高三物理机械能与能量守恒.docx
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高三物理机械能与能量守恒
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机械能与能量守恒翰林汇翰林汇翰林汇翰林汇diliu机械
知识网络:
§1功和功率
知识目标
一、功的概念
1、定义:
力和力的作用点通过位移的乘积.
2.做功的两个必要因素:
力和物体在力的方向上的位移
3、公式:
W=FScosα(α为F与s的夹角).
说明:
恒力做功大小只与F、s、α这三个量有关.与物体是否还受其他力、物体运动的速度、加速度等其他因素无关,也与物体运动的路径无关.
4.单位:
焦耳(J)1J=1N·m.
5.物理意义:
表示力在空间上的积累效应,是能的转化的量度
6.功是标量,没有方向,但是有正负.正功表示动力做功,负功表示阻力做功,功的正负表示能的转移方向.
①当0≤a<900时W>0,力对物体做正功;
②当α=900时W=0,力对物体不做功;
③当900<α≤1800时W<0,力对物体做负功或说成物脚体克服这个力做功,这两种说法是从二个角度来描述同一个问题.
二、注意的几个问题
①F:
当F是恒力时,我们可用公式W=Fscosθ运算;当F大小不变而方向变化时,分段求力做的功;当F的方向不变而大小变化时,不能用W=Fscosθ公式运算(因数学知识的原因),我们只能用动能定理求力做的功.
②S:
是力的作用点通过的位移,用物体通过的位移来表述时,在许多问题上学生往往会产生一些错觉,在后面的练习中会认识到这一点,另外位移S应当弄清是相对哪一个参照物的位移
③功是过程量:
即做功必定对应一个过程(位移),应明确是哪个力在哪一过程中的功.
④什么力做功:
在研究问题时,必须弄明白是什么力做的功.
【例1】如图所示,在恒力F的作用下,物体通过的位移为S,则力F做的功为
解析:
力F做功W=2Fs.此情况物体虽然通过位移为S.但力的作用点通过的位移为2S,所以力做功为2FS.答案:
2Fs
【例2】如图所示,质量为m的物体,静止在倾角为α的粗糙的斜面体上,当两者一起向右匀速直线运动,位移为S时,斜面对物体m的弹力做的功是多少?
物体m所受重力做的功是多少?
摩擦力做功多少?
斜面对物体m做功多少?
解析:
物体m受力如图所示,m有沿斜面下滑的趋势,f为静摩擦力,位移S的方向同速度v的方向.弹力N对m做的功W1=N·scos(900+α)=-mgscosαsinα,重力G对m做的功W2=G·scos900=0.摩擦力f对m做的功W3=fscosα=mgscosαsinα.斜面对m的作用力即N和f的合力,方向竖直向上,大小等于mg(m处于平衡状态),则:
w=F合scos900=mgscos900=o
答案:
-mgscosαsinα,0,mgscosαsinα,0
扩展与研究:
一个力对物体做不做功,是正功还是负功,判断的方法是:
①看力与位移之间夹角,或者看力与速度方向之间的夹角:
为锐角时,力对物体做正功,在上例中AB的拉力与B球的速度方向就是锐角;为钝角时,力对物体做负功,上例中AB的拉力与A球的速度方向就是钝角。
为直角时,力对物体不做功,上例中OA与A球的拉力与A球速度方向就是直角。
②看物体间是否有能量转化。
若有能量转化,则必定有力做功。
此法常用于相连的物体做曲线运动的情况。
规律方法
1、功的计算方法
1.由公式W=Fscosα求解
两种处理办法:
①W等于力F乘以物体在力F方向上的分位移scosα,即将物体的位移分解为沿F方向上和垂直F方向上的两个分位移s1和s2,则F做的功W=Fs1=Fscosα.
②W等于力F在位移s方向上的分力Fcosα乘以物体的位移s,即将力F分解为沿s方向和垂直s方向的两个分力F1和F2,则F做功W=F1s=Fcosαs.
注意:
这种方法只能用来计算恒力做功(轨迹可以是直线也可以是曲线)
2、多个力的总功求解
①用平行四边形定则求出合外力,再根据w=F合scosα计算功.注意α应是合外力与位移s间的夹角.
