数学归纳法及其应用举例1.docx
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数学归纳法及其应用举例1
数学归纳法及其应用举例
【本章学习目标】
人们在研究数量的变化时,常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程,这种无限变化过程就是极限的概念
与思想,极限是人们研究许多问题的工具。
以刘微的“割圆术”为例,圆内接正n边形的边数无限增加时,正n
边形的周长Pn无限趋近于圆周长2ttR。
这里的鸟,片/1只是个有限多项的数列,人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列为弓….与…的变化趋势。
不论n取多么大的整数,Pn都是相应的圆周长的近似值,但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中(限n无限增大)找出圆周长的精确值2兀R。
随着n的增加,
Pn在变化,这可以认为是量变(即只要n是有限数,Pn都是圆内接正多边形的周长);但是我们可以从这些量
变中来发现圆周长。
一旦得出2兀R,就是质的变化(即不再是正多边形的周长)。
这种从有限中认识无限,从近
似中认识精确,从量变中认识质变的思想就是极限的思想。
本章重点内容是:
(1)数学归纳法及其应用。
(2)研究性课题:
杨辉三角。
(3)数列的极限。
(4)函数的极限。
(5)极限的四则运算。
(6)函数的连续性。
本章难点内容是:
(1)数学归纳法的原理及其应用。
(2)极限的概念。
【基础知识导引】
1—了解数学推理中的常用方法一一数学归纳法。
2.理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。
3.掌握数学归纳法的一些简单应用。
【教材内容全解】
1.归纳法
前面我们在学习等差数列时,通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。
再如根据三
角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n边形内角和公式。
像这样由一系列有限的特殊事例得出一
般结论的推理方法,叫做归纳法。
对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。
(1)归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。
(2)根据考察的对象是全部还是部分,归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。
显然等差数列通项公式,凸n边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的,这些结论是正确的。
但并不是所有由不完全归纳法得出的结
论都是正确的。
这是因为不完全归纳只考察了部分情况,结论不具有普遍性。
例如课本P62数列通项公式
22
an(n5n5)就是一个典型。
2.数学归纳法
在生活与生产实践中,像等差数列通项公式这样与正整数有关的命题很多。
由于正整数有无限多个,因而不
可能对所有正整数一一加以验证。
如果只对部分正整数加以验证就得出结论,所得结论又不一定正确,要是找到把所得结论递推下去的根据,就可以把结论推广到所有正整数。
这就是数学归纳法的基本思想:
即先验证使结论
*.
有意义的最小正整数n0,如果当nn0时,命题成立,再假设当nk(kn0,kN)时,命题成立(这时命
是否成立不是确定的),根据这个假设,如能推出当n=k+1时,命题也成立,那么就可以递推出对所有不小于no
的正整数制+L畸+2,…命题都成立。
由此可知,用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,要分两个步骤,且两个步骤缺一不可。
第一步递推的基础,缺少第一步,递推就缺乏正确的基础,一方面,第一步再简单,也不能省略。
另一方面,
第一步只要考察使结论成立的最小正整数就足够了,一般没有必要再多考察几个正整数。
第二步是递推的根据。
仅有这一步而没有第一步,就失去了递推的基础。
例如,假设n=k时,等式
