工科物理大作业12简谐运动.docx
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工科物理大作业12简谐运动
工科物理大作业12-简谐运动
12
12简谐运动
班号学号姓名成绩
一、选择题
(在下列各题中,均给出了4个~5个答案,其中有的只有1个是正确答案,有的则有几个是正确答案,请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内)
1.在关于简谐运动的下列说法中,正确的是:
A(质点受到回复力(恒指向平衡位置的力)的作用,则该质点一定作简谐运动;
B(一小球在半径很大的光滑凹球面上来回滑动,如果它滑过的弧线相对凹球面的半径很短,则小球作简谐运动;
C(物体在某一位置附近来回往复的运动是简谐运动;
2dQ2,,Q,0D(若一物理量Q随时间的变化满足微分方程,则此物理量Q作简2dt
谐运动(,是由振动系统本身的性质决定的常量);
E.篮球运动员运球过程中,篮球作简谐运动。
(B、D)[知识点]简谐运动的概念。
[分析与解题]因为一质点作简谐运动必须受到,个恒指向平衡位
置,且与位移成正比的弹性力(或准弹性力)的作用。
如图12-1所示,根据牛顿第二定律,小球在运动时受到
y,,回复力的作用,依题意,(式中F,,mgsin,sintan,,τR
mgR为凹球面半径),即回复力为,满足简谐运动动力学F,,yτyROmg判据。
图12-1简谐运动不仅是来回往复运动,而且应满足位移随时间是按正
弦(或余弦)规律变化的。
22dydQ22,,y,0,,Q,0简谐运动的运动学特征是,所以,物理量Q的微分方程22dtdt
满足简谐运动运动学判据。
篮球运动员运球过程中,篮球除在拍打和地面反弹有瞬间碰撞力外,只受到始终向下的重力作用,不满足简谐运动动力学判据。
2.一个沿y轴作简谐运动的弹簧振子,振幅为A,周期为T,其运动方程用余弦函数表示。
下面左侧是振子的初始状态,右侧列出了一些初相位值,试用连线的方法确定它们的对应关系:
A3/A(过y,处向y轴正方向运动A.初相位为,π24
A/y,,B(过处向y轴正方向运动B.初相位为,π
2
1/C(过平衡位置处向y轴正方向运动C.初相位为,π3
1/D(过D.初相位为y,,A,π02[知识点]旋转矢量法求初相位。
[分析与解题]由题意可画出各种条件下的旋转矢量,如图12-2所示。
OOyOyOyy
ABCD
图12-2
3.一质点作简谐运动,其振动速度与时间的v—t曲线如图12-3(a)所示,若质点的振动规律用余弦函数描述,则其振动方程中初相位应为:
π5π5πA(,;B(;C(;,,666
π2πD(,;E(。
(C),63
v
vm
0.5vm
O,vv0t
图12-3(a)图12-3(b)
[知识点]速度的旋转矢量,速度与位移的相位关系。
[分析与解题]由如图12-3(a)所示v—t曲线可知,t=0时,且v在增大,从vv,0.5v0m
π的旋转矢量图12-3(b)所示,得速度初相位为,,,v3
ππ又知速度相位比位移相位超前,即,,,,v022
ππ5π则位移的初相位,,,,,,0326
4.如图12-4所示的弹簧振子,当振动到最大位移处恰有一质量为m的烂泥小球从正0上方落到质量为m的物块上,并与物块粘在一起运动。
则下述结论中正确的是:
A(振幅变小,周期变小;m0
B(振幅变小,周期不变;kmy
C(振幅不变,周期变大;
D(振幅不变,周期变小;(C)图12-4[知识点]简谐运动振幅A和周期T的影响因素。
[分析与解题]当振子正好在最大位移处时,烂泥小球落在物块上,根据动量守恒定律,在y
方向有mv,(m,m)v,00
A,A所以,小球不会影响振子在y方向上的状态,即不会影响振幅变化,有。
mT,2π由于周期是由振动系统自身性质所确定的,即k
烂泥小球落在物块前后,振子的质量由m变化为(m+m),因此相应的周期将发生变0
化,即
mT,2π泥球落下前:
k
m,m0,T,2π,T泥球落下后:
k
5.有两个沿y轴作简谐振动的质点,其频率、振幅皆相同,当第一个质点自平衡位置
Ay,,向负方向运动时,第二个质点在处(A为振幅)也向负方向运动。
则两者的相位差2
为:
,,21
2π5πππA(;B(;C(;D(。
(C)2366[知识点]旋转矢量求初相位,相位差的计算。
