在职研究生考试数学测试练习题.docx
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在职研究生考试数学测试练习题
在职研究生考试数学测试练习题
微积分
(1)设y(x)是微分方程y
(x
2
i)yxy
ex的满足y(0)0,y(0)1的解,则
y(x)x八lim—()x0x2
(A)等于0.
解Hm业#
0x
(B)等于i.
..y(x)ilim
x02x
lim
x0
(C)等于
y曳i
22
2.
y(0),
(D)不存在.
0代入方程,得y(0)
(x
i)y(0)x2y(0)i,又y(0)
0,y(0)1,故y(0)2,
所以
lim四#i,选择x0x2
B.
(2)
设在全平面上有
f(x,y)
x
f(x,y)
y
0,则保证不等式
f(xi,yi)f(x2,y2)成立
的条件是
(A)xi
yi
y2.
(B)xi
x2,yiy2.
(C)xi
解f(x,y)0
x
x2,
yi
y2.
(D)xi
x2,yiy2.
f(x,y)关于x单调减少,
f(x,y)关于y单调增加,
f(x2,y2),选择
A.
(3)设f(x)在(
)存在二阶导数,且
f(x)
f(
f(x)0,则当x
。
时有()
(A)f(x)0,f
(x)0.(B)f(x)
0,f(x)
0.
(C)f(x)0,f
(x)0.(D)f(x)
0,f(x)
0.
y2时,f(为,yi)f*%)
解【利用数形结合】
x),
当xix2,yi
当x0时有f(x)0,
f(x)为奇函数,当x。
时,
f(x)的图形为递减的凹曲线,当x。
时,f(x)的图形为递
减的凸曲线,选择D.
(4)设函数f(x)连续,且f(0)0,则存在0,使得()
(A)在(0,)内单调增加
(B)在(,0)内单调减少
(C)对任意的x(0,),有f(x)f(0)
(D)对任意的x(,0),有f(x)f(0)
解【利用导数的定义和极限的保号性】f(0)lim旦^一迫0,
由极限的的保号性,0(0,),在此邻域内,f(x)f(0)0,所以对任意的x(,0),
x
有f(x)f(0),选择D.
|x|sin(x2)
1)(x2)在下列哪个区间内有界.
sin3
[a,b]上有界;如函数f(x)在开区间(a,b)内连续,且极限
limf(x)
xb存在,则函数f(x)在开区问(a,b)内有界.
limf(x)a
(6)设f(x)在(,+)内有定义,且x
1
f(),x0
O'R、0,则
(A)x=0必是g(x)的第一类问断点.(B)x=。
必是g(x)的第二类问
断点.
(C)x=0必是g(x)的连续点.
(D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关.
[D]
【分析】考查极限I'm。
*')是否存在,如存在,是否等丁g(0)即可,通过换
1u—
元X,
可将极限xim0g(x)转化为ximf(x).
1,1
limg(x)limf()limf(u)u
【详解】因为x0xOXu=a(令X),乂g(0)=0,所以,
当a=0时,x0”)Q(),即g(x)在点x=0处连续,当a。
时,x0”)"即x=0是g(x)的第一类问断点,因此,g(x)在点x=0处的连续性
与a的取值有关,故选(D).
【评注】本题届丁基本题型,主要考查分段函数在分界点处的连续性.
⑺设f(x)=|x(1x)|,WJ
(A)x=0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点.
(B)x=0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.
(C)x=0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.
(D)x=0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点.
[C]
【分析】由丁f(x)在x=0处的一、二阶导数不存在,可利用定义判断极值情况,
考查f(x)在x=0的左、右两侧的二阶导数的符号,判断拐点情况.
【详解】设0<<1,当
x(,0)(0,
)时,
f(x)>0
,而f(0)
0,所以x=0是f(x)
的极小值点.
显然,x=0是f(x)
的不町导点.当x(
0)
时,f(x)■
=x(1
x),f(x)20
当x(0
)时,f(x)=x(1
x),f(x)
20,所以(0,0)
是曲线y=f(x)
的拐点.
故选(C).
【评注】对丁极值情况,也可考查f(x)在x=0的某空心邻域内的一阶导
数的符号来判断.
(8)设有下列命题:
(u2n1
u2n)un
(1)
若n1
收敛,则n1
收敛.
un
un1000
⑵
若n1收敛,
则n1收敛.
limUn2
1un
(3)
若nUn
,则n1绑J.