②分别求各个外力的功:
W1=F1scosα1,W2=F2scosα2……再求各个外力功的代数和.
【例】物体静止在光滑水平面上,先对物体施一水平右的恒力Fl,经ts后撤去F1,立即再对它施一水平向左的恒力F2,又经ts后物体回到原出发点,在这一点过程中,Fl、F2分别对物体做的功W1、W2间的关系是()
A.W1=W2;B.W2=2W1;C.W2=3W1;D.W2=5W1;
【解析】认为F1和F2使物体在两段物理过程中经过的位移、时间都相等,故认为W1=W2而误选A;
而认为后一段过程中多运动了一段距离而误选B。
这都反映了学生缺乏一种物理思想:
那就是如何架起两段物理过程的桥梁?
很显然,这两段物理过程的联系点是“第一段过程的末速度正是第二段过程的初速度”。
由于本题虽可求出返回时的速度,但如果不注意加速度定义式中ΔV的矢量性,必然会出现错误,错误得到其结果v2=0,而误选A,其原因就是物体的运动有折返。
解法1:
如图,A到B作用力为F1,BCD作用力为F2,由牛顿第二定律F=ma,及匀减速直线运动的位移公式S=vot-½at2,匀加速直线运动的速度公式v0=at,设向右为正,AB=S,可得:
一S=v0t-½a2t2=(a1t)t-½a2t2,S=0+½a1t2;∴-½a1t2=a1t2-½a2t2;即
∴F2=3F1
A到B过程F1做正功,BCB/过程F2的功抵消,B/到D过程F2做正功,即W1=F1S,W2=F2S,∴W2=3W1,
解法2:
设F2的方向为正方向,F1作用过程位移为S,F1对物体做正功,由动能定理:
F1S=½mv12。
在F2作用的过程中,F2的位移为一S,与F2同向,物体回到出发点时速度为v2,由动能定理得:
F2S=½mv22-½mv12。
由牛顿第二定律得
.∴v2=2v1,∴W2=3W1
拓展:
若该物体回到出发点时的动能为32J,则Fl、F2分别对物体做的功W1、W2是多少?
由动能定理得:
ΔEK=W1+W2=32J,W1/W2=F1/F2,∴W1=8J;W2=24J。
3、变力做功问题
①W=F·scosα是用来计算恒力的功,若是变力,求变力的功只有通过将变力转化为恒力,再用W=Fscosα计算.
②有两类不同的力:
一类是与势能相关联的力,比如重力、弹簧的弹力以及电场力等,它们的功与路径无关,只与位移有关或者说只与始末点的位置有关;另一类是滑动摩擦力、空气阻力等,在曲线运动或往返运动时,这类力(大小不变)的功等于力和路程(不是位移)的积.
③根据功和能关系求变力的功.如根据势能的变化求对应的力做的功,根据动能定理求变力做的功,等等.
④根据功率恒定,求变力的功,W=Pt.
⑤求出变力F对位移的平均力来计算,当变力F是位移s的线性函数时,平均力
.
⑥作出变力F随位移,变化的图象,图象与位移轴所围均“面积”即为变力做的功.
【例】面积很大的水池,水深为H,水面上浮着一正方体木块,木块边长为a。
,密度为水密度的½,质量为m,开始时,木块静止,如图所示,现用力F将木块缓慢地压到水池底,不计摩擦,求:
(1)从木块刚好完全没人水中到停止在池底的过程中,池水势能的改变量.
(2)从开始到木块刚好完全没入水中的过程中,力F所做的功.
解析:
(1)木块刚好没入水中到到达池底的过程中,相当于有相同体积的水从池底到达水面,因木块的密度为水的冗长度的½,故相同体积的水的质量为2m,,故池水势能的改变量为ΔEP=2mg(H-a);
(2)因水池面积很大,可忽略因木块压入而引起的水深的变化,木块刚好完全没入水中时,图中原来划线区域的水被排开,相当于这部分水平铺于水面,这部分水的质量为m,其势能的改变量为:
木块势能的改变量为:
根据动能定理,力F做的功为:
W=ΔE水+ΔE木=¼mga.
