八年级数学竞赛例题专题讲解7分式的化简与求值含答案.docx

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八年级数学竞赛例题专题讲解7分式的化简与求值含答案

专题07分式的化简与求值

阅读与思考

给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．

解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:

1．恰当引入参数；

2．取倒数或利用倒数关系；

3．拆项变形或拆分变形；

4．整体代入；

5．利用比例性质等．

例题与求解

【例l】已知

，则代数式

的值为．

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：

目前不能求出

的值，但可以求出

，需要对所求代数式变形含“

”．

【例2】已知一列数

且

，

，

，则

为（）

A．648B．832C．1168D．1944

（五城市联赛试题）

解题思路：

引入参数

，把

用

的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路．

【例3】

．

求

．

（宣州竞赛试题）

解题思路：

观察发现，所求代数式是关于

的代数式，而条件可以拆成

的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程．

【例4】已知

求

的值．

（上海市竞赛试题）

解题思路：

注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式．

【例5】不等于0的三个正整数

满足

，求证：

中至少有两个互为相反数．

解题思路：

中至少有两个互为相反数，即要证明

．

（北京市竞赛试题）

【例6】已知

为正整数，满足如下两个条件：

①

②

．求证：

以

为三边长可以构成一个直角三角形．

解题思路：

本题熟记勾股定理的公式即可解答．

（全国初中数学联赛试题）

能力训练

1．若

，则

的值是．

（“希望杯”邀请赛试题）

2．已知

，则

．

（广东竞赛试题）

3．若

且

，则

的值为．

（“缙云杯”竞赛试题）

4．已知

，则

．

5．如果

，那么

（）．

A．1B．2C．

D．

（“新世纪杯”竞赛试题）

6．设有理数

都不为0，且

，则

的

值为（）．

A．正数B．负数C．零D．不能确定

7．已知

，则

的值为（）．

A．0B．1C．2D．不能确定

8．已知

，则

的值为（）

A．1B．

C．

D．

9．设

，求

的值．

10．已知

其中

互不相等，求证

．

（天津市竞赛试题）

11．设

满足

，

求证

．（

为自然数）

（波兰竞赛试题）

12．三角形三边长分别为

．

（1）若

，求证：

这个三角形是等腰三角形；

（2）若

，判断这个三角形的形状并证明．

13．已知

，求

的值．

（“华杯赛”试题）

14．解下列方程（组）：

（1）

；

（江苏省竞赛试题）

（2）

；

（“五羊杯”竞赛试题）

（3）

．

（北京市竞赛试题）

B级

1．设

满足

，

，若

，

，则

．

2．若

，且

，则

．

3．设

均为非零数，且

，则

．

4．已知

满足

，则

的值为．

5．设

是三个互不相同的正数，已知

，那么有（）．

A．

B．

C．

D．

6．如果

，

，那么

的值为（）．

A．3B．8C．16D．20

7．已知

，则代数式

的值为（）．

A．1996B．1997C．1998D．19999

8．若

，则

的值为（）．

A．

B．

C．5D．6

（全国初中数学联赛试题）

9．已知非零实数

满足

．

（1）求证：

；

（2）求

的值．

（北京市竞赛试题）

10．已知

，且

．求

的值．

（北京市竞赛试题）

11．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的

倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的

倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的

倍，

求证：

．

（天津市竞赛试题）

12．设

，当

时，

求证：

．

（天津市竞赛试题）

13．某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．

（1）扶梯露在外面的部分有多少级？

（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）．求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？

（江苏省竞赛试题）