π[分析与解题]由题意作如图12-5所示旋转矢量,可得:
第一个质点的相位为时,第,,12
2π二个质点的相位应为,则相位差为,,23
2πππ,,,,,,,,,21326
2,1OO,yy,,t,
图12-5图12-6
(一质点作简谐运动,周期为T,当它由平衡位置向y轴正方向运动时,从二分之一6
最大位移处到最大位移处所需时间为:
TTTTA(;B(;C(;D(。
(C)41268[知识点]旋转矢量求初相位,旋转矢量与简谐振动的对应关系。
[分析与解题]由题意作如图12-6所示旋转矢量,可得:
当质点由平衡位置向y轴正方向运
π1动时,在处的相位为,在A处的相位为,则得,,A,,,01232
π,t,,3
ππT,t,,,所需要的时间为2π3,63,T
πt,07.一质点作简谐运动,其振动方程为,则该物体在时刻与y,Acos(,t,)2
Tt,(T为振动周期)时刻的动能之比为:
8
A(1:
4;B(1:
2;C(1:
1;D(2:
1。
(D)
[知识点]简谐振动的速度与简谐振动的动能。
π[分析与解题]已知振动方程为,则振动速度方程为y,Acos(,t,)2
dyπv,,,,Asin(,t,)dt2
1112222EmmAkA时,,t,0v,,,A,v,,,0k00222
111T2ππ2T2222v,,,Asin(,,),,,AEmmAkAt,时,,,v,,,1k11822T8244
E20,则动能之比为E11
8.一振动系统的振动曲线如图12-7所示,则其振动方程为:
ππy/mA(;y,6cos(t,)226ππB(;y,6cos(t,)022642t/sπ-6C(;y,6cos(2πt,)2
π图12-7D(。
(A)y,6cos(2πt,)2
[知识点]由y—t曲线建立振动方程。
2ππ[分析与解题]从图12-7所示曲线得,,A,6m,T,4s,,T2还可知,当t=0时,,,则由y,0v,000
和y,Acos,,0v,,,Asin,,000
π得初相位为,,2
ππ则振动方程为y,6cos(t,)22
9.弹簧振子在光滑水平面上作简谐运动。
在半个周期内,速度的平均值、速率的平均值和弹性力所作的功分别为:
AA(0,0,0;B(0,,0;π
12,A,A22kAkAC(0,,;D(0,,。
(B)π2π
[知识点]速度的平均值、速率的平均值和变力作功的计算。
y,Acos(,t,,)[分析与解题]设弹簧振子简谐运动方程为
dy则任意时刻t的速度为v,,,,Asin(,t,,)dt
在半个周期内,速度的平均值为
T/2T/212v,vdt,,,Asin(,t,,)dt,,00T/2T
π2A,,sin(,t,,)d(,t),0T
在半个周期内,速率的平均值为
T/2T/212v,vdt,,Asin(,t,,)dt,,00T/2T
π2A,sin(,t,,)d(,t),0T
利用动能定理可得,弹性力所作的功
11112222A,mv,mv,m[,,Asin(,t,,)],m[,,Asin(,t,,,π)],0212222
10.一质点同时参与了两个方向同频率的简谐运动,其振动方程分别为:
π,2(SI)y,5,10cos(4t,)13
π,2(SI)y,3,10sin(4t,)26
则其合振动方程为:
π,2A((SI)y,8,10cos(4t,)3
π,2B((SI)y,8,10cos(4t,)6
π,2C((SI)y,2,10cos(4t,)3
π,2D((SI)(C)y,2,10cos(4t,)6
[知识点]简谐振动的合成,加强、减弱条件。
[分析与解题]质点的同方向同频率的两个简谐运动方程分别为
π,2y,5,10cos(4t,)13
π2π,2,2y,3,10sin(4t,),3,10cos(4t,)263
合振动仍为简谐振动,其频率仍为分振动的频率。
,4
两个简谐振动的相位差为A1
A2ππ,,,,,,,,,,,π21O333y,,A2满足相干减弱条件,则合振幅为,
2A,A,A,2,10m12图12-8可由图12-8的旋转矢量得合振动的初相位为
π,,,,13
π,2则合振动方程为(SI)y,2,10cos(4t,)3
11.如图12-9(a)所示为两个简谐运动的y—t曲线,将这两个简谐运动叠加,则合成的余弦振动的初相位为:
3πA.0;B.;2
1πC.;D.。
(C)π2
y
AA/2y1-A2OyOt