(unvn)
un
vn
⑷
若n1
收敛,则n1,n
1都收敛
则以上命题中正确的是
(A)⑴⑵.(B)⑵⑶.(C)⑶(4).(D)⑴(4).
[B]
【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.
【详解】⑴是错误的,如令*
(1)0,显然,n1「分散,而n1”'”
收敛.
(2)是正确的,因为改变、增加或减少级数的有限项,不改变级数的收敛性.
lim虹1un
(3)是正确的,因为由nUn可得到Un不趋向丁零(n),所以n1
发散.
1
„,人un,vn
(4)是错误的,如令n
n1nn收敛.故选(B).
【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法,届丁基本题型⑼设f(x)在[a,b]上连续,且f(a)0,f(b)°,贝U下列结论中错误的是
(A)至少存在一点x°(a,b),使得f(xo)>f(a).
【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项,由排除法可选出错误选项.
【详解】首先,由已知f(x)在[a,b]上连续,且f(a)°,f(b)°,则由
介值定理,
至少存在一点x°(汕),使得f(x°)°;
f(x)f(a)-f(a)lim0
另外,xaxa,由极限的保号性,至少存在一点
x°(a,b)
f(X0)f(a)
0
使得x0a,即f(x0)f(a).同理,至少存在一点x0(a,b)
使得f(x0)f(b).所以,(A)(B)(C)都正确,故选(D).
【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性,有一定的难度
x为自变量x在点
【分析】题设条件有明显的几何意义,用图示法求解
【详解】由f(x)0,f(x)0知,函数f(x)单调增加,曲
(10)设函数yf(x)具有二阶导数,且f(x)0,f(x)o,
(D)f0
f(0),f(0)的存在性.
所以f(0)存在,故本题选(
an
(12)若级数n1收敛,则级数
【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定
或利用排除法:
an
(1)n-
取n,贝U可排除选项(A),
任意常数,则该方程的通解是
yP(x)y0的非零解,
【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可
【详解】由丁yi(x)y2(x)是对应齐次线性微分方程
所以它的通解是YCy1(x)y2(x),故原方程的通解为
故应选(B).
yy〔(x)Yy〔(x)Cy〔(x)y2(x)
【评注】本题届基本题型,考查一阶线性非齐次微分方程解的结构:
yy*Y
其中y*是所给一阶线性微分方程的特解,丫是对应齐次微分方程的通解.
(14)设f(x,y)与(x,y)均为可微函数,且y(x,y)0,已知(xo,yo)是f(x,y)在
对应x0,y0的参数的值)取到极值的必要条件即可.
【详解】作拉格朗日函数F(x,y,
f(x,y)
(x,y),并记对应
Xo,yo的参
Fx(x0,y0,0)0
fx(x0,y)
ox(xo,yo)
Fy(xo,yo,0)0
即fy(xo,yo)
0y(x0,y0)
fx(x0,yo)y(冷,yo)
fy(x0,yo)
x(xo,Yo)0
fx(xo,yo)
整理得
——fyy(xo,Yo)
(xo,Yo)x(xo,yo)
.(因为y(x,Y)
若fx(x0,yo)0则fy(x0,Yo)
0.故选(D).
线性代数
(1)二次型f(xi,x2,x3)x;4x224x324xg4x1x38x2x3的规范型是()
222-222
(A)fzz2z3.(B)fzz2z3.
22-2
(C)fz1z2.(D)fzi.
解二次型的规范型由它的正负惯性指数确定,
二次型的矩阵
其特征多项式
1
2
2
9
2
2
2
4
4
0
0
2
4
4
0
0
2
9,0,0,
正惯性指数
P
44
AE
2_
2(9),
故A的特征值为
1
1
2
k1
k
1,
B是三阶非零矩阵,且AB。
,则()
k
1时,
2
r(B)
1
1.
(B)当k3时,r(B)1.
1时,
r(B)
2.
(D)当k2时,r(B)2.
r(B)
1,
AB
Or(A)r(B)3r(B)3r(A)
1,负惯性指数q0,选择D.
(2)设A
(C)当k
解BO
1r(B)
3r(A).
