小升初几何之等积蝴蝶鸟头.docx
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小升初几何之等积蝴蝶鸟头
小升初几何之等积、蝴蝶、鸟头
小升初几何重点复习
——等积、蝴蝶、鸟头
小升初考试中几何题目一般都较难,而三角形中常见的三大几何模型——等积模型,蝶形模型,鸟头模型就是三角形计算的重要部分,近几年成都各大名校的选拔考试的面积题目,也有逐步增加难度的趋势。
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;
两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;
如右图
;
③夹在一组平行线之间的等积变形。
如右图
;
反之,如果
,则可知直线AB平行于CD;
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比。
二、蝴蝶模型
任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”):
①
或者
②
A
B
S1
O
S2
S4
D
C
S3
a
b
蝴蝶模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
特别的,在梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”):
①
;
②
;
③
的对应份数为
。
【例1】如图,有大小两个正方形ABCD和CEFG,其中正方形CEFG的边长为2,求阴影部分的面积。
1、三个正方形ABCD,BEFG,HKPF如图所示放置在一起,图中正方形BEFG的周长等于14厘米。
求图中阴影部分的面积。
【例2】如图,正方形ABCD的边长为6,AE=1.5,CF=2。
求长方形EFGH的面积。
2、如图所示,正方形ABCD的边长为8厘米,长方形EBGF的长BG为10厘米,那么长方形的宽为几厘米?
【例3】长方形ABCD的面积为36cm2,E、F、G为各边中点,H为AD边上任意一点,问阴影部分面积是多少?
A
B
F
H
G
E
D
C
3、如图,已知长方形ADEF的面积是16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4,那么三角形ABC的面积是多少?
A
B
C
D
E
F
【例4】如图,在梯形ABCD中,AD:
BE=4:
3,BE:
EC=2:
3,且△BOE的面积比△AOD的面积小10平方厘米。
梯形ABCD的面积是多少平方厘米?
4、已知ABCD是平行四边形,BC:
CE=3:
2,三角形ODE的面积为6平方厘米,则阴影部分的面积是多少平方厘米?
【例5】如图,正方形ABCD面积为
平方厘米,M是AD边上的中点,求图中阴影部分的面积。
5、如图,长方形ABCD被CE、DF分成四块,已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形OFBC的面积为多少平方厘米?
巩固练习
1、如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知,求:
(1)三角形BGC的面积;
(2)AG:
GC的值
2、如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、BD分成四个部分,△AOB面积为1平方千米,△BOC面积为2平方千米,△COD的面积为3平方千米,公园陆地的面积是6.92平方千米,求人工湖的面积是多少平方千米?
A
D
O
B
C
3、如图所示,BD、CF将长方形ABCD分成4块,△DEF的面积是4cm2,△CED的面积是6cm2。
问:
四边形ABEF的面积是多少平方厘米?
A
F
D
4
6
B
C
E
v4、如图所示,长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70,AB=8,AD=15,四边形EFGO的面积为。
A
B
C
E
F
G
O
D
三、鸟头模型
两个三角形中有一个角重合或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(重合角或互补角)两夹边的乘积之比。
如下图在
中,
分别是直线AB、AC上的点(或D在BA的延长线上,E在AC上),则
【例1】如图,CD=2BC,AE=2AC,△ABC的面积为1cm2,求△CDE的面积。
A
B
C
E
D
1、如图,在△ABC中,D在BA的延长线上,E在AC上,且AB:
AD=5:
2,AE:
EC=3:
2,△ADE是12平方厘米,求△ABC的面积。
【例2】如图,在△ABC中,BD=DC=4,BE=3,AE=6,求乙是甲面积的几倍?
【例3】如右图,将三角形ABC的BA边延长1倍到D,CB边延长2倍到E,AC边延长3倍到F。
如果三角形ABC的面积等于l,则三角形DEF的面积=。
【例4】如右图,平行四边形ABCD,BE=AB,CF=2CB,GD=3DC,HA=4AD,平行四边形ABCD的面积是2,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。
【例5】已知△DEF的面积为7平方厘米,BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面积。
巩固练习
1、如图,△ABC中,AB是AD的5倍,AC是AE的3倍,如果△ADE的面积等于1,那么△ABC的面积是多少?
2、已知△ABC面积为1,延长AB至D,使BD=AB;延长BC至E,使CE=BC;延长CA至F,使AF=AC,求△DEF的面积。
3
A
B
C
D
E
、如右图BE=
BC,CD=
AC,那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的______。
4、如图,四边形EFGH的面积是66平方米,EA=AB,CB=BF,DC=CG,HD=DA,四边形ABCD的面积。
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