y2-A图12-9(b)
图12-9(a)
[知识点]简谐振动的合成,加强、减弱条件。
A[分析与解题]由图12-9(a)振动曲线可知,y简谐运动,初相位为;A,,,01112
y简谐运动,初相位为;A,A,,π222
矢量图如图12-9(b)所示,知两简谐运动反相,且,则合振动的初相位与yA,2A221
初相位一致,即,,π。
12.如果一振动系统既受到欠阻尼作用,还受到周期性外力的作用,当位移振幅达到最
大时,周期性外力的频率和振动系统的固有频率相接近,且为:
,0
;B.;A.,/,,1,/,,100
C.;D.前三者都有可能。
(B),/,,10
而速度振幅达到最大时,有:
A.;B.;,/,,1,/,,100
C.;D.前三者都有可能。
(C),/,,10
[知识点]受迫振动的共振现象。
[分析与解题]受迫振动的振幅最大时,周期性外力的频率和振动系统的固有频率相接,,0
近,且周期性外力的角频率为
22(,为阻尼因数),,,,2,,,00
速度振幅达到最大时,即系统发生速度共振时,。
,,0
二、填空题
1.一竖直悬挂着的弹簧振子,自然平衡时,弹簧的伸长量为y,则此弹簧振子作自由0
y0振动的周期为T=。
2πg
[知识点]简谐运动周期T的影响因素。
[分析与解题]竖直悬挂弹簧振子自然平衡时,振子受力有
mg,ky0
ym0由于周期是由振动系统自身性质所确定的,即T,2π,2πkg
2.如图12-10所示,垂直悬挂的弹簧振子由两根轻弹簧串接,则系统的振动周期T=
m(k,k)12,E,;若物体m由平衡位置向下位移y,则系统势能增量为2πpkk12
2kky12。
2(k,k)12
[知识点]弹簧的串接特点,简谐运动周期T的计算。
[分析与解题]两根轻弹簧串接的系统可用一个等效弹簧振子来描述。
设该等效弹簧振子伸,y长,由于受力相同,而k、k不同,则两弹簧的伸长量和就不相同,且,y,y1212
(1),y,,y,,y12
k1设两弹簧受力为F,则
F,k,y,,
(2)F,k,yF,k,y1122k2
FFF将式
(2)代入式
(1),得,,mkkk12
kk12图12-10则等效弹簧振子的劲度系数k应为k,k,k12
m(k,k)m12所以,等效弹簧振子的振动周期为T,2π,2πkkk12
y3.两个简谐振动的曲线如图12-11所示,两
y2A个振动的频率之比2:
1;加速度的最,:
,12
O大值之比4:
1;初始速度之比a:
a,t1m2my1-A2:
1。
v:
v,1020图12-11[知识点]通过y—t图线求周期T、振幅A、初相位,。
π[分析与解题]由图12-11可知,,,,,,,,A,A,AT,2T1212212
T212,,两个振动的频率之比为,T121
22,,aA4m1111加速度的最大值之比为,,,22a1A,,m2222
π,Asin(),,11,v21012初始速度之比为,,,πv,1202Asin(),,,222
4.一简谐运动的振动方程用余弦函数表示,其y—t曲线如图12-12(a)所示,则此简谐振动的三个特征量为:
ππA=10cm;,,rad/s;,,rad。
63
y/cm
10,0,151713Oy4100t/s
-10图12-12(a)图12-12(b)
[知识点]通过y—t图线求周期T、振幅A、初相位,。
[分析与解题]由图12-12可知,A,10cm
π当时,,,可由如图12-12(b)所示旋转矢量图得,t,0y,5cmv,0,00003
π当时,,,可由如图12-12(b)所示旋转矢量图得,v,0,t,1sy,001112
ππ1而,,,t,,,,,,,11032
πππ,,,则,236
A5.一质点作简谐运动,角频率为,,振幅为,。
当t,0时,质点位于处,且y,02向y正方向运动,则其运动方程为:
πy=;Acos(,t,)3
质点的速度v也作同频率的简谐运动,若仍以余弦函数
O
y,
图12-13
π表示,则速度v的初相位为,速度的最大值为A。
,,v,vm6
[知识点]初相位的求法,位移初相位与速度初相位的关系。
A[分析与解题]由题意知,当t,0时,,且,则有v,0y,002
πA得,,y,,Acos,,032
sin,,0又由,知v,,,Asin,,00
π则得,,,3
π或由如图12-13所示旋转矢量图也可得,,,3
π则运动方程为y,Acos(t,),3
