九年级中考数学 冲刺训练一元二次方程及其应用含答案.docx
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九年级中考数学冲刺训练一元二次方程及其应用含答案
2021中考数学冲刺训练:
一元二次方程及其应用
一、选择题
1.用配方法解方程x2-6x=4时,需要两边同时加上( )
A.3B.4C.6D.9
2.关于x的一元二次方程x2+4kx-1=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
3.方程3x(2x+1)=2(2x+1)的两个根为( )
A.x1=
,x2=0
B.x1=
,x2=
C.x1=
,x2=-
D.x1=
,x2=-
4.当b+c=5时,关于x的一元二次方程3x2+bx-c=0的根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
5.随着生产技术的进步,某厂生产一件产品的成本从两年前的100元下降到现在的64元,求年平均下降率.设年平均下降率为x,通过解方程得到一个根为1.8,则正确的解释是( )
A.年平均下降率为80%,符合题意
B.年平均下降率为18%,符合题意
C.年平均下降率为1.8%,不符合题意
D.年平均下降率为180%,不符合题意
6.某商场在销售一种糖果时发现,如果以20元/kg的单价销售,那么每天可售出100kg,若这种糖果每千克的售价每增加0.5元,则每天的销售量就会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元,销售单价应为多少?
设销售单价应为x元/kg,依题意可列方程为( )
A.(20+x)(100-2x)=1800
B.(20+x)(100-
)=1800
C.x(100-
×2)=1800
D.x[100-2(x-20)]=1800
7.2018·绵阳在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,若一共碰杯55次,则参加酒会的人数为( )
A.9B.10C.11D.12
8.如果关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是( )
A.k>-
B.k>-
且k≠0
C.k<-
D.k≥-
且k≠0
二、填空题
9.方程(3x-4)2-(3x-4)=0的根是____________.
10.如图,在一块长12m,宽8m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77m2,设道路的宽为xm,则根据题意,可列方程为 .
11.一元二次方程4x2=3x的解是______________.
12.配方法解一元二次方程x2-2
x+1=0,所得结果是x1=________,x2=________.
13.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的最大整数值为________.
14.小明在解方程x2-2x-1=0时出现了错误,其解答过程如下:
x2-2x=-1.(第一步)
x2-2x+1=-1+1.(第二步)
(x-1)2=0.(第三步)
x1=x2=1.(第四步)
(1)小明的解答过程是从第________步开始出现错误,其错误原因是________________;
(2)请写出此题正确的解答过程.
15.已知关于x的方程ax2-bx+c=0(a≠0)的一个根是
,且b2-4ac=0,则此方程的另一个根是________.
16.在△ABC中,BC=2,AB=2
,AC=b,且关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,则AC边上的中线长为________.
三、解答题
17.解方程组:
18.(2020·广东)已知关于x、y的方程组
与
的解相同.
(1)求a、b的值;
(2)若一个三角形的一条边的长为2
,另外两条边的长是关于x的方程
的解,试判断该三角形的形状,并说明理由.
19.如图,有一矩形的硬纸板,长为30cm,宽为20cm,在其四个角各剪去一个相同的小正方形,然后把四周的矩形折起,可做成一个无盖的长方体盒子,当剪去的小正方形的边长为何值时,所得长方体盒子的底面积为200cm2?
20.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)写出一个满足条件的m的值,并求此时方程的根.
21.已知关于x的一元二次方程(x-1)(x-4)=p2,p为实数.
(1)求证:
不论p为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)当p为何值时,方程有整数解?
(直接写出三个,不需要说明理由)
22.“早黑宝”是某省农科院研制的优质新品种,在该省被广泛种植.某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩,到2019年“早黑宝”的种植面积达到225亩.
(1)求该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率;
(2)市场调查发现,当“早黑宝”售价为20元/千克时,每天能售出200千克,每千克的售价每降低1元,每天可多售出50千克,为了推广宣传,基地决定降价促销,已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克,若使销售“早黑宝”每天获利1800元,则每千克的售价应降低多少元?
23.某批发商以每件50元的价格购进800件T恤,第一个月以单价80元/件销售,售出了200件;第二个月如果单价不变,预计仍可售出200件,批发商为增加销售量,决定降价销售,根据市场调查,每件每降低1元,可多售出10件,但最低单价应高于购进的价格.第二个月结束后,批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售,清仓时单价为40元/件,设第二个月每件降低x元.
