二次函数综合练习题1.docx
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二次函数综合练习题1.docx
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二次函数综合练习题1
二次函数综合练习题
(1)
1.如图,二次函数
的图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.
(1)试判断⊿ABC的形状;
(2)在该二次函数的图像上是否存在点D,使四边形ACBD为直角梯形?
若存在,求出D点坐标;若不存在,请说明理由。
2.已知抛物线y=x2和直线y=(m2-1)x+m2.
(1)求证:
无论m为何实数,抛物线与直线总有两个交点;
(2)如图,设抛物线与直线的交点从左到右分别为A、B,当抛物线与直线的两个交点的横坐标之差为3时,求点A到OB的距离.
3.如图所示,在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(-1,0),抛物线
经过点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否存在点P(点B除外),使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?
若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由.
4(2009长沙).如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C。
连接AC、BC,A、C两点的坐标分别为A(-3,0)、C(0,
),且当x=-4和x=2时二次函数的函数值相等。
(1)求实数a、b、c的值;
(2)若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到达终点时,另一点也停止运动。
当运动时间为t秒时,连接MN,将⊿BMN沿MN翻折,B点恰好落在AC边上的P处,求t的值及点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,二次函数图像的对称轴上是否存在点Q,使得以B、N、Q为顶点的三角形与⊿ABC相似?
如果存在,请求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由。
5.如图,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点O为原点,点A在x轴上,点C在y轴上,OA=10,OC=6.
(1)如图,在AB上取一点M,使得△CBM沿CM翻折后,点B落在x轴上,记作B′点,求B′点的坐标;
(2)求折痕CM所在直线的解析式;
(3)作BG//AB交CM于G,若抛物线
过点G,求抛物线解析式,并判断以原点O为圆心,OG为半径的圆与抛物线除交点G外,是否还有交点?
若有,请直接写出交点坐标.
6.已知:
如图,抛物线y=-
x2+3与x轴交于点A、点B,与直线y=-
x+b相交于点B,点C,直线y=-
x+b与y轴相交于点E.
(1)写出直线BC的解析式;
(2)求⊿ABC的面积;
(3)若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动(不与A,B重合),同时点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动。
设运动时间为t秒,请写出⊿MNB的面积s与t的函数关系式,并求出点M运动多少时间时,⊿MNB的面积最大,最大面积是多少?
7.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O为原点,E为AB上一点,把△CBE沿CE折叠,使点B恰好落在OA边上的点D处,点A,D的坐标分别为(5,0)和(3,0)。
⑴求点C的坐标;
⑵求DE所在直线的解析式;
⑶设过点C的抛物线y=2x2+
bx+c(b<0)与直线BC的另一个交点为M,问在该抛物线上是否存在点G,使得△CMG为等边三角形。
如存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由。
8抛物线y=x2-2x+c的顶点A在直线y=x-5上。
(1)求抛物线的顶点A的坐标;
(2)抛物线与y轴的交点为B,与x轴的交点为C、D两点(点C在点D的左边),判断⊿ABD的形状;
(3)在直线y=x-5上是否存在点p,使以P、A、B、D为顶点的四边形为平行四边形?
若存在求出P点坐标,若不存在,请说明理由。
9、(2012长沙)如图半径分别为m,n
的两圆⊙O1和⊙O2相交于P,Q两点,且点P(4,1),两圆同时与两坐标轴相切,⊙O1与x轴,y轴分别切于点M,点N,⊙O2与x轴,y轴分别切于点R,点H。
(1)求两圆的圆心O1,O2所在直线的解析式;
(2)求两圆的圆心O1,O2之间的距离d;
(3)令四边形PO1QO2的面积为S1,
四边形RMO1O2的面积为S2.
试探究:
是否存在一条经过P,Q两点、开口向下,且在x轴上截得的线段长为
的抛物线?