:
>4+6+…=疗+内成立,就是|2+4+6+…+2k-兴+M1。
那么,
=+=8"1尸*6*1)+1。
这就是说,如果n=k时等式成立,
那么n=k+1时等式也成立。
但仅根据这一步不能得出等式对于任何nCN*都成立。
因为当n=1时,上式左边=2,
2
右边12113,左边w右边。
这说明了缺少第一步这个基础,第二步的递推也就没有意义了。
只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起,才能得出普遍性结论。
因此,完成一、二两点后,还要做一个小结。
在证明传递性时,应注意:
(1)证n=k+1成立时,必须用n=k成立的假设,否则就不是数学归纳法。
应当指出,n=k成立是假设的,
这一步是证明传递性,正确性由第一步可以保证,有了递推这一步,联系第一步的结论(命题对nn0成立),
就可以知道命题对no1也成立,进而再由第二步可知n(no1)1,即nno2也成立。
这样递推下去,
就可以知道命题对所有不小于no的正整数都成立。
(2)证n=k+1时,可先列出n=k+1成立的数学式子,作为证明的目标。
可以作为条件加以运用的有n=k成
立的假设,已知的定义、公式、定理等,不能直接将n=k+1代入命题。
3.这一节课本中共安排了五个例题,例1〜例3是用数学归纳法证明等式。
其步骤是先证明当nno(这
里^1)时等式成立。
再假设当n=k时等式成立,利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1时
111.3M
—十十,・.4=1-
(一)
等式也成立。
注意n=k+1时的等式是待证明的,不能不利用假设。
例如:
求证:
22。
2、2。
所以当
111k111k1
尹^[1
(2)k1]/(12)1
(2)
n=k+1时,命题也成立。
这种方法不是数学归纳法,因为这个证明过程中没有体现递推的思想。
例4是用数学归纳法证明整除性问题。
由于前面我们没有学过多项式除以多项式,所以题中介绍了多项式
整除的概念。
由多项式整除的定义容易得出:
对多项式a,b,c,p,如果a能被c整除,那么pa也能被c整除;
22k22k
如果a,b能被c整除,那么a+b或a-b也能被c整除。
在本例证明的第二步中,为了利用归纳假设,在xxyy
22k22k
中添加一项xy,为了使等式不变,同时添加一项xy。
例5是用数学归纳法证明几何问题。
证明的关键是弄清增加一条直线增加多少个不同的交点。
【难题巧解点拨】
例1试判断下面的证明过程是否正确:
用数学归纳法证明:
3+7+11+…+(4n-1)=n(2n+1)
证明:
(1)当n=1时,左边=3,右边=3,所以当n=1时命题成立。
(2)假设当n=k时命题成立,即3+7+•-+(4k-1)=k(2k+1)。
3+7+-+(4^-1)3)三工(七十1)0无<3+3)=
当n=k+1时,2
(k1)(2k3),所n=k+1时,命题也成立。
根据
(1)
(2)可知,等式对一切nCN*成立。
分析看用数学归纳法证明数学问题是否正确,关键要看两个步骤是否齐全,特别是在第二步证明中归纳假
设是否被应用。
如果没有用到归纳假设,那就不正确。
解以上用数学归纳法证明的过程是错误的。
在证明当n=k+1时等式成立时,没有用到当n=k时命题成立
的归纳假设,所以不符合数学归纳法证题的要求。
第二步正确的证明方法是:
假设n=k时命题成立,即3+7+11+(4k-1)=k(2k+1)成立,则当n=k+1时,>7比-1)+=封21t51t+3=⑵,即当n=k+1时命题也
成立。
点拨用数学归纳法证题的两个步骤缺一不可,尽管有的与正整数有关的命题用其他方法也可以解决,但题
目若要求用数学归纳法证明,则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行,否则是不正确的。
分析用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题,关键是第二步,要注意当n=k+1时,等式两边的式子
与n=k时等式两边的式子的联系,或增加了哪些项,或减少了哪些项,问题就容易解决。
1
证明
(1)当n=1时,左边=1+1=2,右边212,等式成立。
(2)假设当n=k时,等式成立,即.十1)比十+期■2工,1,3…(.一!
