概率练习册第七章答案.docx
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概率练习册第七章答案
7-2单正态总体的假设检验
1.已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.1082),现在测定了9炉铁水,其平均
含碳量为4.484,如果估计方差没有变化,可否认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55(0.05)?
解提出检验假设
H0:
4.55,H1:
4.55
以H0成立为前提,确定检验H0的统计量及其分布
说明小概率事件没有发生,因此接受H0.即认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55.
2.机器包装食盐,每袋净重量X(单位:
g)服从正态分布,规定每袋净重量为500g),标准差不能超过10(g)。
某天开工后,为检验机器工作是否正常,从包装好的食
盐中随机抽取9袋,测得其净重量为:
497507510475484488524491515
以显著性水平
解.作假设
0.05检验这天包装机工作是否正常?
H0:
2102,H1:
2102
选取统计量
2n12822
22S22S2~2(n1)
02102
对给定的显著性水平=0.05,查2分布表得:
由已知计算得s2
12(n1)
228.44
2n12
2s
0
02.95(8)2.733,于是拒绝域为22.733
82s218.2752102
因此接受H0,即可以认为这天包装机工作不正常。
2.733
X:
N(,2),已知64斤,
测得折断力(单位:
斤)为578,
570,572,570,572,596,584。
现问:
这一批铜丝的平均折断力可否认0.05)已知的情形下检验
572,
3.根据长期的经验,某工厂生产的铜丝的折断力今从该厂所生产的一大批铜丝中随机地抽取10个样本,572,570,568,为是570斤?
(
解.由于
H0:
H1:
572
故选取统计量
X
/n
查标准正态分布表可得
u
2
572
u0.025
X572
~N(0,1)
64/10
1.96,并计算得x575.2而
575.2572
64/10
64/10
拒绝H0,即不能认为这一批铜丝的平均折断力是
2.061.96
570斤。
4.某工厂生产的某种电缆的抗断强度的标准差为后,抽取8根电缆,测得样本抗断强度的标准差为N(,2),给定显著水平著变化?
解检验假设
选取检验统计量
240kg,这种电缆的制造方法改变以
300kg,假设电缆强度服从正态分布
0.01,试问改变制造方法后电缆抗断强度的标准差是否有显
对给定的显著性水平
查2分布表得:
2
1
于是拒绝域为2
由已知计算得s2
H0:
n1
2
0
=0.05,
S2
1)
2402,H1:
22402
24702S2~2(n
1);
(n
2
0.989
0.2282
2
0.995(7)0.989,
2(n1)
2
02.005(7)20.278,
220.278
2
73020210.94
2402
24702S2
因此接受H0.即能认为改变制造方法后电缆抗断强度的标准差没有显著变化。
习题7-3双正态总体的假设检验
1.在漂白工艺中,温度会对针织品的断裂强力有影响。
假定断裂强力服从正态分布,在两种不同温度下,分别进行了8次试验,测得断裂强力的数据如下700C:
20.518.819.820.921.519.521.021.2800C:
17.720.320.018.819.020.120.219.1判断这两种温度下的断裂强力有无明显差异?
(取显著性水平
解.问题为方差未知对两总体均值差进行双边检验
作假设H0:
12,H1:
12
选取检验统计量
单位:
kg):
0.05)因此选用t检验法.
X1X2
其中
T~t(n1n2
Sw1/n11/n2
S2(n11)S12(n21)S22Sw
w2
2).
n1n2
拒绝域为
|t|
x1x2
sw1/n11/n2
t/2(n1
n22)
t0.025(14)2.1448
计算x120.4,x219.4(,n11)s126.2,(n21)s22代入计算,得
t2.162.1448
5.8n18,n28
故拒绝H0,即可以认定这两种温度下的断裂强力有明显差异。
2.在20世纪70年代后期人们发现,酿造啤酒时,在麦芽干燥过程中形成一种致癌物质亚硝基二甲胺(NDMA)。
到了20世纪80年代初期开发了一种新的麦芽干燥过程,下面是新、老两种过程中形成的NDMA含量的抽样(以10亿份中的份数记):
设新、老两种过程中形成的NDMA含量服从正态分布,且方差相等。
分别以x、y记老、
新过程的总体均值,
取显著性水平0.05,检验H0:
xy2;H1:
xy2。
解:
H0:
xy2
xy;H1:
xy2
选取检验统计量
XY
T
~t(n1n22).