1时,r(A)
1,
C,
1
2
2
0
3
1
1
1~
1
1
2
2
1
0
0
排除A,
1
r(B)
2,
3
2时,A
1
3
,r(A)
3,
1r(B)0,矛盾,
排除
D,选择B.
设n阶矩阵A与B等价,则必有
(A)当|A|a(a0)时,|B|a
.(B)
当|A|
a(a
0)时,|B|a
(C)当|A|0时,|B|0
(D)
【分析】利用矩阵A与B等价的充要条件:
r(A)r(B)立即可得.
【详解】因为当|A|0时,r(A)n,乂A与B等价,故「(B)n
IBI0,故选(D).
【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查,届基本题型.
数矩阵的秩.
*
r(A)
n,r(A)n,
1,r(A)n1,
0,r(A)n1.
根据已知条件A0,丁是r(A)等丁n或n1.乂Axb有互不相等的解,
即解不惟一,故r(A)n1.从而基础解系仅含一个解向量,即选(B).
【评注】本题是对矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间的关系、线性方程组解
的结构等多个知识点的综合考查.
0
0
0,根据相似矩阵有相同的特征值,得到
(6)设1,J||,s均为n维列向量,A为mn矩阵,下列选项正确的是
(A)若1,2JII,s线性相关,则A1,A2,|||,as线性相关.
(B)若1,2,Ms线性相关,则A1,A2||I,As线性无关.
(C)若1,2Jll,s线性无关,则A1,a2]||,as线性相关.
(D)若1,2,IIIs线性无关,则A1,A2JII,as线性无关.
[A]
【分析】本题考查向量组的线性相关性问题,利用定义或性质进行判定.
【详解】记B(1,2,|||,s^贝u(A1,A2,|||,As)AB.
所以,若向量组1,2JH,,线性相关,则r(B)s,从而r(AB)r(B)s,向量组A1,A2,III,as也线性相关,故应选(a).
(7)设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的1倍加
1
1
0
P0
1
0
到第2列得C,记0
0
1,则
一—1—
(A)CPAP.
一——1
(B)CPAP.
(C)cptap.
(D)CPAPT.[B
【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得
【详解】由题设可得
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
B
0
1
0A,
CB0
1
0
0
1
0
A0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
概率论
(1)设随机变量X与Y分别服从N(1,2)和N(1,2),且X与Y不相关,k1XY与
Xk2Y也不相关,贝U().
(A)k1k20.(B)k1k20
(C)k1k20.(D)k1k20
解X与Y不相关Cov(X,Y)0,
k〔XY与Xk2Y不相关
Cov(k1XY,Xk2Y)k1Cov(X,X)k1k2Cov(X,Y)Cov(Y,X)k2Cov(Y,Y)
k1DXk2DY2k12k20k1k20,选择a.
(2)设X1,X2,川,Xn(n2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,
样本方差,则()
(A)nX~N(0,1).(B)nS2〜2(n).
二_2
X为样本均值,S为
(C)HA〜t(n
S
2
(n1)X1
〔).(D)'n~F(1,n1).
i2
--9-91
解D(nX)n2D(X)n2—n,排除A,n
_2
(n1)S
2
_22
(n1)S〜(n1),排除B,
1),排除C,选择D.
■,■,■■——2
(3)设X1,X2,…,Xn为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本,X和S分别
十二—2
为样本均值和样本方差,记统计量TXS,则et.2
【答案】np
222
【解析】由ETE(XS2)EXES2npnp(1p)np2.
P
X1
1P
Y2
1
则必有
(A)
1
2(B)
12
(C)
1
2
(D)
12[A]
2、
i),Y服从正态分布N(2,
【分析】
利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得
【详解】
由题设可得
XP
11PY21
P
1
122
2」
11
-12——1—
1
则
12,即1
2
.
其中(x)是标准正态分布的分布函数.
11
乂⑴是单调不减函数,M12,即12.
故选(A).
⑸设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的"(01),数匕满足
P{XUJa
若p{|X|X}a,则x等丁
uauaU1a
_1_
(A)2.(B)2.(C)—.(D)U1a.
[C]
【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.
