等差数列前n项和基础训练题有详解.docx
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等差数列前n项和基础训练题有详解
等差数列前n项和基础训练题(有详解)
一、单选题
1.已知等差数列
的前
项和
,且
,则
()
A.4B.7C.14D.
2.已知数列
为等差数列,若
,则数列
的前
项和
()
A.
B.
C.
D.
3.在等差数列
中,
则
的前5项和
( )
A.7B.15C.25D.20
4.记
为等差数列
的前
项和,若
,
,则
的公差
等于()
A.-2B.0C.1D.2
5.已知数列{
}是等差数列,
,则其前13项的和是()
A.45B.56C.65D.78
6.在等差数列{an}中,a3+a9=27-a6,Sn表示数列{an}的前n项和,则S11=()
A.18B.99C.198D.297
7.已知等差数列
中,若
,则它的前
项和为()
A.
B.
C.
D.
8.已知等差数列
的前
项和为
.若
,
,则
A.35B.42C.49D.63
9.数列
的前
项和
,当
取最小值时
的值为()
A.
B.
C.
D.
10.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有( )
A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a99=0D.a51=51
11.若等差数列满足
,
,则当
的前
项和最大时,
的值为()
A.7B.8C.9D.10
12.若等差数列
的前
项和
满足
,
,则
()
A.
B.0C.1D.3
13.等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{
}的前11项和为( )
A.-45B.-50C.-55D.-66
14.等差数列
的前n项和为()
A.
B.
C.
D.
15.数列
是等差数列,它的前
项和可以表示为()
A.
B.
C.
D.
二、填空题
16.已知等差数列
的前
项和为
,若
,则
________.
17.已知数列
的前
项和
,则
_______.
18.已知等差数列
的前
项和为
,
_____;
19.在等差数列
中,已知
,则
______.
20.已知数列
的前
项和
(
),则此数列的通项公式为__________.
21.已知数列{an}的前n项和Sn=
,则{an}的通项公式an=________.
22.等差数列
中,
,则数列前9项的和
等于______________。
23.已知等差数列{an}中,
+2a3a8=9,且an<0,则S10为_______
24.已知数列
的前
项和为
,其通项公式
,则
取______时,
取最大值,最大值为_________.
25.15.已知等差数列共有
项,其中奇数项和为290,偶数项和为261,则
三、解答题
26.记
为等差数列
的前
项和,已知
,
.
(Ⅰ)求
的通项公式;
(Ⅱ)求
,并求
的最小值.
参考答案
1.B
【解析】
【分析】
由题意利用等差数列的定义、通项公式及前
项和公式,求出首项和公差的值,可得结论.
【详解】
等差数列
的前
项和为
,且
,
,
.
再根据
,可得
,
,
则
,
故选:
.
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义、通项公式及前
项和公式,属于基础题.
2.C
【解析】
.
3.C
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式和前
项和公式求解.
【详解】
解:
在等差数列
中,
,
.
故选:
C.
【点睛】
本题考查等差数列的前5项和的求法,是基础题,解题时要注意等差数列的通项公式的合理运用.
4.D
【解析】
【分析】
根据题意,由等差数列的前
项和公式可得
,解可得
,又由
,可得
,由等差数列的通项公式分析可得答案.
【详解】
解:
根据题意,等差数列
中,若
,即
,
则
,
又由
,则
,
则等差数列
的公差
;
故选:
D
【点睛】
本题考查等差数列的性质以及前
项和的性质,注意等差数列通项公式的应用,属于基础题.
5.D
【解析】
【分析】
由等差数列的等差中项得a7=6,再由求和公式和性质可得S13=13a7即可.
【详解】
∵在等差数列{an}中,a5+a7+a9=18,∴a5+a7+a9=3a7=18,
解得a7=6,
∴该数列的前13项之和:
S13=
×(a1+a13)=13a7=13×6=78.
故选:
D.
【点睛】
本题考查等差数列的前n项和,利用等差数列的性质和
的公式是解题的关键,属于基础题.
6.B
【解析】
【分析】
由题设条件结合等差数列的通项公式知先求出a6,再由等差数列的前n项和公式求出S11.
【详解】
∵a3+a9=27﹣a6,∴3a6=27,a6=9,
∴
.
故选:
B.
【点睛】
本题考查等差数列的性质和应用,解题时要注意等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用.
7.D
【解析】
分析:
利用等差数列的性质求和.
详解:
由题得
故答案为:
D
点睛:
(1)本题主要考查等差数列的性质,意在考查学生对该基础知识的掌握能力和转化能力.
(2)等差数列
中,如果
则
特殊地,
时,则
,
是
的等差中项.