(1)填表:
(不需化简)
(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元,那么第二个月的单价应是多少?
24.在平面直角坐标系中,借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根.比如对于方程x2-5x+2=0,操作步骤是:
第一步:
根据方程的系数特征,确定一对固定点A(0,1),B(5,2);
第二步:
在坐标平面中移动一个直角三角板,使一条直角边恒过点A,另一条直角边恒过点B;
第三步:
在移动过程中,当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时,点C的横坐标m即为该方程的一个实数根(如图①);
第四步:
调整三角板直角顶点的位置,当它落在x轴上另一点D处时,点D的横坐标n既为该方程的另一个实数根.
(1)在图②中,按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹);
(2)结合图①,请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2-5x+2=0的一个实数根;
(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置.若要以此方法找到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的实数根,请你直接写出一对固定点的坐标;
(4)实际上,(3)中的固定点有无数对,一般地,当m1,n1,m2,n2与a,b,c之间满足怎样的关系时,点P(m1,n1).Q(m2,n2)就是符合要求的一对固定点?
2021中考数学冲刺训练:
一元二次方程及其应用-答案
一、选择题
1.【答案】D
2.【答案】A [解析]在方程x2+4kx-1=0中,Δ=b2-4ac=(4k)2-4×1×(-1)=16k2+4.
∵16k2+4>0,
∴方程x2
+4kx-1=0有两个不相等的实数根.
故选A.
3.【答案】D [解析]3x(2x+1)-2(2x+1)=0,
(3x-2)(2x+1)=0,
3x-2=0或2x+1=0,
所以x1=
,x2=-
.
4.【答案】A [解析]因为b+c=5,所以c=5-b.因为Δ=b2-4×3×(-c)=b2-4×3×(b-5)=(b-6)2+24>0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根.
5.【答案】D [解析]设年平均下降率为x,
则可得100(1-x)2=64,
解之得x1=0.2=20%,x2=1.8=180%.
由于0<x<1,因此年平均下降率为180%不符合题意.
6.【答案】C
7.【答案】C [解析]设参加酒会的人数为x,
根据题意,得
x(x-1)=55,
整理,得x2-x-110=0,
解得x1=11,x2=-10(不合题意,舍去).
故参加酒会的人数为11.
8.【答案】B
二、填空题
9.【答案】x1=
,x2=
[解析]原方程左边分解因式得(3x-4)[(3x-4)-1]=0,即(3x-4)(3x-5)=0.于是3x-4=0或3x-5=0.所以x1=
,x2=
.
10.【答案】(12-x)(8-x)=77
11.【答案】x1=0,x2=
[解析]4x2=3x,
4x2-3x=0,
x(4x-3)=0,
x=0或4x-3=0,
所以x1=0,x2=
.
12.【答案】
-1
+1
13.【答案】0 [解析]由题意得Δ=b2-4ac=4-4(k-1)>0,∴k<2.又∵k-1≠0,即k≠1,∴k<2且k≠1,∴k的最大整数值为0.
14.【答案】解:
(1)一 移项时没有变号
(2)x2-2x=1.
x2-2x+1=1+1.
(x-1)2=2.
x-1=±
.
所以x1=1+
,x2=1-
.
15.【答案】
[解析]由b2-4ac=0知原方程根的判别式为0,因此原方程有两个相等的实数根.故原方程的另一个根也是
.
16.【答案】2 [解析]因为关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,
所以Δ=(-4)2-4b=16-4b=0,得AC=b=4.
因为BC=2,AB=2
,
所以BC2+AB2=AC2,
所以△ABC为直角三角形,AC为斜边,则AC边上的中线长为斜边的一半,为2.
三、解答题
17.【答案】
解:
方程①变形为y=x-2. ③
把③代入②,得x2-2x(x-2)-3(x-2)2=0.
整理,得x2-4x+3=0.
解这个方程,得x1=1,x2=3.
将x1=1,x2=3代入③,分别求得y1=-1,y2=1.
所以原方程组的解为
或
18.【答案】
解:
(1)由题意得
,解得,
.
将
代入
,
,解得
,
.
(2)该三角形是等腰直角三角形,理由如下:
由
(1)得
,配方得,
.
解得,
∴该三角形的形状是等腰三角形.
