指数函数.ppt
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指数函数,一、问题引入,问题三、认真观察并回答下列问题:
(1)、一张白纸对折一次得两层,对折两次得4层,对折3次得8层,问若对折x次所得层数为,则y与x的函数关系是:
(2)、一根1米长的绳子从中间剪一次剩下米,再从中间剪一次剩下米,若这条绳子剪x次剩下y米,则y与x的函数关系是:
问题1折纸问题问题2剪绳子问题,思考:
观察上面两个函数,有没有共同特征,能否把它们归为一类?
1.幂的形式2.幂的底数是一个正的常数3.幂的指数是一个变量。
指数函数的概念,形如y=ax函数叫做指数函数,指数自变量,底数(a0且a1)常数,当a0时,ax有些会没有意义,如(-2),0等都没有意义;,而当a=1时,函数值y恒等于1,没有研究的必要.,思考:
为何规定a0,且a1?
二、新课,关于指数函数的定义域:
回顾上一节的内容,我们发现指数中p可以是有理数也可以是无理数,所以指数函数的定义域是R。
问题2:
如何画出指数函数的图像呢?
问题1:
你能类比前面讨论函数性质时的思路,提出研究指数函数性质的方法吗?
研究方法:
画出函数图象,结合图象研究函数的性质;研究内容:
定义域、值域、单调性、最大(小)值、奇偶性,描点法:
列表-描点-连线,1/4,1/2,1,2,4,4,2,1,1/2,1/4,y,x,0,y2x,y=,12345678,87654321,-3-2-1,-1-2-3,列表,画图,0.25,0.5,1,2,4,和的图象有什么关系?
,,和的图象关于y轴对称,,和的图象关于y轴对称,y=f(x)与y=f(-x)的图像关于y轴对称,问题3:
你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律?
你能根据指数函数的图象概括、归纳指数函数的性质吗?
练习:
在同一坐标系中画出下列函数的图象:
观察右边图象,回答下列问题:
问题一:
图象分别在哪几个象限?
问题二:
图象的上升、下降与底数a有联系吗?
问题三:
图象中有哪些特殊的点?
答:
四个图象都在第象限,答:
当底数时图象上升;当底数时图象下降,答:
四个图象都经过点,、,顺,
(1)定义域为(-,+),值域为(0,+),
(2)图像都过点(0,1),当x=0时,y=1,(4)是R上的增函数,(4)是R上的减函数,(3)当x0时,y1;x0时,0y1,(3)当x0时,01,问题:
你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗?
练习:
例1、已知指数函数f(x)=ax(a0,且a1)的图象经过点(3,),求f(0)、f
(1)、f(-3)的值.,1求下列函数的定义域值域:
练习、函数yax32(a0,且a1)必经过哪个定点?
练习、函数yax+1-1(a0,且a1)必经过哪个定点?
练习:
若指数函数y=(2a-1)x是减函数,求实数a的取值范围.,指数函数的概念,形如y=ax函数叫做指数函数,指数自变量,底数(a0且a1)常数,
(1)定义域为(-,+),值域为(0,+),
(2)图像都过点(0,1),当x=0时,y=1,(4)是R上的增函数,(4)是R上的减函数,(3)当x0时,y1;x0时,0y1,(3)当x0时,01,函数yax+2+1(a0,且a1)必经过哪个定点?
练习,【例2】比较下列各题中两个值的大小:
(1)1.72.5,1.73;
(2)0.80.1,0.80.2;(3)1.70.3,0.93.1.,方法引导:
比较两数值的大小,常可以归结为比较两函数值的大小,所以需要我们能够恰当地构造函数,使两数值为同一函数的两个函数值,然后根据函数的单调性来比较大小.有时也需要借助中间量0,1来过渡。
P59T7,练习2、此图是yax,ybx,ycx,ydx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是(),Aab1cd,Bba1dc,C1abcd,Dab1dc,变式1,变式2,练习:
1求下列函数的定义域值域:
作业:
二、新课,例2:
求下列函数的值域,例3:
求函数的单调区间,二、新课,同增异减,二、新课,求单调区间,例:
3:
当a1时,讨论函数f(x)=的奇偶性和单调性.,
(2),二、新课,要点梳理1.根式
(1)根式的概念如果一个数的n次方等于a(n1且nN*),那么这个数叫做a的n次方根.也就是,若xn=a,则x叫做_,其中n1且nN*.式子叫做_,这里n叫做_,a叫做_.,指数与指数函数,基础知识自主学习,a的n次方根,根式,根指数,被开方数,
(2)根式的性质当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用符号_表示.当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的n次方根用符号_表示,负的n次方根用符号_表示.正负两个n次方根可以合写为_(a0).=_.,a,当n为奇数时,=_;当n为偶数时,=_.负数没有偶次方根.2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念正整数指数幂:
(nN*);零指数幂:
a0=_(a0);负整数指数幂:
a-p=_(a0,pN*);,a,1,正分数指数幂:
=_(a0,m、nN*,且n1);负分数指数幂:
=(a0,m、nN*,且n1).0的正分数指数幂等于_,0的负分数指数幂_.