若存在,亲、请求出此抛物线的解析式;若不存在,请说明理由。
10、如图,在平面直角坐标系中,以点C(1,1)为圆心,2为半径作圆,交x轴于A、B两点,开口向下的抛物线经过点A、B,且其顶点P在⊙C上。
(1)求∠ACB的度数;
(2)直接写出A、B两点的坐标;
(3)试确定抛物线的解析式;
(4)在抛物线上是否存在一点D,使线段OP与线段CD互相平分?
若存在求出D点坐标;若不存在说明理由。
11、如图,一次函数
分别交y轴、x轴于A、B两点,抛物线
过A、B两点。
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N。
求当t取何值时,MN有最大值?
最大值是多少?
(3)在
(2)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,求顶点D的坐标。
12、已知抛物线
(m>0)与x轴交与A、B两点。
(1)求证:
抛物线的对称轴在y轴的左侧;
(2)若
(O是坐标原点),求抛物线的解析式;
(3)设抛物线与y轴交与点C,若△ABC是直角三角形,求△ABC的面积。
13、如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB。
(1)求经过A、B、O三点的抛物线的解析式;
(2)若
(1)中的抛物线的顶点为C,求⊿BOC的面积?
(3)探究:
如果点P是
(1)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么⊿PAB是否有最大面积?
若有,求出此时P点的坐标及⊿PAB的最大面积;若没有,请说明理由。
14、如图,抛物线
与双曲线
相交于A、B两点,且抛物线经过坐标原点,点A的坐标为(-2,2),点B在第四象限内,作直线BC∥x轴,点C为直线BC与抛物线的另一交点,已知直线BC到x轴的距离是点B到y轴的距离的4倍,抛物线的顶点为E。
(1)求双曲线和抛物线的解析式;
(2)计算⊿ABC与⊿ABE的面积;
(3)在抛物线上是否存在点D,使⊿ABD的面积是⊿ABE的面积的8倍。
若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。
15、如图,抛物线经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点。
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作NM∥Y轴交抛物线于N。
若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示MN的长;
(3)在
(2)的条件下,连接NB,NC,是否存在点M,使⊿BNC的面积最大?
若存在,请求m的值;若不存在,请说明理由。
16、已知抛物线
经过A(2,0)。
设顶点为P,与x轴的另一交点为B。
(1)求b的值,并求出点P、B的坐标;
(2)如图,在直线
上是否存在点D,使四边形OPBD为平行四边形?
若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,使⊿AMP≌⊿AMB?
若存在,试举例验证你的猜想;若不存在,请说明理由。
17、如图,抛物线
的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知点B的坐标为(4,0)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)试探究⊿ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;
(3)若点M是线段BC下方的抛物线上的一点,求⊿MBC的面积的最大值,并求出此时M点坐标。
18、如图,抛物线的解析式是
,点C的坐标为(-4,0),平行四边形OABC的顶点A、B在抛物线上,AB与y轴交于点M,已知点Q(x,y)在抛物线上,点P(t,0)在x轴上。
(1)写出点M的坐标;
(2)当四边形CMQP是以MQ,PC为腰的梯形时;
①求t关于x的函数解析式和自变量的取值范围;
②当梯形CMQP的两底的长度之比为1:
2时,求t的值
19、已知:
直线
与y轴交于A,与x轴交于D,抛物线
与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)动点P在x轴上运动,当⊿PAE是直角三角形时,求P点的坐标。
(3)在抛物线的对称轴上找一点,使︱AM-MC︱的值最大,求出点M的坐标。
20、如图,矩形A’BC’O’是矩形OABC(边OA在x轴的正半轴上,边OC在y轴的正半轴上)绕B点逆时针旋转得到的。
O‘点在轴的正半轴上,B点的坐标是(1,3).
(1)如果二次函数
的图像经过点O、O’两点,且顶点M的纵坐标为-1,求这个二次函数的解析式。
(2)在
(1)中的二次函数图像的对称轴的右边上,是否存点P,使得⊿POM为直角三角形(其中OM为直角边)?
若存在,请求出P点坐标和⊿POM的面积;若不存在,请说明理由。
(3)求边O’C’所在直线的解析式.
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