)。
则当n=k+1时,
(i+1+1)(^+1+2)-^41+1++1+^+1)
=(*+2)(t+3Q-(i++2)
=(无41)彼+2>-{七4©2侬7
=2":
3・,・(24-1”2(2上、1)
=户】13…(次-1)(系+1)
即当n=k+1时,等式也成立。
由
(1)、
(2)可知,对一切nCN*,等式成立。
点拨解题过程中,当n=k+1时,等式的左边若错写为(k+1)(k+2)…(k+k)(k+k+1),时导致证明错误或无法进行。
例3平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点。
求证:
这n个圆把平
2
面分成nn2个部分。
分析用数学归纳法证明几何问题,主要是搞清楚当n=k+1时比n=k时,分点增加了多少,区域增加了几
块。
本题中第k+1个圆被原来的k个圆分成2k条弧,而每一条弧把它所在的部分分成了两部分,此时共增加了2k个部分,问题就容易得到解决。
证明用
(1)当n=1时,一个圆把平面分成两部分,12122,命题成立。
2
(2)假设当n=k时命题成立(nCN*),k个圆把平面分成kk2个部分。
2
当n=k+1时,这k+1个圆中的k个圆把平面分成kk2个部分,第k+1个圆被前k个圆分成2k条弧,每条弧把它所在部分分成了两个部分,这时共增加了2k个部分,即k+1个圆把平面分成
22
(kk2)2k(k1)(k1)2个部分,即命题也成立。
由
(1)、
(2)可知,对任意n€N*命题都成立。
点拨不能错误地认为第k+1个圆被前k个圆分成k段弧。
1111
++—・“+>—
例4若不等式用+1司+2n24
对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值,并证明你的结论。
分析这是一个探索性问题,先用归纳法探求a的最大值,然后再用数学归纳法证明对一切的正整数n,不
等式成立。
111a
解当n=1时,11123124,
26_a_
即2424,/.a<26,又aCN,••.取a=25,下面用数学归纳法证明:
111、25
理十I题十23库十124。
(1)当n=1时,已证。
I11、25
(2)假设当n=k时,#+1上+23上+124成立。
11111
十十■*■十十十
则当n=k+1时,有伏十1)十1/+1)十23113上十23t+3
1
3(k1)1
「1111111,251
■(+4-…4)+(++-))++
七十1七十2*+13此+23比+33t+4七十1243比十2
12
3k43(k1),
1122-
0
•.3k23k43(k1)3(k1)(3k2)(3k4),
111v25
++・一+>—
.•・后++1)+10t+D+2式七十9+124也成立。
I111、25
由
(1)、
(2)可知,对一切nCN*,都有不等式正十1内十2%+124成立。
,a的最大值为25。
点拨用数学归纳法证明不等式,推导n=k+1时不等式也成立,可以适当运用比较法、分析法、放缩法等,但前提必须是在假设的基础上使用。
【课本习题解答】
练习(P64页)
1+2+3+—-+由=工无(七+1)
1.在第二步中,假设当n=k时,等式成立,就是2,那么,
.CC11_1
1十2个3十…,十k十(无+1)=一七(七十1)十&+1)—(k1)(k2)—(k1)[(k1)1]
22
这就是说,当n=k+1时,等式也成立。
2.在第二步中,假设当n=k时,等式1+2+20,一+21+2£・(2-1)十2'23-1o
这就是说,当n=k+1时,等式也成立。
3.在第二步中,假设当n=k时,等式成立,就是
这就是说,当n=k+1时,等式也成立。
练习(P66页)
1.在第二步中,假设当n=k时,等式成立,就是
F+23+33十•一十上3+册:
+D)=十1)A
=-^+1V+*T)=工gT尸体42尸
44
4
这就是说,当n=k+1时,等式也成立。
2.在第二步中,假设当n=k时,等式成立,就是
I3+3a+5a十一+Q无一1/十[2g+1)-I]3
=1^(4^-1)+(2i+lJa
=;(2斤+1)(笈3十5丈十3)
=g(2巾+D伏41)(2比43)
=;的+1)(4/十g4十为
■2+1)[於+1尸-1]
成立,就是1十2+2二十…+2b】=2'-1。
那么,
k1/k1、k
aka〔q,刃么,ak1akq(a〔q)qa〔q
F+2彳十堂十…十工优十1产
4’。
那么,
3十伏十1成
I2+33+宁+…十('-1)J=1削4M-1)
3。
那么
这就是说,当n=k+1时,等式也成立。
3.在第二步中,假设当n=k时,等式成立,就是
lx2+2x3+3x^+.-+t(t+1Jm」上(无+1)(七十2)
1X2+2X3+3x4+-+>^+])+(>+1)(^+2)
-+S)(k+2)+©十1)伏十2)
Jg+l)g+2)(卜35
=;侬+讥(上.1)+1][(史+1)+2]
这就是说,当n=k+1时,等式也成立。
练习(P67页)
1.不妨设两个正整数是n,n+1(nCN*)。
(1)当n=1时,n(n+1)=1x(1+1)=2能被2整除。
(2)假设当n=k时,命题成立,就是k(k+1)能被2整除。
那么,(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1)也能被2整除,这就是说,当n=k+1时,命题也成立。
因此对任何正整数,命题都成立。
kk
2.在第二步中,假设当n=k时,命题成立,就是xy能被x-y整除。
那么,
k1k1kkkkkk.kk.k..