(2)有理数指数幂的性质aras=_(a0,r、sQ);(ar)s=_(a0,r、sQ);(ab)r=_(a0,b0,rQ).,ar+s,ars,arbr,0,没有意义,3.指数函数的图象与性质,R,(0,+),(0,1),y1,y1,0y1,0y1,增函数,减函数,基础自测1.已知a则化简的结果是()A.B.C.D.解析,C,2.下列函数中,既是偶函数又在(0,+)上单调递增的是()A.y=x3B.y=-x2+1C.y=|x|+1D.y=2-|x|解析因为y=x3是奇函数,从而可排除A,因为函数y=-x2+1及y=2-|x|在(0,+)上单调递减,所以排除B、D.,C,3.右图是指数函数
(1)y=ax,
(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是()A.ab1cdB.ba1dcC.1abcdD.ab1dc,解析方法一当指数函数底数大于1时,图象上升,且当底数越大时,在第一象限内,图象越靠近y轴;当底数大于0且小于1时,图象下降,且在第一象限内,底数越小,图象越靠近x轴.故可知bd1a1b1,ba1dc,故选B.答案B,4.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于()A.5B.7C.9D.11解析f(x)=2x+2-x,f(a)=3,2a+2-a=3,f(2a)=22a+2-2a=4a+4-a=(2a+2-a)2-2=9-2=7.,B,5.若函数y=(a2-3a+3)ax为指数函数,则有()A.a=1或2B.a=1C.a=2D.a0且a1解析a=2.,C,题型一指数幂的化简与求值【例1】计算下列各式:
题型分类深度剖析,先把根式化为分数指数幂,再根据幂的运算性质进行计算.解,思维启迪,根式运算或根式与指数式混合运算时,将根式化为指数式计算较为方便,对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,如果有特殊要求,要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.,探究提高,知能迁移1,解,题型二指数函数的性质【例2】(12分)设函数f(x)=为奇函数.求:
(1)实数a的值;
(2)用定义法判断f(x)在其定义域上的单调性.由f(-x)=-f(x)恒成立可解得a的值;第
(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可.,思维启迪,解
(1)方法一依题意,函数f(x)的定义域为R,f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x),2分2(a-1)(2x+1)=0,a=1.6分方法二f(x)是R上的奇函数,f(0)=0,即a=16分
(2)由
(1)知,设x1x2且x1,x2R,8分,解题示范,f(x2)f(x1),f(x)在R上是增函数.
(1)若f(x)在x=0处有定义,且f(x)是奇函数,则有f(0)=0,即可求得a=1.
(2)由x1x2推得实质上应用了函数f(x)=2x在R上是单调递增这一性质.,探究提高,10分,12分,知能迁移2设是定义在R上的函数.
(1)f(x)可能是奇函数吗?
(2)若f(x)是偶函数,试研究其单调性.解
(1)方法一假设f(x)是奇函数,由于定义域为R,f(-x)=-f(x),即整理得即即a2+1=0,显然无解.f(x)不可能是奇函数.,方法二若f(x)是R上的奇函数,则f(0)=0,即f(x)不可能是奇函数.
(2)因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),即整理得又对任意xR都成立,有得a=1.当a=1时,f(x)=e-x+ex,以下讨论其单调性,任取x1,x2R且x1x2,当f(x1)0,即增区间为0,+),反之(-,0为减区间.当a=-1时,同理可得f(x)在(-,0上是增函数,在0,+)上是减函数.,题型三指数函数的图象及应用【例3】已知函数
(1)作出图象;
(2)由图象指出其单调区间;(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值.思维启迪,化去绝对值符号,将函数写成分段函数的形式,作图象,写出单调区间,写出x的取值,解
(1)由已知可得其图象由两部分组成:
一部分是:
另一部分是:
y=3x(x0)y=3x+1(x-1).,向左平移1个单位,向左平移1个单位,图象如图:
(2)由图象知函数在(-,-1上是增函数,在(-1,+)上是减函数.(3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值.在作函数图象时,首先要研究函数与某一基本函数的关系,然后通过平移或伸缩来完成.,探究提高,知能迁移3若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a0,且a1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是_.解析数形结合.当a1时,如图,只有一个公共点,不符合题意.当0a1时,如图,由图象可知02a1,思想方法感悟提高1.单调性是指数函数的重要性质,特别是函数图象的无限伸展性,x轴是函数图象的渐近线.当01,x-时,y0;当a1时,a的值越大,图象越靠近y轴,递增的速度越快;当0a1时,a的值越小,图象越靠近y轴,递减的速度越快.2.画指数函数y=ax的图象,应抓住三个关键点:
(1,a)、(0,1)、(-1,).,方法与技巧,3.在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中,要注意运用方程的观点处理问题,通过解方程(组)来求值,或用换元法转化为方程来求解.1.指数函数y=ax(a0,a1)的图象和性质与a的取值有关,要特别注意区分a1与0a1来研究.2.对可化为a2x+bax+c=0或a2x+bax+c0(0)的指数方程或不等式,常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的范围.,失误与防范,一、选择题1.下列等式中一定成立的有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析,定时检测,A,2.函数f(x)=ax-b的图象如右图,其中a、b为常数,则下列结论正确的是()A.a1,b1,b0C.00D.0a1,b0,解析由图象得函数是减函数,00,即b0.从而D正确.答案D,3.已知函数y=4x-32x+3,当其值域为1,7时,x的取值范围是()A.2,4B.(-,0C.(0,12,4D.(-,01,2解析y=(2x)2-32x+32x-1,12,4,x(-,01,2.,D,4.定义运算:
a*b=如1*2=1,则函数f(x)=2x*2-x的值域为()A.RB.(0,+)C.(0,1D.1,+)解析f(x)=2x*2-x=f(x)在(-,0上是增函数,在(0,+)上是减函数,0f(x)1.,C,5.若函数则该函数在(-,+)上是()A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值解析令u(x)=2x+1,则因为u(x)在(-,+)上单调递增且u(x)1,而在(1,+)上单调递减,故在(-,+
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- 指数函数