Sw1/n11/n2
(n11)S1(n21)S2
其中
n1
n2
2
拒绝域为
tt/2(n1n22)
t0.005(22)
1.7171
将
x5.25,y1.5,s12
0.931,s22
1n1n2
12,
2
代入计算,得
t
4.43931.7171
故拒绝H0.
3.设从两个不同的地区各取得某种植物的样品12个,测得该种植物中铁元素含量(g/g)
的数据如下:
地区A:
11.518.67.618.211.416.519.210.111.29.014.015.3地区B:
16.215.212.39.710.219.517.012.018.09.019.010.0假定已经知道这种植物中铁元素含量分布为正态,且分布的方差是不受地区影响的,检验这两个地区该种植物中铁元素含量的分布是否相同。
(0.05)
选取检验统计量
X1X2
其中
T~t(n1n2
Sw1/n11/n2
(n11)S12(n21)S22
2).
拒绝域为
将代入计算,
Sw2
|t|
x1
n1n22
x1x2
t/2(n1
sw1/n11/n2
13.6,x214,s1214.65,s22
n22)t0.025(22)
15.17n1n212
得
t0.17242.0739
故接受H0,即可以认定两个地区该种植物中铁元素含量的分布相同
4.在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率只平炉上进行的.每炼一炉钢时除操作方法外,其它条件都尽可能做到相同法炼一炉,然后用建议的新方法炼一炉
准方法:
78.1,72.4,76.2,74.3,77.4,78.4,76.0,75.5,
81.0,77.3,79.1,80.0,78.1,79.1,77.3,80.2,82.1;别来自正态总体,问建议的新操作方法能否提高得率?
(取
解检验假设
选检验统计量
F
拒绝域为
或F
将s123.325,s22代入计算得
故接受H0:
作假设选取检验统计量
其中
Sw2
2.0739
试验是在同一
.先采用标准方
以后交替进行,各炼10炉,其得率分别为
(1)标76.7,77.3;
(2)新方法:
79.1,设这两个样本相互独立,且分0.05)
222
H0:
1222,H1:
12
S12/S22~F(n11,n2
F1/2(n1
1,n21)
1),
拒绝域为
2
2.
F0.975(9,9)
F/2(n1
2.225.
1,n21)
F0.025(9,9)
1
0.2481
4.03
4.03
2
s1
/s22
3.325
2.225
1.49
4.03
2
2
H0:
H1:
1
X1
X2
~t(n1
Sw1/n11/n2
n1n22
n2
2).
|t
x1
1.7341
t(n1n22)t0.05(18)
76.23,x279.43,s123.325,s222.225n1n210
代入计算,得
t4.29531.7341
故拒绝H0,即可以认定建议的新操作方法能提高得率。
概率论与数理统计模拟题
(一)
一、填空题(本大题共6小题、7个空,每空3分,共21分)
,则该射手的命
16
1.一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为
中率为.
2.设X服从泊松分布,且P{X=0}=P{X=1},则P{X=2}=
3.设连续型随机变量X的密度函数为f(x)
Ax2
0x
其他
1,则A=
4.设随机变量X~N(10,0.022),(2.5)0.9938,则X落在区间(9.95,10.05)上的概
率为.(其中(x)为标准正态分布函数)
5.设X是一随机变量,且E(X)=5,D(X)=9,问对Y=aX+b(a,b为常数),当a=b=时,E(Y)=0,D(Y)=1.
已知D(X)=9,D(Y)=4,D(X
Y)16,则XY
6.
