北京市第四中学高三数学高考总复习知识讲解导数与函数的综合知识讲解doc.docx
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高考冲刺:
导数与函数的综合
编稿:
辛文升审稿:
孙永钊
【高考展望】
1•函数在一点处导数的几何意义、切线的斜率、方程等常作为基础考察;
2.基木导数公式,两个函数和、差、积、商的求导法则•要熟记并应用,
5.理科试卷小往往考察复合函数的求导法则;
6.函数的单调性少其导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,此为重点内容,也是重点考察的内容;
7.两数在某点取得极值的必耍条件和充分条件(导数在极值点两侧异号),两数的极人值、极小值、最大值、最小值是考查重点;
&正确计算定积分,利用定积分求面积;
9.分类讨论的数学思想是本部分内容的重点考查内容,应熟练掌握这种数学思想。
【知识升华】
考点一、求切线方程的一般方法,可分两步:
(1)求出函数尸/⑴在*F()处的导数八兀。
);
(2)利用直线的点斜式得切线方程。
要点诠释:
求切线方程,首先要判断所给点是否在曲线上•若在llh线上,可川上法求解;若不在Illi线上,可设出切点,写出切线方程,结合已知条件求出切点处标,从而得方程.
【高清课堂:
导数的应用(理)394572知识要点】
考点二、判定函数的单调性
(1)函数的单调性与其导数的关系
设函数尸f(x)在某个区间内可导,则当°时,y二f(x)在相应区间上为增函数;当广(兀)<°时,y=f(x)在相应区间上为减函数;当恒有广(兀)=。
吋,尸f(x)在相应区间上为常数函数。
耍点诠释:
1在区间(a,b)内,广(劝>°是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件!
例如:
f(x)=x3^fG)=3兀2>0,f*(0)=0,f\x)>0(xH0),而f(x)在R上递增。
2学生易误认为只要冇点使广(兀)=°,则f(x)在(a,b)上是常函数,要指出个别导数为零不影响函数的单调性,同吋要强调只有在这个区间内恒有广(兀)二°,这个函数尸f(x)在这个区间上才为常数函数。
3耍关注导函数图彖与原函数图彖间关系。
(2)利用导数判断函数单调性的基木步骤
(1)确定函数f(x)的定义域;
⑵求导数广(力;
⑶在定义域内解不等式广⑴>°或广(兀)V°;
(4)确定f(x)的单调区间。
考点三、求函数的极值与最值
(1)极值的概念
—•般地,设函数y=f(x)在x=xO及其附近有定义,
⑴如果对于x0附近的所冇点,都有:
f(x) (2)如果对于x0附近的所有点,都有: f(x)>f(xO),称f(xO)为函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0)o 极人值与极小值统称极值。 在定义屮,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。 要点诠释: 1在函数的极值定义中,一•定要明确隊I数y=f(x)在x=xO及其附近有定义,否则无从比较。 2函数的极值是就函数在某一点附近的小区间何言的,是一个局部概念,在函数的整个定义域内可能有多个极值,也可能无极值。 由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 3极大值打极小值Z间无确定的大小关系。 即一个函数的极大值未必大丁极小值。 极小值不一定是整个定义区间上的最小值。 4两数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。 而使函数取得最人值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。 5连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。 我们主要讨论可导函数的极值问题,但是函数的不可导点也可能是极值点。 如某些间断点也可能是极值点,再如y=|x|,x=0o 6可导两数在某点取得极值,则该点的导数一定为零,反之不成立。 在函数取得极值处,如 果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有但反过來不一定。 