(2)又解:
从开始到木块完全没入水中的过程,力F所做的功为变力功.也可画出Fs图象,做功在数值上等于Fs图线与位移S轴所围图形的面积的数值,在压下木块过程中,力F与位移s成正比,从开始到完全没入水中,力F的位移为
,作出F-s图象如图,,据图象可求得做功
③摩擦力的做功
A、静摩擦力做功的特点
(1)静摩擦力可以做正功,也可以做负功,还可以不做功。
(2)在静摩擦力做功的过程中,只有机械能的相互转移(静摩擦力起着传递机械能的作用),而没有机械能转化为其他形式的能.
(3)相互摩擦的系统内,一对静摩擦力所做功的代数和总为零。
B.滑动摩擦力做功的特点
如图所示,上面不光滑的长木板,放在光滑的水平地面上,一小木块以速度V0从木板的左端滑上木板,当木块和木板相对静止时,木板相对地面滑动了S,小木块相对木板滑动了d,则由动能定理知:
滑动摩擦力对木块所做功为:
W木块=一f(d+S)……①
滑动摩擦力对木板所做功为:
W木板=fs……②
所以,木块动能增量为:
ΔEK木块=一f(d+s)……③
木板动能增量为:
ΔEK木板=fs………④
由③④得:
ΔEK木块+ΔEK木板=一fd………⑤
⑤式表明木块和木板组成的系统的机械能的减少量等于滑动摩擦力与木块相对木板的位移的乘积。
这部分减少的能量转化为内能。
故滑动摩擦力做功有以下特点:
1)滑动摩擦力可以对物体做正功,也可以对物体做负功,当然也可以不做功。
2)一对滑动摩擦力做功的过程中,能量的转化有两个方面:
一是相互摩擦的物体之间机械能的转移;二是机械能转化为内能。
转化为内能的量值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积。
3)滑动摩擦力、空气摩擦阻力等,在曲线运动或往返运动时等于力和路程(不是位移)的乘积
【例6】如图所示,半径为R的孔径均匀的圆形弯管水平放置,小球在管内以足够大的初速度v0在水平面内做圆周运动,小球与管壁间的动摩擦因数为μ,设从开始运动的一周内小球从A到B和从B到A的过程中摩擦力对小球做功分别为W1和W2,在这一周内摩擦力做的总功为W3,则下列关系式正确的是()
A.W1>W2B.W1=W2C.W3=0D.W3=W1+W2
解析:
求某一力对物体所做的功值有多种思路,对于恒力(大小、方向均不变的力)做功的情况,通常由w=Fscosα求解.对于变力(特别是方向发生变化的力)做功的情况,一般由功能转换关系求解.对于后一种思路,一定要正确判断哪些力做功,在外力做功的过程中,物体(或系统)的能量如何发生变化,变化了多少.
小球在水平弯管内运动,滑动摩擦力始终与速度方向相反,做负功,而小球在水平面内的圆周运动的向心力是由外管壁对小球的弹力N提供的,由于转动半径R始终不变,摩擦力对小球做负功,小球运动的速率逐渐减小,向心力减小即N减小,而f=μN,滑动摩擦力f也减小,即由下列关系:
N=Fn=mv2/Rm,R不变,v减小,则N减小,
f=μNN减小,则f减小
W=-fπRf减小,则W减小
所以W1>W2
W1.W2都为负功,因此W3=W1+W2.答案:
AD
**求功的思路共有四条:
(1)由功的定义.恒力做功;
(2)由能量关系求解;(3)由功率的定义;(4)由动能定理求解.
§2功率
知识目标
一、功率的定义:
功跟完成这些功所用时间的比值叫做功率,它表示物体做功的快慢.
二、单位:
瓦(w),千瓦(kw);
三、标量
四、公式:
P=W/t=Fv
1.P=W/t所求的是这段时间内平均功率.
2.P=Fv当v为平均值时为平均功率,当v为即时值时为即时功率.
3.P=Fv应用时,F、v必须同向,否则应分解F或v,使二者同向.这里的P=Fv实际上是Fvcosθ、θ为F、v夹角.
