中考数学一轮复习圆的基本性质讲学案.docx

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中考数学一轮复习圆的基本性质讲学案

2017年中考数学一轮复习圆的基本性质讲学案

2017年中考数学一轮复习第24讲《圆的基本性质》

【考点解析】

知识点一垂径定理及推论

【例题】（2016兰州）如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A＝50º，则∠BOC＝（）

（A）40º（B）45º（C）50º（D）60º

【答案】A

【解析】在△OAB中，OA＝OB，所以∠A＝∠B＝50º。

根据垂径定理的推论，OC平分弦AB所对的弧，所以OC垂直平分弦AB，即∠BOC＝90º−∠B＝40º，所以答案选A。

【考点】垂径定理及其推论

【变式】

（2014齐齐哈尔，第6题3分）如图，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，则∠CAD的度数等于（　　）

A.15°B.20°C.25°D.30°

【解析】垂径定理．圆周角定理；由在⊙O中，OD⊥BC，根据垂径定理的即可求得：

=，然后利用圆周角定理求解即可求得答案．

【解答】解：

∵在⊙O中，OD⊥BC，

∴=，

∴∠CAD=∠BOD=×60°=30°．

故选D．

【点评】此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

知识点二圆心（周）角、弧、弦之间的关系

【例题】（2016浙江省舟山）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（　　）

A．120°B．135°C．150°D．165°

【考点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）．

【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．

【解答】解：

如图所示：

连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，

由题意可得：

EO=BO，AB∥DC，

可得∠EBO=30°，

故∠BOD=30°，

则∠BOC=150°，

故的度数是150°．

故选：

C．

【变式】

（2014贵港）如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（　　）

A.51°B.56°C.68°D.78°

【解析】圆心角、弧、弦的关系．由==，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．

【解答】解：

如图，∵==，∠COD=34°，

∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，

∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．

又∵OA=OE，

∴∠AEO=∠AOE，

∴∠AEO=×（180°﹣78°）=51°．

故选：

A．

【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

知识点三圆周角定理及推论

【例题】（2016四川自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（　　）

A．15°B．25°C．30°D．75°

【考点】圆周角定理；三角形的外角性质．

【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数．

【解答】解：

∵∠A=45°，∠AMD=75°，

∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°，

∴∠B=∠C=30°，

故选C．

【点评】本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键

【变式】

（2016四川达州3分）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（　　）

A．B．2C．D．

【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义．

【分析】作直径CD，根据勾股定理求出OD，根据正切的定义求出tan∠CDO，根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO，等量代换即可．

【解答】解：

作直径CD，

在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，

则OD==4，

tan∠CDO==，

由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，

则tan∠OBC=，

故选：

C．

【典例解析】

【例题1】

（2016山东省济宁市3分）如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（　　）

A．40°B．30°C．20°D．15°

【考点】圆心角、弧、弦的关系．

【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．

【解答】解：

∵在⊙O中，=，

∴∠AOC=∠AOB，

∵∠AOB=40°，

∴∠AOC=40°，

∴∠ADC=∠AOC=20°，

故选C．

【例题2】

（2016广东茂名）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（　　）

A．150°B．140°C．130°D．120°

【考点】圆周角定理．

【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．

【解答】解：

∵A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，

∴∠AOC=2∠B=150°．

故选A．

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

【例题3】

（2016山东省聊城市，3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（　　）

A．45°B．50°C．55°D．60°

【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．

【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．

【解答】解：

∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，

∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．

∵=，∠BAC=25°，

∴∠DCE=∠BAC=25°，

∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．

故选B．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．

【中考热点】

【热点1】

（2016吉林长春，13，3分）如图，在⊙O中，AB是弦，C是上一点．若∠OAB=25°，∠OCA=40°，则∠BOC的大小为　30　度．

【考点】圆周角定理．

【分析】由∠BAO=25°，利用等腰三角形的性质，可求得∠AOB的度数，又由∠OCA=40°，可求得∠CAO的度数，继而求得∠AOC的度数，则可求得答案．

【解答】解：

∵∠BAO=25°，OA=OB，

∴∠B=∠BAO=25°，

∴∠AOB=180°﹣∠BAO﹣∠B=130°，

∵∠ACO=40°，OA=OC，

∴∠C=∠CAO=40°，

∴∠AOC=180°﹣∠CAO﹣∠C=100°，

∴∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=30°．

故答案为30°．

【点评】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．注意利用等腰三角形的性质求解是关键．

【热点2】

（2016山东省滨州市）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：

①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（　　）

A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤

【考点】圆的综合题．

【分析】①由直径所对圆周角是直角，

②由于∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角角，

③由平行线得到∠OCB=∠DBC，再由圆的性质得到结论判断出∠OBC=∠DBC；

④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；

⑤用三角形的中位线得到结论；

⑥得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等．

【解答】解：

①、∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BD，

②、∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角角，

∴∠AOC≠∠AEC，

③、∵OC∥BD，

∴∠OCB=∠DBC，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∴∠OBC=∠DBC，

∴CB平分∠ABD，

④、∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BD，

∵OC∥BD，

∴∠AFO=90°，

∵点O为圆心，

∴AF=DF，

⑤、由④有，AF=DF，

∵点O为AB中点，

∴OF是△ABD的中位线，

∴BD=2OF，

⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，

∴△CEF与△BED不全等，

故选D

【点评】此题是圆综合题，主要考查了圆的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌握圆的性质．

【热点3】

（2016.山东省泰安市）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（　　）

A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°

【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF=∠AOF=30°，根据圆周角定理计算即可．

【解答】解：

连接OB，

∵四边形ABCO是平行四边形，

∴OC=AB，又OA=OB=OC，

∴OA=OB=AB，

∴△AOB为等边三角形，

∵OF⊥OC，OC∥AB，

∴OF⊥AB，

∴∠BOF=∠AOF=30°，

由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°，

故选：

B．

【点评】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．

【热点4】

（2014辽宁沈阳，第22题，10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．

（1）求证：

AD=CD；

（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．

【解析】圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形．

（1）由AB为直径，OD∥BC，易得OD⊥AC，然后由垂径定理证得，=，继而证得结论；

（2）由AB=10，cos∠ABC=，可求得OE的长，继而求得DE，AE的长，则可求得tan∠DAE，然后由圆周角定理，证得∠DBC=∠DAE，则可求得答案．

【解答】

（1）证明：

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵OD∥BC，

∴∠AEO=∠ACB=90°，

∴OD⊥AC，

∴=，

∴AD=CD；

（2）解：

∵AB=10，

∴OA=OD=AB=5，

∵OD∥BC，

∴∠AOE=∠ABC，

在Rt△AEO中，OE=OAcos∠AOE=OAcos∠ABC=5×=3，

∴DE=OD=OE=5﹣3=2，

∴AE=4，

在Rt△AED中，tan∠DAE===，

∵∠DBC=∠DAE，

∴tan∠DBC=．

【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．