如函数y=x3,在x=0处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小。 (2)求极值的步骤 1确定函数的定义域; 2求导数; 3求方程广⑴二°的根; 4检杏广(兀)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极人值: 如果左负右正,则f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法) 考点四、求前数的最值 函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。 连续函数f(x)在闭区间⑻b]上必有一个最大值和一个最小值,但是最值点可以不唯一;但在开区间(a,b)内连续的函数不一定冇最大值和最小值。 (1)最值与极值的区别与联系: 1函数最人值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的,是整个定义区间上的一个概念,而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的,是局部的概念; 2极值可以有多个,最大(小)值若存在只有一个; 3极值只能在区间内取得,不能在区间端点取得;而使函数取得最人值、最小值的点町能在区间的内部,也可能在区间的端点。 4有极值的函数不一定有最值,有最值的函数未必有极值,极值可能成为最值。 (2)在区间[a,b]上求函数y二f(x)的最大与最小值的步骤 1求函数尸f(x)在(a,b)内的导数 2求函数y二f(x)在(a,b)内的极值 3将函数y=f(x)在(a,b)内的极值与区间两端的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。 考点四、定积分计算、微积分基本定理 1.定积分的性质 ⑴fgwf/g亦为常数), (2)fME土心⑴]dx=1)("皿土fZ(兀皿 ⑶J>(x)^=J7(x)^+f7(x)^(其中xcvb), (4)利用函数的奇偶性求积分: 若函数"・心)在区间H上是奇函数,则L‘⑴“=0; 若函数y=/⑴在区间H,切|: 是偶函数,则L/O)必=2L几%皿 rf{x)dx=F(Q: =F(b)一F(a) 2.微积分基本定理J"八丿". 【高清课堂: 函数的概念、图象和性质368992知识要点】 【典型例题】 类型一: 导数的儿何意义 例].已知曲线C: y=x2,点在C上 ⑴求M点处切线的斜率及切线方程; ⑵求过点P(2,2)与曲线y=x2和切的直线方程。 【思路点拨】点M在C上,而点P不在|11|线C上。 【解析】⑴由y=x2y'x=2xy'|x=l=2k=2 又点M为切点,M在曲线上, 则过点贩C的切线方程为: y・l=2(x・l)即2x-y-l=0 (2)设切点为(X。 用),则切线斜率为k=y'L°=2x°, k二——=>n=2x0=>x0=2±V2厂 又x0-2x0-2,则1<=2(2±血), 所求切线方程为: y-2=(2土血)(x-2) 【总结升华】 (1)关于曲线在某一点的切线 求曲线尸/•(兀)在点%%)的切线,即P(心%)在曲线歹二蚀上,且曲线在该点的 切线的斜率就是函数y=f^在p点的导数广(勺)。 因此切线方程为(点斜式): 歹一%=.厂(勺)(兀一兀0) (2)关于曲线过某一点的切线 求曲线y=f⑴过点户(心%)的切线,可以分两种情况: ①切点为卩(兀0丿0)时,方法同 (1) ②切点不为P(%』0)时,可以设切点为M(£,X),然后列出方程刃=/3)及k=X—•'0=f\x} KpM___八久1丿ijz、 %'~X°,解得切点为ME? "后方法同 (1); 举一反三: y=x+—⑵才) 【变式1】曲线x在点2处的切线方程是o 【答案】3x-4y+4=0. 【变式2】已知曲线『=2仮+1,曲线上哪一点处切线为直线y=-2x+3垂直,并写出这一点的切线方程。 ・・.切点坐标是(4,5), 将x=4代入y=2坂+1中得y二5 即: x-2y+6=0o 类型二: 函数的单调区间 f(X)—兀3_上丫2+2无— 例2.