xyxxyyxxxyxyyyx(xy)y(xy)
k1k1
由此可知xy也能被x-y整除,即当n=k+1时,命题也成立。
3.在第二步中,假设当n=k(k>2)时,命题成立,就是平面内有k(k>2)个点,连接两点所成的线段的条数
■11
f(k)-k(k1)-k(k1)
2,那么当平面内有k+1个点时,其中k个点,连接两点所成的线段的条数为2,第k+1
个点与上述k个点连接得到k条线段,因此
■.111
f(k1)f(k)k-k(k1)k-k(k1)-(k1)[k1)1]
222
这就是说,当n=k+1时,命题也成立。
4.
(1)三角形的内角和为180°,所以当n=3时,f(3)=180°;另一方面(n-2)X180°=(3-2)X180°=180°。
因此,当n=3时,f(n)=(n-2)X180°成立。
(2)假设当n=k(k>3)时,命题成立,就是f(k)=(k-2)x180。
。
如果44,…&,Au是凸k+1边形的顶点,连接A1Ak,它把凸(k+1)边形分成凸k边形''Be与三角形A1AkAk1,因此凸(k+1)边形的内角和等于分成的两个图形的内角的和,就是(k-2)X180°+180°=(k-1)X180°=[(k+1)-2]x180°=f(k+1)。
根据
(1)和
(2)可知,命题对所有不小于3的正整数都成立。
习题2.1(P67页)
1.
(1)在第二步中,假设当n=k时,等式成立,就是2十4+6十…#2Q■上工十氐。
那么
244:
64~+2尢42(比41)=[上24上)+2(七+1)
=a*3k,2=(k*42上.1)*(左41)=(七:
1尸
这就是说,当n=k+1时,等式也成立。
2十2/3十2乂+--+2笈3k1十2元3氏=(3此—1)+2黑3反=+3氏—1
=3^-1
这就是说,当n=k+1时,等式也成立。
Sn同业"
2.先用数学归纳法证明等差数列前n项和公式2
(1)当n=1时,左边S,右边a1,此时等式成立。
(2)假设当n=k时,等式成立,就是
(1)当n=1时,左边S,右边a1o此时等式成立。
a1(1qk)
Sk
(2)假设当n=k时,等式成立,就是1q。
那么,
、ga1(1qk)ka1(1qk1)
)k1Skak1a1q
1q1q。
这就是说,当n=k+1时,等式也成立。
根据
(1)和
(2)可知,等式对任何正整数都成立。
3.
(1)在第二步中,假设当n=k时,等式成立,就是-1+3-5+…+(-1/(%-1),(-1)“无。
那么,
-1+3-5+…+(T)“加-1)+(―1)m[2伏+1)-1]二(-1)7十(-1广、2比十1)-7产七_4+2比+1)=(-1产(Ml)
这就是说,当n=k+1时,等式也成立。
(2)在第二步中,假设当n=k时,等式成立,就是
1寸_1_十_+1_=Jr
而.而十…十证而一’而7。
那么
而4.+…+(2上=])(法:
1)+(24+])(2/+印
一为'1_反次+习)1
―+1(2方十1乂2七十3?
