导数部分题目及答案.docx
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导数部分题目及答案
导数部分强化训练
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1.已知二次函数f(x)的图象如图所示,则其导函数f′(x)的
图象大致形状是( )
2.已知函数f(x)的导函数f′(x)=ax2+bx+c的图象
如图所示,则f(x)的图象可能是( )
3.如果函数y=f(x)的图象如图所示,那么导函数y=f′(x)的图象可能是( )
4.(设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是( )
5.函数f(x)在定义域
内的图象如图所示,记f(x)的导函数为f′(x),则不等式f′(x)≤0的解集为( )
A.
∪[1,2)B.
∪
C.
∪[2,3)D.
∪
∪
6.已知曲线y=
x2的一条切线的斜率为
,则切点的横坐标为( )
A.4B.3C.2D.
7.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′
(1)=2,则f′(-1)等于( )
A.-1B.-2C.2D.0
8.曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为( )
A.y=x-1B.y=-x+1C.y=2x-2D.y=-2x+2
9.若对任意x∈R,f′(x)=4x3,f
(1)=-1,则( )
A.f(x)=x4B.f(x)=x4-2C.f(x)=4x3-5D.f(x)=x4+2
10.若曲线y=x2的一条切线l的斜率是4,则切线l的方程为( )
A.4x-y-4=0B.2x-y-3=0C.4x-y+4=0D.2x-y+3=0
11.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则( )
A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1
12.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点(1,3),则b的值为( )
A.3B.-3C.5D.-5
13.函数f(x)=
+x2-3x-4在[0,2]上的最小值是( )
A.-
B.-
C.-4D.-
14.函数y=x3-2ax+a在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是( )
A.(0,3)B.
C.(0,+∞)D.(-∞,3)
15.已知函数f(x)=
x3-x2-
x,则f(-a2)与f(-1)的大小关系为( )
A.f(-a2)≤f(-1)B.f(-a2) D.f(-a2)与f(-1)的大小关系不确定 16.函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则( ) A.a=-11,b=4B.a=-4,b=11C.a=11,b=-4D.a=4,b=-11 17.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m的值为( ) A.16B.12C.32D.6 18.设p: f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)内单调递增,q: m≥ ,则p是q的( )A.充分不必要条B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 19.曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A.30°B.45°C.60°D.120° 20.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边形折起,就能焊成铁盒,所做铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为( ) A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm 21.对于R上可导的任意函数f(x),满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( ) A.f(0)+f (2)<2f (1)B.f(0)+f (2)≤2f (1) C.f(0)+f (2)≥2f (1)D.f(0)+f (2)>2f (1) 22.已知对任意x∈R,恒有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则当x<0时有( ) A.f′(x)>0,g′(x)>0B.f′(x)>0,g′(x)<0 C.f′(x)<0,g′(x)>0D.f′(x)<0,g′(x)<0 23.与直线2x-6y+1=0垂直,且与曲线f(x)=x3+3x2-1相切的直线方程是( ) A.3x+y+2=0B.3x-y+2=0C.x+3y+2=0D.x-3y-2=0 24.设f(x),g(x)在[a,b]上可导,且f′(x)>g′(x),则当a A.f(x)>g(x)B.f(x) C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b) 25.三次函数f(x)=mx3-x在(-∞,+∞)上是减函数,则m的取值范围是( ) A.m<0B.m<1C.m≤0D.m≤1 26.