π又由于速度的初相位比位移初相位超前,即有2
ππππ速度的初相位为,,,,,,,,v3262
速度的最大值为v,,Am
,一水平弹簧振子作简谐运动,振幅,,,cm,速度的最大值为v=3cm/s,当t,0m时,小球有负的速度最大值,则
3速度方程为v=cm/s;3cos(t,π)2
3π运动方程为y=cm。
2cos(t,)22
[知识点]速度初相位的求法,由速度方程求运动方程。
[分析与解题]设速度方程为,已知,,,cm,而速度的最大值为v,vcos(,t,,)mv
v3m,则有,,,rad/sv,,A,3cm/smA2
又已知当t,0时,,有v,,,A,,Acos,v,,,A00v求解上式,可得,,π,v
vO
图12-14
也可由题意画出t,0时速度的旋转矢量,如图12-14所示。
则得速度的初相位为,,πv
3所以,速度方程为cm/sv,3cos(t,π)2
ππππ又由于有,即位移的初相位为,,,π,,,,,,,,vv2222
3π所以,运动方程为cmy,2cos(t,)22
.如图12-15所示,一弹簧振子置于光滑水平面上,静止于弹簧原处,振子质量为m。
现有一质量为m的子弹以速度v射入其中,并一起作简谐运动。
如以此时刻作为计时起点,00
mvπ00则初相位,,;振幅,,。
2k(m,m)0
kv0[知识点]由初始条件,用解析法求初相位和振幅。
mm0[分析与解题]由于子弹与振子的碰撞满足动量守恒Oy定律,则有图12-15
m0,,v,v,即mv,(m,m)v000000m,m0
,,式中为系统作简谐运动在t=0时的初速度,也是系统速度最大值的负值,即。
v,,vv00m
,,,,设速度方程为,则有v,vcos(,t,,)vvvcos,,,,mv0mmv得,,πv
πππ,,,π,,则位移的初相位为,,v222
由于系统作简谐运动时满足机械能守恒定律,则有
1122,(m,m)v,kA0022
m,mm,mmmv00000,A,v,,v,系统的振幅00kkm,mk(m,m)00
ππ5,,作简谐运动的质点,t时刻的相位分别为(a);(b);(c);(d)。
,π,π432试在图12-16中画出对应的旋转矢量图。
,,,
,,O,O,y,OOyyy,,
(a)(b)(c)(d)
图12-16
[知识点]旋转矢量图的画法。
[分析与解题]各条件下的旋转矢量图如图12-16所示。
9.两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅的简谐运动。
在振动过程中,每当
2,,,它们经过振幅一半的地方时相遇,而运动方向相反。
则它们的相位差为;若将π3
A,A这两个分振动合成,则合振幅为;并在图12-17(a)上用旋转矢量表示此相位差和合振幅。
[知识点]简谐运动的合成。
加强、减弱条件。
[分析与解题]设这两个简谐运动方程分别为
yO,y,Acos(,t,,)y,Acos(,t,,)1122
AA由题意知,当时,也有,但运动方向相反。
y,y,1222图12-17(a)
ππ即时,应有,t,,,,t,,,,12,33
2则相位差为,,,,π,,,A121,3/OA,,y2222,A,A,A,2Acosπ,A合振幅为,A23
用旋转矢量表示的相位差和合振幅如图12-17(b)所示。
图12-17(b)
10.为测定某音叉A的频率,另选两个频率接近且已知的音叉B和C,音叉B的频率为
400Hz,C的频率为397Hz。
当音叉A与B同时振动时,每秒听到声音加强2次,当音叉A与C同时振动时,每秒听到声音加强1次,则音叉A的频率为398Hz。
,A[知识点]拍现象,拍频的计算。
[分析与解题]由拍频公式,,,,,21
有2,400,,,1,397,,AA
可得,,398HzA
三、计算与证明题
π1.质量为m的质点沿y轴作简谐运动,其振动方程为。
试求:
y,0.06cos(5t,)m2
(1)质点在起始位置时所受的力;
(2)时的位移、速度和加速度;t,πs
(3)质点运动到什么位置时,其动能与势能相等,
(4)质点从平衡位置处移动到动能与势能相等位置处所需要的最短时间,
π[分析与解答]由得y,0.06cos(5t,)2
πv,,,Asin(,t,,),,0.3sin(5t,)2
π2a,,,Acos(,t,,),,1.5cos(5t,)2
π
(1)F,ma,,1.5mcos(,),0002