4.我们处理问题时必须清楚是哪一个力的功率,如一个机械的功率为P,这里指的是牵引力的功率,不可认为是机械所受合外力的功率.
五、发动机铭牌上的功率,是额定功率,也就是说该机正常运行时的最大输出功率,该机工作时输出功率要小于或等于此值.
规律方法
1、功率的计算方法
【例1】如图所示,质量为lkg的物体与平面间摩擦系数μ=0.l(g取10m/s2),在2N水平拉力作用下由静止开始运动了2s,求这段时间内拉力、摩擦力、重力、支持力的平均功率及2s末的即时功率各为多少?
解析:
a=
=1m/s2.s=½at2=2m.v=at=2m/s
外力F做功功率.平均值为:
p1=W/t=Fs/t=2W2s末即时功率为:
P1/=Fv=4W
摩擦力做功功率.平均值:
P2=fs/t=1W2s末即时功率为:
P2/=fv=2W
重力与支持力N由P=Fvcosθ知:
功率都为0.
答案:
外力F平均功率和即时功率分别为2W、4W;摩擦力平均功率和即时功率分别为1W、2W;重力和支持力功率都为0.
点评:
(1)明确是什么力做功功率;
(2)清楚是平均功率还是即时功率.
【例2】如图所示,质量为m的物体沿高为h的光滑斜面滑下到达底端时重力的即时功率为多少?
错解:
由机械能守恒定律可知到达底端速度v=
,所以此时功率P=mgv=mg
:
提示:
这里没有注意到mg与v的夹角,应当为P=mgsinθ
点评:
做题时注意力跟速度的夹角.
【例3】一个小孩站在船头,按应当为图5—15两种情况用同样大小力拉绳,经过相同的时间t(船未碰撞),小孩所做的功W1、W2及在时间t内小孩拉绳的功率P1、P2的关系为()
A.W1>W2,P1=P2B.W1=W2,P1=P2
C.W1<W2,P1<P2D.W1<W2,P1=P2
提示:
两种情况中拉力对人做的功一样,第二种情况拉力除对人做功外,又对另一只小船也做了功,所以W2>W1.由于所用时间一样,所以P2>P1.
答案:
C
点评:
应弄清哪一个力对哪一个物体做功,其功率是什么
2、两种功率
【例4】长为L的细线一端固定在O点,另一端系一质量为m的小球,开始时,细线被拉直,并处于水平位置,球处在0点等高的A位置,如图所示,现将球由静止释放,它由A运动到最低点B的过程中,重力的瞬时功率变化的情况是()
A.一直在增大B.一直在减小C.先增大后减小D.先减小后增大
解析:
小球在A位置时速度为零,重力的瞬时功率为零,到达B位置时,速度达到最大
,方向水平向左,与重力夹角为900,PB=0,由于两个极端位置瞬时功率均为0,故可判断C正确.
点评:
物体在恒力作用下的变速运动或在变力作用下的运动,力做功的瞬时功率一般都随时间变化,因此,在求某力在某时的瞬时功率或讨论某力做功的瞬时功率随时间的变化时,都应根据公式P=Ftcosα来进行分析和计算.
【例5】跳绳是一种健身运动。
设某运动员的质量是50kg,他一分钟跳绳180次。
假定在每次跳跃中,脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的2/5,则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率是_。
(g取10m/s2)
解析:
把运动员每次跳跃转换成质点做竖直上抛运动模型。
每次跳跃总时间
T=60/180=1/3s.每次腾空的时间t=
(l一
)=0.02s。
每次腾空高度h=½g(t/2)2=½×10×(0.02/2)2=0.05m。
每次腾空上升时克服重力做的功W=mgh=50×10×0.05=25J。
把每次跳跃总时间T内的触地过程、下落过程舍弃,简化成在T内就是单一竖直上升克服重力做功的过程,故可解出P=W/T=25/(1/3)=75W。
3、汽车起动问题分析
(1)当以恒定功率运动时,做加速度越来越小的变加速直线运动,a=
-
,当F牵=f时,加速度a=0,此时的速度为最大速度.所以vm=p/f,以后机车做匀速直线运动。
(2)欲使汽车从静止开始做匀加速直线运动,一开始不能用额定功率,功率必须随着速度增加而增加,使P/v=F恒定;这种运动持续一段时间后.汽车又做加速度越来越小的加速运动,最后达到最大速度vm,所以求匀加速直线运动的时间不可用t=vm/a,必须用v=P额/F,而t=v/a,由此得:
t=P额/Fa
【例7】质量为lkg的机械与平面间摩擦力f=2N,其额定功率为12W,要使它以a=lm/s2的加速度做匀加速直线运动,问做这种运动的最长时间为多少?