∵
,
,∴
∴该三角形的形状是等腰直角三角形
19.【答案】
解:
设剪去的小正方形的边长为xcm,
根据题意有:
(30-2x)(20-2x)=200,
解得x1=5,x2=20,
当x=20时,30-2x<0,20-2x<0,所以x=5.
答:
当剪去的小正方形的边长为5cm时,长方体盒子的底面积为200cm2.
20.【答案】
解:
(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=b2-4ac=(2m+1)2-4×1×(m2-1)=4m+5>0,解得m>-
.
(2)答案不唯一,如取m=1,此时原方程为x2+3x=0,解得x1=0,x2=-3.
21.【答案】
解:
(1)证明:
原方程可化为x2-5x+4-p2=0.
∵Δ=b2-4ac=(-5)2-4(4-p2)=4p2+9>0,
∴不论p为何实数,方程总有两个不相等的实数根.
(2)原方程可化为x2-5x+4-p2=0.
由求根公式得方程的根为x=
.
∵方程有整数解,
∴找到p的值,使
为整数即可,
∴p可取0,2,-2,
,-
等,此时方程有整数解(答案不唯一,写出三个即可).
22.【答案】
解:
(1)设该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率为x,
根据题意,得100(1+x)2=225,
解得x1=0.5=50%,x2=-2.5(不合题意,舍去).
答:
该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率为50%.
(2)设每千克的售价降低y元,则每天可售出(200+50y)千克,
根据题意,得(20-12-y)(200+50y)=1800,
整理,得y2-4y+4=0,
解得y1=y2=2.
答:
每千克的售价应降低2元.
23.【答案】
解:
(1)填表如下:
(2)根据题意,得
200×(80-50)+(200+10x)(80-x-50)+[800-200-(200+10x)](40-50)=9000,
整理,得10x2-200x+1000=0,
解得x1=x2=10.
当x=10时,80-x=70>50.
答:
第二个月的单价应是70元/件.
24.【答案】
【思路分析】
(1)因为点C是x轴上的一动点,且∠ACB=90°保持不变,所以由圆周角的性质得,点C必在以AB为直径的圆上,所以以AB为直径画圆,与x轴相交于两点,除点C的另一点就是所求;
(2)因为∠ACB=90°,∠AOC=90°,所以过点B作BE⊥x轴,垂足为E,则构造了一个“K”字型的基本图形,再由相似三角的性质得出比例式,化简后得m2-5m+2=0,问题得证;(3)由
(2)中的证明过程可知,一个二次项系数为1的一元二次方程,一次项系数是点A的横坐标与点B的横坐标的和的相反数;常数项是点A的纵坐标与点B的纵坐标的积,先把方程ax2+bx+c=0,化为x2+
x+
=0,再根据上述关系写出一对固定点的坐标;(4)由
(2)的证明中知,本题的关键点在“K”字型的构造,所以本小题解题的关键是要抓住图②中的“K”字型,只要P、Q两点分别在AD、BD上,过P、Q分别作x轴垂线,垂足为M、N,这样就构造出满足条件的基本图形,再应用相似三角形的性质,可得相应的关系式.
图①图②
(1)解:
如解图①,先作出AB的中点O1,以O1为圆心,
AB为半径画圆.
x轴上另外一个交点即为D点;(4分)
(2)证明:
如解图①,过点B作x轴的垂线交x轴于点E,
∵∠ADB=90°,∴∠ADO+∠BDE=90°,
∵∠OAD+∠ADO=90°,∴∠OAD=∠BDE,
∵∠AOD=∠DEB=90°,
∴△AOD∽△DEB,(6分)
∴
=
,即
=
,
∴m2-5m+2=0,∴m是x2-5x+2=0的一个实根;(8分)
(3)解:
(0,1),(
,
)或(0,
),(-
,c);(10分)
(4)解:
在解图②中,P在AD上,Q在BD上,过P,Q分别作x轴的垂线交x轴于M,N.
由
(2)知△PMD∽△DNQ,∴
=
,(12分)
∴x2-(m1+m2)x+m1m2+n1n2=0与ax2+bx+c=0同解,
∴-
=m1+m2;
=m1m2+n1n2.(14分)
【难点突破】本题是一道考查数形结合思想的题.本题解题的突破口要抓住∠ACB=90°保持不变的特征,构造相似三角形中的基本图形,通过数形结合的方法,以相似三角形的比例式为桥梁,以此获得关于m的等量关系,从而使问题得以解决.
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