再用数学归纳法证明猜测
,i=1,2,…,
。
例2:
函数
。
定义数列
如下:
是过两点
的直线
与
轴交点的横坐标。
(1)证明:
;
(2)求数列
的通项公式。
【答案】解:
(1)∵
,∴点
在函数
的图像上。
∴由所给出的两点
,可知,直线
斜率一定存在。
∴直线
的直线方程为
。
令
,可求得
,解得
。
∴
。
下面用数学归纳法证明
:
当
时,
,满足
,
假设
时,
成立,则当
时,
,
由
得,
,即
,∴
。
∴
也成立。
综上可知
对任意正整数恒成立。
下面证明
:
∵
,
∴由
得,
。
∴
。
∴
即
。
综上可知
恒成立。
(2)由
得到该数列的一个特征方程
即
,
解得
或
。
∴
①,
②。
两式相除可得
。
而
∴数列
是以
为首项以
为公比的等比数列
。
∴
。
【考点】数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用,不等式的证明,数学归纳法。
【解析】
(1)先从函数入手,表示直线方程,从而得到交点坐标,再运用数学归纳法证明
,运用差值法证明
,从而得证。
(2)根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项。
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