错解:
vm=P/f=6m/s,t=vm/a=6s
解析:
以上做法错在何处,我们进行如下的分析:
要使a=lm/s2,必须F=f+ma=3N
要使F=3N速度最大为v=P/F=4m/s所以做匀加速直线运动的时间为t=v/a=4s
这里可做这样的检验:
当速度大于4m/s时,不妨设为5m/s;F=P/v=2.4N,则加速度a=(F-f)/m=0.4m/s2,显然不是匀加速直线运动了,所以一旦速度大于4m/s时,由于功率不再增加,加速度则变小,做的是加速度越来越小的加速直线运动,直到加速度为零,之后做匀速运动.答案:
4s
【例】一辆汽车在平直的公路上以速度v0开始加速行驶,经过一段时间t,前进了距离s,此时恰好达到其最大速度Vm.设此过程中汽车发动机始终以额定功率P工作,汽车所受的阻力恒定为F,则在这段时间里,发动机所做的功为()
A、Fvmt;B、Pt;C、½mvm2+Fs-½mv02;D、
;
解析:
汽车在恒定功率作用做变牵引力的加速运动,所以发动机做功为变力做功,根据P=W/t可求得W=Pt,而P=F/v=Fvm,所以W=Fvmt;根据能量守恒:
W+½mv02=½mvm2+Fs
所以W=½mvm2+Fs-½mv02;答案:
ABC
思考:
为何用
得到
不正确?
错在哪里?
【例】质量为m=4000kg的卡车,额定输出功率为P=60kW。
当它从静止出发沿坡路前进时,每行驶100m,升高5m,所受阻力大小为车重的0.1倍,取g=10m/s2.
试求:
(1)卡车能否保持牵引力为8000N不变在坡路上行驶?
(2)卡车在坡路上行驶时能达到的最大速度为多大?
这时牵引力为多大?
(3)如果卡车用4000N牵引力以12m/s的初速度上坡,到达坡顶时,速度为4m/s,那么卡车在这一段路程中的最大功率为多少?
平均功率是多少?
分析:
汽车能否保持牵引力为8000N上坡要考虑两点:
第一,牵引力是否大于阻力?
第二,汽车若一直加速,其功率是否将超过额定功率,依P=Fv解。
本题考查了汽车牵引力恒定时功率的计算。
不少同学在得到F>f+mgsinθ后,立即做出结论:
汽车可以保持牵引力8000N不变上坡;而没有考虑到汽车由于加速,速度不断增大,其功率不断增大,如果坡路足够长,这种运动方式是不允许的。
解:
分析汽车上坡过程中受力情况如图所示:
牵引力F,重力mg=4×104N,f=kmg=4×103N,支持力N,依题意sinθ=5/100。
(1)汽车上坡时,若F=8000N,而f+mgsinθ=4×103+4×104×1/20=6×103N,即F>f+mgsinθ,汽车将加速上坡,速度不断增大,其输出功率P=Fv也不断增大,长时间后,将超出其额定输出功率,所以,汽车不能保持牵引力为8000N不变上坡。
(2)汽车上坡时,速度越来越大,必须不断减小牵引力以保证输出功率不超过额定输出功率,当牵引力F=f+mgsinθ=6×103N时,汽车加速度为零,速度增大到最大,设为vm,则P=Fv=(f+mgsinθ)·vm;
F=f+mgsinθ=6×103N
(3)若牵引力F=4000N,汽车上坡时,速度不断减小,所以最初的功率即为最大,P=Fv=4000×12=48×103w。
整个过程中平均功率为
=32×103W
§3动能动能定理
知识目标
一、动能
如果一个物体能对外做功,我们就说这个物体具有能量.物体由于运动而具有的能.Ek=½mv2,其大小与参照系的选取有关.动能是描述物体运动状态的物理量.是相对量。
二、动能定理
做功可以改变物体的能量.所有外力对物体做的总功等于物体动能的增量.W1+W2+W3+……=½mvt2-½mv02
1.反映了物体动能的变化与引起变化的原因——力对物体所做功之间的因果关系.可以理解为外力对物体做功等于物体动能增加,物体克服外力做功等于物体动能的减小.所以正功是加号,负功是减号。
2.“增量”是末动能减初动能.ΔEK>0表示动能增加,ΔEK<0表示动能减小.