已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示,则x +x 等于( ) A. B. C. D. 27.已知函数f(x)=13-8x+ x2,且f′(x0)=4,则x0的值为________. 28.曲线y=2x2在点(-1,2)处的切线方程为____________. 29.已知f(x)=x2+3xf′ (2),则f′ (2)=________. 30.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值为______. 31.曲线y=x3在点(1,1)处的切线方程为________________. 32.若f(x)=x3+kx2在[0,2]上是减函数,则k的取值范围为__________. 33.已知函数f(x)=-x3+ax在区间(-1,1)上是增函数,则实数a的取值范围_____. 34.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围____. 35.函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间为________. 36.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围___. 37.若函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在区间(0,4)上是减函数,则k的取值范围是____. 38.把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的比为________. 39.已知函数f(x)= x4+ ax3-a2x2+a4(a>0). (1)求函数y=f(x)的单调区间; (2)若函数y=f(x)的图象与直线y=1恰有两个交点,求a的取值范围. 1.答案 B 解析 设二次函数为y=ax2+b(a<0,b>0), 则y′=2ax,又∵a<0,故选B. 2.答案 D 解析 当x<0时,由导函数f′(x)=ax2+bx+c<0,知相应的函数f(x)在该区间上单调递减;当x>0时,由导函数f′(x)=ax2+bx+c的图象可知,导数在区间(0,x1)内的值是大于0的,则在此区间内函数f(x)单调递增.只有D选项满足题意. 3.答案 A 解析 由y=f(x)的图象可知其单调性从左向右依次为增减增减,所以其导数y=f′(x)的函数值依次为正负正负.由此可排除B、C、D. 4.答案 C 解析 利用导函数与原函数的图象关系求解. ∵f(x)在x=-2处取得极小值, ∴当x<-2时,f(x)单调递减, 即f′(x)<0;当x>-2时,f(x)单调递增,即f′(x)>0. ∴当x<-2时,y=xf′(x)>0; 当x=-2时,y=xf′(x)=0; 当-2 当x=0时,y=xf′(x)=0; 当x>0时,y=xf′(x)>0. 结合选项中图象知选C. 5.答案 C 解析 不等式f′(x)≤0的解集即为函数f(x)的单调递减区间,从图象中可以看出函数f(x)在 和[2,3)上是单调递减的,所以不等式f′(x)≤0的解集为 ∪[2,3),答案C. 6.答案 C 解析 y= x2,得y′= x= ,∴x=2. 7.答案 B 解析 由题意知f′(x)=4ax3+2bx,可知f′(x)为奇函数,若f′ (1)=2,即f′ (1)=4a+2b=2,故f′(-1)=-f′ (1)=-4a-2b=-2. 点评 注意到f(x)的导函数是一个奇函数.f′(-1)=-f′ (1). 8.答案 A 解析 ∵点(1,0)在曲线y=x3-2x+1上,且y′=3x2-2,∴过点(1,0)的切线斜率k=y′|x=1=3×12-2=1,由点斜式得切线方程为y-0=1×(x-1),即y=x-1. 9.答案 B 解析 设f(x)=x4+b,∵f (1)=1+b=-1,∴b=-2. ∴f(x)=x4-2. 10.答案 A 解析 设切点为P(x0,y0). y′=(x2)′=2x,∵切线l的斜率是4, ∴2x0=4.∴x0=2,y0=4,则l的方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 11.答案 A 解析 ∵点(0,b)在直线x-y+1=0上,∴b=1. 又y′=2x+a,∴在点(0,b)处的切线的斜率为y′|x=0=a=1. 12.答案 A 解析 ∵点(1,3)在直线y=kx+1上,∴k=2. ∴2=f′ (1)=3×12+a,∴a=-1.∴y=x3-x+b. 又∵点(1,3)在曲线上,∴b=3. 点评 曲线与直线切于点(1,3),(1,3)即为切点,既在曲线上,又在直线上. 13.答案 A 解析 f′(x)=x2+2x-3,f′(x)=0,x∈[0,2]只有x=1. 比较f(0)=-4,f (1)=- ,f (2)=- . 可知最小值为- . 14.答案 B 解析 令y′=3x2-2a=0,得x=± (a>0,否则函数y为单调增函数).若函数y=x3-2ax+a在(0,1)内有极小值,则 <1,∴0 . 15.答案 A 解析 由题意可得f′(x)= x2-2x- . 由f′(x)= (3x-7)(x+1)=0,得x=-1或x= . 当x<-1时,f(x)为增函数; 当-1 时,f(x)为减函数. 所以f(-1)是函数f(x)在(-∞,0]上的最大值, 又因为-a2≤0,故f(-a2)≤f(-1). 16.答案 D 解析 由f(x)=x3+ax2+bx+a2,得f′(x)=3x2+2ax+b, 根据已知条件 即 解得 或 (经检验应舍去) 17.答案 C 解析 令f′(x)=3x2-12=0,得x=±2, 比较f(-3),f(-2),f (2),f(3)的大小可知: M=f(-2)=24,m=f (2)=-8.