是否存在这样的k值,使函数32在区间(1,2)上递 减,在(2,8)上递增,若存在,求出这样的k值; 【解析】/Z(x)=4^2^3-2x2-2kx+2 由题意,当XG(h2)时厂⑴当尢丘(2,呵时厂⑷>°, ・・・由函数广⑷的连续性可知广⑵=°,即32/_8-碌+2=0 k=Lk」 整理得,16疋_2£-3=0,解得2或8 验证: .••若lvxv2,贝汀若兀>2,贝ij•厂(对>0,符合题意; aaQ (II)当“近时,广⑷二忆,-2/+才“2 显然不合题意。 综上可知,存在2使/(兀)在",2)上递减,在(2,8)上递增。 举一反三: f(x)=—67X3+兀 【变式1】设3恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间。 【解析】广⑴二处2+1 1若心°=厂(力>°恒成立, 此时f(x)在R上为单调函数,只有一个单调区间为卜8,+8),不合题意; 2 若QVO 增区间为: 减区间为: 综上,avO吋有三个单调区间, fM=x 【证明】设 •丄兀2・in(l+x)n厂(劝=1・ 1 x 兀+1 1•宀1 X2 兀+1兀+1 ••・X>0,X+1>0n.厂(X)<0,则函数f(X)在(0,+oo)上单调减函数 a/(x)(0)=0, .*.x-—x2 2成立 类型三: 函数的极值 例3.求函数尸2夕+八的极值。 -X C>-X.nX=-—\n2 【解析】)'"e~e,令丿",得2 列表: Ay极小 举一反三: 【变式】求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值。 【解析】广(兀)=3兀2_6兀-9=3(兀+1)(兀-3), 令广(x)=0,解得 xl=-l,x2=3 由于xv・l时,/(兀)>°; Z时,广(*0; x>3时,广(兀)>°, ・・・f(x)极人值=f(-l)=10;f(x)极小值=f(3)=-22 __2 例4.己知函数/(兀)=/+处2+加+C在亍与X=1时都取得极值 (1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间; (2)若对xg[-1,2],不等式『(兀)"恒成立,求c的取值范围。 【解析】 (1)/(兀)=戏+处2+加+°,f\x)=3x~+2ax+b 「2124 f(—)=a+方=0rxcir\ ill393,f (1)=3+2«4-6=0得 a- 2,b=-2 ・fr(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1) •• 函数f(x)的单调区间如下表: X (2(_r 2 -3 (-? ]) 1 (l+°°) fXx) + 0 1 0 + f(x) 极大值 J 极小值 ? (—°°,) 所以函数f(X)的递增区间是’3与(1,+切; 递减区间是3 XG[—1,2], y(x)=—+c 27为极大值, 2 x=—— 当3时, 而/⑵=2+ef则/ (2)=2+c为最人值 要使/⑴V;(xw[—1,2])恒成立, >/ (2)=2+c,解得cv—1或c>2 举一反三: 【变式1]已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±l处取得极值。 ⑴讨论f⑴和f(・l)是函数f(x)的极大值还是极小值; ⑵过点A(0,16)作曲线y二f(x)的切线,求此切线的方程。 【解析】⑴广(兀)=3必2+2bx—3, 依题意,广⑴二广(一"°, 解得。 =l,b=0 J3a+2b-3=0即〔3d-2b・3=0 .f(x)=x3-3xf\x)=3x2-3=3(x+l)(x-l), 令广(兀)=0,得x“,x=l, ^xe(-oo,-i)u(l,+8),则•厂(x)>°, 故f(x)在(・8,・1)上是增函数,f(x)在(1,+8)上是增函数 若xe(-izi),则广(兀)<°,故f(x)在(-")上是减函数 所以,f(-l)=2是极大f(l)=-2是极小值; ⑵曲线方程为y=x3・3x,点A(0,16)不在曲线上 设切点为M(xO,yO),则点M的坐标满足丫(产x〉3x()' 因广(如)=3(兀。 2_1) 故切线的方程为y-yo=3(x^-i)(x-xo) 注意到点A(0」6)在切线上,有16・(x;・3Xo)=3(x;・1)(O・Xo), 化简得垃二8,解得xO=-2 所以切点M(-2,-2),切线方程为9x-y+16=0 【变式2】已知函数/(兀)=*+川+加+1,当且仅当2_1,兀=1时,/(力取得极值,并口极大值比极小值大4. (1)求常数的值; (2)求/(兀)的极值。 [解析] (1)厂(兀)=5兀°++方,令厂(兀)=0得方程5兀4+3q2+b=0 ・・・/(兀)在兀=-1,21处取得极值 ・••乂=T或乂=1为方不呈5兀4+3^2+方=0的根, 5(-1)4+36/(-1)2+/? =0 故有〔5 (1)4+3q (1)2+b=0 .・.5+3a+b=0,艮卩/? =一3。 一5① .f\x)=5x4+3ar2-3cz-5=5(x4一1)+3cz(x2一1) •• =(x+1)(兀一1)(5兀2+3a+5) 乂I'⑴仅当天=±1时取得极值, ・・・方程广(X)=°的根只有2-1或21, ・・・方程5/+3°+5二°无实根, .A=02-4x5x(3n+5)<0即3a+5>0 5 a>—而当3时,5/+3°+5>0恒成立, ・•・广⑷的正负情况只取决于°+1)(兀一°的取值情况 当x变化时,厂(尢)与/(兀)的变化情况如卜•花 X (—,-l) -1 (-1,1) 1 (2,+8) + 0 — 0 + fM / 极人值 、 极小值 / ・・・/⑴在%=T处取得极大值'(T),在兀i处取得极小值了 (1)o由题意得/(-|)-/ (1)=4理得a+b=-3② 于是将①,②联立,解得a=-\.b=-2 (2)由 (1)知,/(兀)*-卩-2兀+1 f⑴极大值兀)极小值二/'⑴=-1 类型四: 函数的最值 【高清课堂: 导数的应用(理)394572例2】 X 例5.已知函数fM=(x-k)2ek ⑴求/(Q的单调区间; 兀)v1 ⑵若对V%e(0,+oo),都有’一e,求R的取值范围。 X 【解析】 (1)/(兀)=(兀-代的定义域为(一°°,+呵 兰£11 f\x)=2(x-k)ek+(x-k)2ek•—(x-k)(x+k) 显然"0,由广(兀)二0得=k.x2=-k 当k>0时.厂(兀)>0=>x>£或兀<-kf'(x)<0=>-k /(兀)在(Yof卄)上单调增,在(一以)上单调减 当kv0时/'(x)>Q^>k /(兀)在(―,灯,(-以+呵上单调减,在伙,-町上单调增. ⑵由 (1)知, 当比>0时,/⑴在(°,灯上单调减,伙,+°°)上单调增, 冃兀T+oo时/(%)T+oo,所以/(X)没有最大值. 当X0吋,/(兀)在(0,-幻上单调增,(-人+oo)上单调减, ee -~ 解得2 —Bk<0 综上,力的取值范I节I2 举一反三: Zsvl 【变式1】设3,函数 3 f{x)=x3——mx14-n(-l 2,求常数加/的值。 [解析]厂(尤)=3x2_3mx=女(兀-m) 令f\x)=0得x(x一m)=0 解得 c2 X}=0,兀2=m(~ X -1 (-1,0) 0 (0,加) m (加,1) 1 /©) + 0 — 0 + 当兀在[T川上变化时,广(兀)与f⑴的变化情况如下表: fW /(-1) / 极大值" nr+n极小值2 / /(I) —II•J- ・••当时,几力取得极人值化当x=m时,兀力取得极小值2。 由上述表格中展示的畑的单调性知兀°)>/(T)丿(°)>/(加),/ (1)>f(m) •••最大值在/(0)与/⑴之中,/(X)的最小值在/(T)和/(肋之中, 32 /(O)-/(l)=-m-l,v-<m<l,a/(0)-/ (1)>0考察差式23, 即/(o)>/(I),故/(X)的最人值为兀°) 山此得"))=1021 /(-I)-f(m)=—(m3-3m-2)=—(m-2)(m+l)2考察差式22 •・•§<"vl,.・丿(_1)_/(肋<0,即肋, 3 m=- 2 V| 2,解得 m- V6 ・・・fM的最小值为几一1) 由此得 m=,n=l 于是综合以上所述得到所求3。 例6.已知/(兀)=E-6o? +b(_lSW2)的最大值为3,最小值为-29,求%的值; 【解析】这里。 工°,不然2=b与题设才盾f\x)=3cix2一12ax=3ax(x-4) 令广(兀)=0,解得x=°或x=4(舍去) (I)若则当尢w(j,°)时,厂(兀)>0,/(兀)在(一1,°)内递增; 当川(0,2)时,.厂(兀)<0,/(无)在(0,2)内递减 又/(力连续,故当兀=°吋,/(兀)収得最大值,(°) ・••由已知得/(°)=3o"3 而/(-I)=-la+3,/ (2)=-16g+3v/(-l) ・・・此时于⑴的最小值为/⑵ 由f⑵=—29得_16。 +3=—29od=2 (II)若QV°,则运用类似的方法可得 当X=0时/(X)有最小值,故有f(0)=-29ob=-29; 又/(-I)=-la-29J (2)=-16a-29>/(-l) ・・.当x=2时,门兀)有最大值, ・・・由已知得_16°_29=3oa=_2 于是综合(I)(II)得所求db=3或a=-2,b=-29 举一反三: 【变式1】设函数f(x)=ax3+bx+c(aH0)为奇函数,其图象在点(1,f⑴)处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数广(兀)的最小值为・12 (I)求a,b,c的值; (II)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在卜1,3]上的最大值和最小值。 【解析】(I)Tf(x)为奇函数,f(-x)=-f(x)BP-ax3-bx+c=-ax3-bx-c,c=0 ・.・f\x)=3ax2+"的最小值为-12,Ab=-12 丄 ..a=2,b=-l2zc=0 (II)f(x)=2x3-12x,列表如下: 又直线x-6y-7=0的斜率为Q因此广 (1)=力+0=-6,,~=2, /G)=6x2・12=6(兀+V2)(x-V2), (—,-V2)(-V2,V2)V2(V2,+oo) +00+ f(x) j(xcos+\fx^)dx=0+2^ 「3? x3dx=2x—x3()5 16 0=5 ••y=^是偶函数。 5 12 +电血+丄 3In2 所以函数f(x)的单调增区间是(-°°厂血)和(血+呵 Vf(-l)=10,/(Q="血,f(3)=18 ・・・f(x)在卜1,3]上的最大值是f(3)=18,最小值是f(V2)=-8>/2 类型五: 定积分计算、微积分基本定理 例7•求下列定积分 (1) (2)J: fMdx=[f(x)dx+f(x)dx+J: f(x)dx 【总结升华】 当被积式为分段两数时,应分段积分;利用两数的奇偶性等。 举一反三: 【变式1】求定积分: &^2\x-x2\dx=^(x2-x)dx+(x-x2)dx+(%2-x)dx= 2(2込2轴 【变式2】求定积分: 飞2 y=2cos2—=cosx+l (cosx+l)^=2(sinx+x) 2j;cos2詁 =j*+(COSX+l皿 2 【解析】•・・2是偶函数, 例&求直线丿=2x+3与抛物线y=*所围成的图形面积. 【思路点拨】先画出符合题意的图形,由图形可以看出所求的面积一个梯形M曲边梯形Z差,进而可以用定积分求解。 为了确定定积分的上下限,要求出两条曲线的交点的横坐标。 \y=2x^3 【解析】如图,由卜"得,交点人(-1,1),"(3,3),所求面积: 『32—/2丄213\3_32 S=J)[(2x+3)-x~kZr=(%+3%_3%“=丁 【总结升华】 求平面图形的面积体现了数形结合的思想,是解题的主要思路.求图形的面积的一般步骤是: (1)画出图形,并把图形适当分解为若T•个基本的曲边梯形; (2)找出相关|11|线的交点坐标,即解方程组,确定每个Illi边梯形的积分区间(即积分上下限); (3)确定被积函数,即解决“积什么”的问题,是解题的关键; (4)写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式; (5)计算各个定积分,求出所求的面积. 举一反三: 【变式: L】求抛物线)"=x与直线兀一2y-3=°所围成的图形的面积. 【解析】解方程组 y2=兀, x—2y—3=0,得 即交点4(1,T),3(9,3) 3f9xdx^—*dx 3 2 9 <3J : +-XX? 121 (A3、 」3丿 : )+ 32=T 需要指出的是,积分变量不一定是x,有吋根据平面图形的特点,也可选)'作为积分变量,以简化计算•但要注意积分上限、下限的确定. 若选y为积分变蜃,则上限、下限分别为一1和3,所以要求的面积为: f3°2 S二L【(2y+3)-b]dy=y 【变式2】求由曲线y=x2,y=x9y=2xm成的平面图形的面积. y=x~ y=x得a(i,i); 【解析】由所求面积: (2%一x)dx+[(2x一x2)dxoJi J() =-x2 2 !
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