3、动能定理适用单个物体,对于物体系统尤其是具有相对运动的物体系统不能盲目的应用动能定理.由于此时内力的功也可引起物体动能向其他形式能(比如内能)的转化.在动能定理中.总功指各外力对物体做功的代数和.这里我们所说的外力包括重力、弹力、摩擦力、电场力等.
4.各力位移相同时,可求合外力做的功,各力位移不同时,分别求力做功,然后求代数和.
5.力的独立作用原理使我们有了牛顿第二定律、动量定理、动量守恒定律的分量表达式.但动能定理是标量式.功和动能都是标量,不能利用矢量法则分解.故动能定理无分量式.在处理一些问题时,可在某一方向应用动能定理.
6.动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得出的.但它也适用于变为及物体作曲线运动的情况.即动能定理对恒力、变力做功都适用;直线运动与曲线运动也均适用.
7.对动能定理中的位移与速度必须相对同一参照物.(通常以地面为参照物)。
三、由牛顿第二定律与运动学公式推出动能定理
设物体的质量为m,在恒力F作用下,通过位移为S,其速度由v0变为vt,
则:
根据牛顿第二定律F=ma……①根据运动学公式2as=vt2一v02……②
由①②得:
FS=½mvt2-½mv02
四.应用动能定理可解决的问题
恒力作用下的匀变速直线运动,凡不涉及加速度和时间的问题,利用动能定理求解一般比用牛顿定律及运动学公式求解要简单的多.用动能定理还能解决一些在中学应用牛顿定律难以解决的变力做功的问题、曲线运动等问题.
【例1】如图所示,质量为m的物体与转台之间的摩擦系数为μ,物体与转轴间距离为R,物体随转台由静止开始转动,当转速增加到某值时,物体开始在转台上滑动,此时转台已开始匀速转动,这过程中摩擦力对物体做功为多少?
解析:
物体开始滑动时,物体与转台间已达到最大静摩擦力,这里认为就是滑动摩擦力μmg.
根据牛顿第二定律μmg=mv2/R……①由动能定理得:
W=½mv2……②
由①②得:
W=½μmgR,所以在这一过程摩擦力做功为½μmgR
点评:
(1)一些变力做功,不能用W=FScosθ求,应当善于用动能定理.
(2)应用动能定理解题时,在分析过程的基础上无须深究物体的运动状态过程中变化的细节,只须考虑整个过程的功量及过程始末的动能.若过程包含了几个运动性质不同的分过程.即可分段考虑,也可整个过程考虑.但求功时,有些力不是全过程都作用的,必须根据不同情况分别对待求出总功.计算时要把各力的功连同符号(正负)一同代入公式.
【例2】一质量为m的物体.从h高处由静止落下,然后陷入泥土中深度为Δh后静止,求阻力做功为多少?
提示:
整个过程动能增量为零,则根据动能定理mg(h+Δh)-Wf=0
所以Wf=mg(h+Δh)答案:
mg(h+Δh)
规律方法
1、动能定理应用的基本步骤
应用动能定理涉及一个过程,两个状态.所谓一个过程是指做功过程,应明确该过程各外力所做的总功;两个状态是指初末两个状态的动能.
动能定理应用的基本步骤是:
①选取研究对象,明确并分析运动过程.
②分析受力及各力做功的情况,受哪些力?
每个力是否做功?
在哪段位移过程中做功?
正功?
负功
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- 物理 机械能 能量 守恒
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