∴M-m=32. 18.答案 C 解析 ∵f(x)=x3+2x2+mx+1, ∴f′(x)=3x2+4x+m. 由f(x)为增函数⇔f′(x)≥0在R上恒成立⇔Δ≤0⇔16-12m≤0⇔m≥ .故p是q的充分必要条件. 19.答案 B 解析 ∵y=x3-2x+4,∴y′=3x2-2. ∵y′|x=1=3×1-2=1, ∴y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的斜率为1, 即其倾斜角为45°. 20.答案 B 解析 设截去小正方形的边长为x,则铁盒容积为V=(48-2x)2x(0 21.答案 C 解析 由(x-1)f′(x)≥0,得 或 ①函数y=f(x)在(-∞,1]上单调递减,f(0)>f (1);在[1,+∞)上单调递增,f (2)>f (1),∴f(0)+f (2)>2f (1).②函数y=f(x)可为常数函数,f(0)+f (2)=2f (1). 22.答案 B 解析 由f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数. 又x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0, 由奇、偶函数的性质知,当x<0时,f′(x)>0,g′(x)<0. 23.答案 A 解析 设切点的坐标为(x0,x +3x -1), 则由切线与直线2x-6y+1=0垂直, 可得切线的斜率为-3, 又f′(x)=3x2+6x,故3x +6x0=-3, 解得x0=-1,于是切点坐标为(-1,1), 从而得切线的方程为3x+y+2=0. 24.答案 C 解析 ∵f′(x)-g′(x)>0,∴(f(x)-g(x))′>0, ∴f(x)-g(x)在[a,b]上是增函数, ∴当a ∴f(x)+g(a)>g(x)+f(a). 25.答案 A 解析 f′(x)=3mx2-1,依题可得m<0. 26.答案 C 解析 由图可知f (1)=0,f (2)=0, ∴ 解得 ∴f(x)=x3-3x2+2x,∴f′(x)=3x2-6x+2. 由图可知x1,x2为f(x)的极值点, ∴x1+x2=2,x1x2= . ∴x +x =(x1+x2)2-2x1x2=4- = . 27.答案 3 解析 f′(x)=-8+2 x,f′(x0)=-8+2 x0=4, ∴x0=3 . 28.答案 4x+y+2=0 解析 ∵y=2x2,∴y′=4x,y′|x=-1=-4. 故在点(-1,2)处的切线方程为y-2=-4(x+1),. 29.答案 -2 解析 由题意得f′(x)=2x+3f′ (2), ∴f′ (2)=2×2+3f′ (2), ∴f′ (2)=-2. 30.答案 解析 ∵f′(x)=3ax2+6x, ∴f′(-1)=3a-6=4, ∴a= . 31.答案 3x-y-2=0 解析 ∵y′=3x2,k=y′|x=1=3. ∴y-1=3(x-1),即3x-y-2=0. 则y′=2ax,又∵a<0,故选B. 32.答案 (-∞,-3] 解析 f′(x)=3x2+2kx=x(3x+2k), 由题意知 是函数的单调减区间, 因此- ≥2,即k≤-3. 33.答案 a≥3 34.答案 a<-3或a>6 解析 本题考查函数的极值概念及二次函数的图象应用,数形结合解答可减少错误; 若函数有极值需f′(x)=3x2+2ax+a+6的取值有负有正,故由二次函数图象可知只需Δ=(2a)2-12(a+6)>0即可,解得a<-3或a>6. 35.答案 (-1,11) 解析 ∵f′(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(x+1),令f′(x)<0得-1 36.答案 (-2,2) 解析 令f′(x)=3x2-3=0, 得x=±1, 可得极大值为f(-1)=2,极小值为f (1)=-2,如图,观察得-2 37.答案 k≤ 解析 f′(x)=3kx2+6(k-1)x. 由题意,知 或 解得k≤ . 38.答案 2∶1 解析 设圆柱高为x,底面半径为r,则r= ,圆柱体积V=π 2x= (x3-12x2+36x)(0 V′= (x-2)(x-6). 当x=2时,V最大.此时底面周长为6-x=4,4∶2=2∶1. 39.思维启迪: (1)求导数f′(x)→判断f′(x)>0或f′(x)<0→确定单调区间; (2)根据单调性→求f(x)的极大、极小值→用数形结合. 解 (1)因为f′(x)=x3+ax2-2a2x=x(x+2a)(x-a), 令f′(x)=0得x1=-2a,x2=0,x3=a, 由a>0,可知f′(x)在f′(x)=0处根的左右的符号如下表所示: x (-∞,-2a) -2a (-2a,0) 0 (0,a) a (a,+∞) f′(x) - 0 + 0 - 0 + f(x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以f(x)的递增区间为(-2a,0)与(a,+∞); f(x)的递减区间为(-∞,-2a)与(0,a). (2)由 (1)得到f(x)极小值=f(-2a)=- a4, f(x)极小值=f(a)= a4,f(x)极大值=f(0)=a4. 要使f(x)的图象与直线y=1恰有两个交点, 只要- a4<1< a4或a4<1,即a> 或0 探究提高 解本题若采用研究初等函数的方法来讨论函数的单调性、最值是十分繁杂的,而采用导数来求函数的单调区间,通过“求导”、“解不等式”、“写单调区间”这三步,简明有效.
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