π
(2)当时,y,0.06cos(5π,),0t,πs12
πv,,0.3sin(5π,),,0.3m/s,v1m2
2a,,,y,011
11122ky,,kAE,E(3)当,有,则2kp222
O2,y,当时,动能与势能相等。
y,,A2422,,t
(4)由题意画旋转矢量图如图12-18所示,则得
图12-18
π,t,,4
ππ所需要的最短时间为,t,,s,420
y/cm2.已知某简谐运动的振动曲线如图12-19所示,试求:
4
(1)简谐运动方程;
3O
(2)时的相位;1t,st/s2-2
-43)12s内振子的位移和路程。
(
图12-19[分析与解答]
(1)由曲线知,A=4cm
时,,向y轴正方向运动y,,2cmt,000
4π则初相位为,,3
时,,向y轴正方向运动y,0t,1s11
3π则此时相位为,,12
43而,,,t,,,1,,,π,π1132
π2π,则,T,,12s,6,
π4π简谐运动方程为y,0.04cos(t,)m63
π34π193
(2)时,t,s,t,,,,,,π262312
(3)由于T,12s,故t,12s时振子回到初始位置y0
y,0故位移
s,4A,16cm路程
3.已知三个同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为:
y,0.04cos(2πt,π)m1
πy,0.03cos(2πt,)m22
y,0.02cos(2πt,,)m33
试求:
(1)的合振动的振动方程;(y,y)12
(2)为多少时,的合振幅最大,其值为多少,,(y,y)133
(3)为多少时,的合振幅最小,其值为多少,,(y,y)233
[分析与解答]
(1)y与y的合振动也是简谐振动,其角频率为,,2π12
π两分振动的相位差为,,,,,,,,212
22A,A,A,2AAcos,,,0.05m则合振动的振幅为1212
,AsinAsin,31122,合振动的初相位为tan,,,0Acos,Acos,4,1122
由两旋转矢量的合成图(如图12-20)可知,所求
的初相位应在第二象限,则,A02A
4,,20,π,0,51
AOy故所求的振动方程为1
图12-204πy,0.05cos(2πt,)m5
(2)时,y与y的合振动的振幅最大。
,,,,,,,2kπ(k,0,1,2?
)1331
则,,,2kπ,,,,2kπ,π,(,2k,1)π,k,0,1,2,,,31
合振动的振幅为A,A,A,0.06m13
(3)时,y与y的合振动的振幅最小。
,,,,,,,(2k,1),(k,0,1,2?
)2332
πk,0,1,2?
21π21π则,,,,,,,,k,,,,,k,,322
合振动的振幅为A,A,A,0.01m23
4.如图12-21所示,一定滑轮的半径为R,转动惯量为I,其上
I挎有一细绳,绳的一端系有一质量为m的物体,另一端与一固定的R
TT21轻弹簧相连,弹簧的劲度系数为k,绳与滑轮间无相对滑动,也不
k计滑轮与轴间的摩擦。
现将物体从平衡位置向下拉一微小距离后轻mO轻释放。
y
图12-21
(1)试证明系统的运动为简谐运动;
(2)试求其角频率,和周期T;
[分析与解答]
(1)取物体平衡位置O为坐标原点,y轴正方向向下,有
(1)mg,ky0
2dymg,T,m当物体移动y,有
(2)12dt
2Idy,,T,TR,I,,(3)122Rdt
(4)T,ky,ky20
2dyk联立式
(1)~式(4),求解得,y,02Idt,m2R
2dyk22,,,y,0令,则,2Idt,m2R
表明系统的运动是简谐运动。
2kkR,,
(2)系统的角频率为,2II,mR,m2R
2,2I,mR系统的周期为T,,2π2,kR
四、问答题
简述弹簧振子作简谐运动的特征。
y,Acos(,t,,)[解答]运动学特征:
,表明弹簧振子位移随时间t按余弦(或正弦)规
律变化。
F,,ky动力学特征:
,表明弹簧振子所受的合外力与位移成正比而反向。
112222能量特征:
E,mv,m,Asin,tk22
112222E,ky,m,Acos,tp22
表明E、E均随时间t作周期变化,且二者相互转化,但总机械能守恒,即pk
12EEEkA,,,pk2
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