二、单选题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
(A)
0
(B)32
(C)-24
(D)
48
5.设总体
X~N(
2
2),其中
2是未知参数,
X1,X2,
Xn
为取自于总体
X的样
本,则如下为统计量的是()
1n
1n
2
X
(A)
1Xi
(B)1
(Xi
)2(C)
X(D)
ni1
ni1
6.设总体
X~N(
2),其中
2是未知参数,
X1,X2,
Xn
为取自于总体
X的样
本,则
nX
服从分布(
)
(A)
N,1
(B)N
0,1
(C)N
0,2
(D)
N,2
答案:
1.
D2.D
3.C
4.
B5.
A6.B
4.若随机变量X、Y相互独立,方差分别为
8和6,则D(X-2Y)=(
)
三、计算题(本大题共
YX
0
1
2
0
0.2
0.1
0.4
1
0
0.1
0.2
2小题,每小题12分,共24分)
1.二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列如下:
试求:
(1)X,Y的边缘分布律
(2)求EX,EY,DX,DY
(5)判定X与Y是否独立,给出理由。
解
(1)
X
0
1
2
P
0.2
0.2
0.6
Y
0
1
P
0.7
0.3
(2)EX=1.4EY=0.3DX=0.64DY=0.21
(3)PY1X2=PX2,Y1
3.7
PX2
(4)cov(X,Y)E(XY)EXEY0.54.2
故X与Y相关
PX0,Y0PX0PY0故X与Y不独立,.
f(x,y)
cxy
0
(0x1,0y1),(其他).
试求
(1)
系数c;
(2)
X和Y各自的边缘密度函数;(3)
XY
解:
(1)
1
f(x,
10cy)dxdycxydxdy
所以c
4
2.设二维随机变量
(X,Y)的联合密度函数为:
(2)fX(x)
f(x,y)dy
1
4xydy2x(0x1),
0
(其他),
fY(y)
f(x,y)dx
1
4xydx
2y
(0y1),
0
(其他),
(3)由X与Y的边缘密度易知X与Y相互独立,故XY=0
四、解答题(10分)
设总体X~e(),其中是未知参数,X1,X2,,Xn为取自于总体X的样本,
(1)请给出的矩估计或极大似然估计
(2)若样本X1,X2,,Xn的取值为:
6.1,6.3,5.8,5.6,5.9,6.1,6.2,6.0,
请求出问题
(1)中给出的估计的估计值
从而的矩估计为
XE(X),即Xnn
xi
i1
2)似然函数为
n
n
xi
i1
期望为1,标准差是0.1,问2500只零件总重超过2510的概率是多少?
(20.9772)
2500
解:
P{Xi2510}1
i1
2510250011
(2)10.97720.0228
0.12500
六、证明题(9分)设X1~P1、X2~P2,且X1与X2为相互独立,证明:
X1X2~P12
k
证明:
P(X1k)1e1k0,1k!
k
P(X2k)k2!
e2k0,1
P(X1
X2
k)
k
P(X1
i0
i,X2
i)
P(X1
0
i)P(X2
ki)
ki
1
e
i0i!
ki
2
(k
e
i)!
2
e2
iki
k!
12
k!
0i!
(ki)
e(1
2)
k!
Cki
ki
2
2)ke(1
2)
i0
k!
概率论与数理统计模拟题
(二)
.选择题(每题3分,共21分)
1.设事件A与B互不相容,且P(A)
0,P(B)
0,则有(
A.P(AB)P(A)P(B)
B.
P(AB)
P(A)P(B)
C.AB
D.
P(AB)
P(A)
2.设随机变量
(A)2[1
X~N(0,1),X的分布函数为
(2)].(B)2
(x),则P(|X|2)的值为
(2)1.
C)2
(2).
D)1
2
(2).
3.4.设随机变量
X的概率密度为f(x)=
K(4x2x2),1x
0,其它
A.5
16
C.3
4
4.已知随机变量
X的分布函数为(
x0
(X,Y)
(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)
P
1
1
1
1
6
9
18
3
X和Y的联合概率分布为
(A)
5,
1
(A)
1,
18
18.