一(2七十1)(2,十3)
_(2#+1)2+1)
QC+62七十3)
k1
2(k1)1
这就是说,当n=k+1时,等式也成立。
口3口
4.在第二步中,假设当n=k时,等式成立,就是(即*3+…*纵)=的+勺
十端+2g死+■%十…十唳・产)
那么
这就是说,当n=k+1时,等式也成立。
2(k1)12(k1)1
由此可知,xy也能被x+y整除。
这就是说,当n=k+1时,命题也成立。
(2)在第二步中,假设当
..3
n=k时,命题成立,就是k5k能被6整除。
那么
33_2_
(k1)35(k1)k33k23k15k5
32
(k5k)3k3k6
32
(k5k)3(kk2)
3
因为k5k能被6整除,而k(k+1)必为偶数,于是3[k(k+1)+2]也能被6整除。
由此可知,,,33
(k5k)3[k(k1)2]也能被6整除,即(k1)5(k9能被6整除。
这就是说,当n=k+1时,命题也
成立。
4k22k1.
(3)在第二步中,假设当n=k时,命题成立,就是35能被14整除。
那么,
4(k1)22(k1)14k62k3
3535
_4_4k2_42k1_42k122k1
33353555
34(34k252k1)5652k1
由此可知,34(k1)252(k1)1也能被14整除。
这就是说,当n=k+1时,命题也成立。
2k1k2
(4)在第二步中,假设当n=k时,命题成立,就是42k13k2能被13整除,那么,
2,2k1,2ck2,2ck2
444343
2k1k2k2
16(43)133
这就是说,当n=k+1时,命题也成立。
八、1,八~
L,r,f(k)二k(k3)……4AAA,…一A…r
(2)假设当n=k(k>4)时,2成立,当凸k边形斗与之口*■增加一个顶点Ak1成为凸(k+1)
边形时,由顶点八卜1与另外6-2)个顶点4,53-,,,41,可构成(k-2)条对角线,同时原来的一条边A〔Ak变成一条对角线,这样一共增加了(k-1)条对角线,所以凸(k+1)边形的对角线条数为
rr1
f(k1)f(k)(k1)5k(k3)(k1)
121
2(k2k2)-(k1)(k2)
1
2*1)[(k1)3]
这就是说,当n=k+1时,命题也成立。
根据
(1)、
(2)可知,命题对任何不小于4的正整数都成立。
【同步达纲练习】
、选择题
s®'十,十_L十,-3
2.设总用+1再十2融十3N,则()
11
…工S…S
(2)
A.S(n)共有n项,当n=2时,23。
4.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时,第一步应验证()
A.n=1成立
B.n=2成立C.n=3成立D.n=4成立
1+—+—++—"—<双N曰>1)
5.用数学归纳法证明232浮-1时,第一步应证下述哪个不等式成立()
A.1<2
1
B.2
111
C.23
1D.
6.用数学归纳法证明时应增添的项是()
11111,…
-4+…+—(年正酒)
2n-\%片+1舞+22n
时,从n=k到n=k+1
1
A.2k1
111
B.2k22k4c.2k2
11
D.2k12k2
二、填空题
1fW)=—+——-+—(we囚*)
7.设月十1犀十22«,那么f(n+1)-f(n)=
8.设凸k边形的内角和为f(k),则f(k+1)=f(k)+。
9.数列{an}中,al1,且Sn,Sn1,2§成等差数列,则S2,S3,S4依次等于,由此猜想
Sn-
10.共有n级楼梯,每步只能跨上1级或2级,走完这n级楼梯共有f(n)种不同的走法,则f(n),f(n-1),f(n-2)
之间的关系式是
三、解答题
0-182
11,已知数列133R
推测出Sn,并用数学归纳法加以证明。
a3,a4的值,由此猜想{an}的通项公式,并证明所得的结论。
13.已知数列{an}满足
ai
1
2,且前n项和Sn满足:
Sn
2
nan
求{m}的通项公式,并加以证明。
14.是否存在常数a,b,
_2_2
1223
c使得等式
n(n
1)2
n(n1)
12
(an2bnc)对一切正整数
n都成立?
证明你的结论。
参考答案
【同步达纲练习】
一、选择题
1.D2.D3.D4.C5.C6.D
二、填空题
11
7.2n12n2。
8.180°。
37152n1
9.2,4,8,2n1。
10.f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
三、解答题
Si
S2
24
25,
S3
48
49
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
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- 数学 归纳法 及其 应用 举例