8.B
【解析】
【分析】
运用等差数列
的性质,
、
、
依然等差数列来求解
【详解】
已知数列
为等差数列,则其前
项和性质有
、
、
也是等差,
由题意得
,
,
则
,
,
故选
【点睛】
本题在解答时运用了等差数列前
项和的性质,在运用性质时注意下标数字
、
、
,本题也可以转化为
和
的方程来求解。
9.C
【解析】二次函数
的开口向上,对称轴为
故当
或
时,取得最小值.故选
.
10.C
【解析】由a1+a2+a3+…+a101=0知道,
即
由等差数列的性质可知
故选C
11.B
【解析】∵等差数列
满足
∴等差数列
的前8项为正数,从第9项开始为负数,
∴当
的前
项和最大时
的值为8,
故选B.
12.B
【解析】
根据等差数列的性质
仍成等差数列,则
,则
,
,选B.
13.D
【解析】因为
所以{
}是首项为-1,公差为-1的等差数列,所以其前11项的和
.
14.B
【解析】主要考查等差数列的概念、通项公式及前n项求和公式。
解:
首项为-2,公差为3,所以
=-2n+
=
,故选B。
15.B
【解析】主要考查等差数列的概念、通项公式及前n项求和公式。
由
得
,其中d有可能为0,所以选B。
16.
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质得到
,再计算
得到答案.
【详解】
已知等差数列
故答案为
【点睛】
本题考查了等差数列的性质,前N项和,利用性质可以简化运算.
17.7
【解析】
【分析】
利用
求解.
【详解】
由题得
.
故答案为:
7
【点睛】
本题主要考查数列项和公式,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18.70
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为
,由等差数列的通项公式,结合
可列出两个关于
的二元一次方程,解这个二元一次方程组,求出
的值,再利用等差数列的前
项和公式求出
的值.
【详解】
设等差数列的公差为
,由
可得:
,
【点睛】
本题考查了等差数列基本量的求法,熟记公式、正确解出方程组的解,是解题的关键.本题根据等差数列的性质,可直接求解:
,
.
19.
【解析】
【分析】
整理得:
,利用
即可求解。
【详解】
,又
。
【点睛】
本题主要考查了等差数列的前
项和公式及等差数列的通项公式,属于基础题。
20.
【解析】
【分析】
由数列的前n项和得
,再由an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)求得an,验证
即可.
【详解】
由Sn=n2,得a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣(n﹣1)2=2n-1.
当n=1时
=1代入上式成立,∴an=2n-1.
故答案为:
2n-1.
【点睛】
本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式的问题,应用an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)是关键,属于基础题.
21.
【解析】
【分析】
直接利用项和公式求通项.
【详解】
当n=1时,
,不适合n=1,所以
.
故答案为:
【点睛】
(1)本题主要考查利用项和公式求数列的通项,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
(2)若在已知数列中存在:
的关系,可以利用项和公式
,求数列的通项.
22.99
【解析】
分析:
由等差数列的性质可求得a4,=13,a6=9,从而有a4+a6=22,由等差数列的前n项和公式即可求得答案.
详解:
:
∵在等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,
∴a4=13,a6=9,
∴a4+a6=22,又a4+a6=a1+a9,,
∴数列{an}的前9项之和
故答案为99.
点睛:
本题考查等差数列的性质,掌握等差数列的性质与前n项和公式是解决问题的关键,属于中档题.
23.-15
【解析】∵
,
又
∴
,
∴
。
答案:
。
点睛:
在等差数列的性质中,下标和的性质是比较重要的一个,也是常考的内容之一,此性质指的是“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”,它说明了等差数列中与首末两项距离相等的两项的和相等,这一性质常与等差数列的前n项和公式
结合在一起,采用整体代换的思想,达到简化解题过程的目的.
24.5或者630
【解析】
∴数列
是首项为10,公差为-2的等差数列,
∴由二次函数可知:
当
或
时,前
项和
取到最大值时30
【点睛】本题考查等差数列的前n项和最小值的求法,解题时要认真审题,注意配方法的合理运用.
25.29
【解析】
试题分析:
等差数列奇数项为
项,偶数项为
项,
两式相减,可得
.
考点:
等差数列的前项
和.
26.
(1)
.
(2)
;-16.
【解析】分析:
(Ⅰ)根据已知求出公差d,再写出
的通项公式.(Ⅱ)利用等差数列的前n项和公式求
,并求
的最小值.
详解:
(I)设
的公差为d,由题意得
.
由
得d=2.
所以
的通项公式为
.
(II)由(I)得
.
所以当n=4时,
取得最小值,最小值为−16.
点睛:
本题主要考查等差数列通项的求法和
的求法,意在考查学生对这些知识的掌握水平,属于基础题.
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- 等差数列 基础训练 详解