9
(C)
1,
1
2
1
(D)
6
6
9
9
7..设Xi
0,事件A不发生(i
1,2L,100),且
1,事件A发生(i
P(A)=0.8,
若X,Y独立,则,的值为
2
X1,X2,L,X100相互独立,令
1100
Y近似服从的分布是(
Y=1Xi,则由中心极限定理知
100i1i
A.N(0,1)
C.N(0.8,0.16)
答案:
1.A2.A3.C
二.填空题(每小题2分,共12分)
1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3,且P(A)P(B)0.5,则A,B至少有一个不发生的概率为.
2.设X1,X2,L,X17是总体N(,4)的样本,S2是样本方差,若P(S2a)0.01,则
a
22
注:
02.01(17)33.4,02.005(17)35.7,
22
02.01(16)32.0,02.005(16)34.2)
3.设随机变量X的概率密度为f(x)
2x,
0,
0x1,
其它
现对X进行四次独立重复观察,
用Y表示观察值不大于0.5的次数,则EY.
4.设x1,x2,L,xn为正态总体N(,4)的一个样本,x表示样本均值,则的
置信度为1的置信区间为.
2
2
5.设X1,X2...Xn为正态总体N(u,2)的一个样本,X~N(,),则n
(X)n~分布.
S
7.在0,T内通过某交通路口的汽车数X服从泊松分布,且已知P(X=4)=3P(X=3),则在
0,T内至少有一辆汽车通过的概率为
三.判断题(本题共10分,每小题2分。
正确打“√”,错误打“×”)
⑴设A、B是Ω中的随机事件,必有P(A-B)=P(A)-P(B)()
⑵若X服从参数为λ的泊松分布,则EX=DX()
1n
(3)样本方差Sn1(XiX)2是母体方差DX的无偏估计()
ni1
(4)X:
N(
2
12),Y:
N(,
2
22),则X
22
Y:
N(0,1222)(
)
(5)设X,Y相互独立,则必有
D(XY)
DXDY()
答案:
1.×
2.√3.
×4.
×5.√
四.(10分)已知一批产品中90%是合格品,检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,求
(1)一个产品经检查后被认为是合格
品的概率;
(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.
解:
设A‘任取一产品,经检验认为是合格品'
B‘任取一产品确是合格品'则
(1)P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)
0.90.950.10.020.857.
求
(1)常数a;
(2)X的分布函数F(x);(3)P(1X3).2a22
解:
(1)1f(x)dx(ax1)dx(x2x)022a21
∴a
x0,
x
F(x)f(u)du
xu
(1)du,0x2,
02
1,x2.
0,x0,
2
x
x,0x2,
4
1,x2.
其它
其它
显然f(x,y)fX(x).fY(y),所以X与Y不独立.
七.(12分)
已知分子运动的速度
X具有概率密度
f(x)
4x2
3e
0,
0,
x1,
x2,L,xn为X的简单随
机样本
0.
(1)求未知参数无偏估计。
.解:
(1)先求矩估计
的矩估计和极大似然估计;
2)验证所求得的矩估计是否为
1EX
4x3
(x)2dx
2x2
2xe
(x)2
xe
dx
μX
2
再求极大似然估计
L(X1,L,Xn;
(xi)2
i1
n
3n24n(x1Lxn)2e
n2
2xi
i1
lnL3nln
n
ln(24n)
ln(x1Lxn)212
i
2
xi
1
令dlnL
d
3n2
2)对矩估计
EμEX
2
xi2@0得的极大似然估计
2,所以矩估计
n
2xi2
i1
3n
X是的无偏估计.
2
八.证明题(9分)
设总体X:
N(u,2),X1,X2...Xn是是来自总体的简单随机样本,证明:
1n
统计量212(xiu)2:
2(n)
i1
证明:
X1,X2...Xn是是来自总体的简单随机样本,所以X1,X2...Xn独立且与总体22Xiu
X:
N(u,2)同分布。
Xi:
N(u,2)(1in)i:
N(0,1)(1in)
X1,X2...Xn,所以X1u,X2u...Xnu独立。
2
Xiu2
1n
12(xiu)2:
2(n)
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