【详解】由P{|X|x}a,以及标准正态分布密度曲线的对称性可得
【评注】本题是对标准正态分布的性质,严格地说它的上分位数概念的考
微积分
(1)设f(x)
lim
n
x2n1ax2bx
2n"
x1
(n
N),
若limf(x)
x1
limf(x)都存在,那么x1
解当
1时,f(x)
lim
n
2n1x
2ax
-2a
x
bx
1
2ax
当x1时,f(x)lim
a
2n3x
b
2n2x
~1
2n
x
limf(x)存在
limf(x)x1
lim
x1
f(x),即
1,
f(x)存在
limf(x)
x1
limf(x),即a
x1
解得
a0,b1.
sinx
仆lim。
(cosx
b)
【分析】
本题届丁已知极限求参数的反问题
【详解】
因为
^0ex
sinx,(cosx
a
b)
5
,且x
limsinx
(cosx
b)
所以
lim
x0
(ex
a)0
得a=1.
lim
极限化为x'
sinx,(cosx
b)
lim
x
x,—(cosxx
b)
4.
因此,a=1
4.
f(x)
⑶设
【分析】
2xxe
1
2
1
2
1)dx
则
本题届丁求分段函数的定积分,先换元:
x1=t
再利用对称
区间上奇偶函数的积分性质即可.
【详解】令x
1)dx
1
jf(t)dt2
1
1f(x)dt
2
11(
2
1)dx
/、1
(4)lim—r02
rx2y22r2
2
exy
cos(x2
y)dxdy
解由积分中值定理知,存在
D:
x2
lim二r0r2x2
y22r2
exycos(x2y)dxdylimr0
二e2cos(2r
)2r2
2.
(5)设z
z(x,y)由方程xy
xf(z)yg(z)确定,且xf(z)
yg⑵
0,则
zz
[xg(z)]—[yf(z)]—xy
解方程为F(x,y,z)xf(z)yg(z)
⑹设F(x)是f(x)的一个原函数,且F(0)1,F(x)f(x)cos2x,
0|f(x)|dx
解F(x)=f(x),2F(x)f(x)dx2cos2xdx,2F(x)f(x)dx2cos2xdx,
F2(x)sin2xC,
sinxcosx,
又F(0)1,故C1,F2(x)sin2x1,F(x)Jsin2x1
22
,,、,|cos2x||cosxsinx|
|f(x)|cosxsinx,
|F(x)||cosxsinx|
0|f(x)|dx0cosxsinxdx04(cosxsinx)dx(sinxcosx)dx
1
(.21)(1.2)2.2.
⑺极限煦xs^
【分析】本题届基本题型,直接用无穷小量的等价代换进行计算即可
【详解】
(8)微分方程xyy0满足初始条件y⑴2的特解为
【分析】直接积分即可.
【详解】原方程可化为(xy)0,积分得xyC,
代入初始条件得C=2故所求特解为xy=2.
x、,dz
(9)设二元函数zxe(x1)ln(1y),则(1,0)
【分析】基本题型,直接套用相应的公式即可
【详解】
xexyln(1y)
zxyx1
—xe
y1y
dz
丁是
(1,0)2edx
(e2)dy
lim
(10)
cosx
e_e
3rx^1
-e
【解析】
elim——031
cosxe
2
x
cosx1
..e(1elim
0
31
lim
0
e(1cosx)
12e-x
2
12-x
3
(11)设z
(x
ey)
(1,0)
2ln2
【解析】
ey
故zx,。
dz
dx
exln(1
x)
exln(1x)
ln(1
x)
代入x
1得,
1,0
In2e
2ln2
(12)籍级数n1
1)n
的收敛半径为.
【解析】由题意知,
an1
an
n1.n1
e1
2
n1
所以,
e(n
该籍级数的收敛半径为
(13)设某产品的需求函数为
Q(P),其对应价格P的弹性
0.2,
则当需求
量为10000件时,价格增加1
元会使产品收益增加元.
【答案】8000.
【解析】所求即为
QPQPQ
因为
QP
p——0.2
PQ
,所以QP0.2Q
所以
QP0.2Q
Q0.8Q
10000代入有
QP
8000
线性代数
(1)设矩阵
是n维列向量,且T2,则A1
解A2
(E
T)2E
12T
E6(AE)6A
故5E
6AA2(6EA)A,所以A11(6EA).
5
(2)
设行向量组(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)线性相关,且a1,则
a=.
【分析】四个4
维向量线性相关,必有其对应行列式为零,
由此即可确定
a.
【详解】由题设,
(3)
aA■-
ijij
【答案】
【解析】
(a
1)(2a1)0,得'
1,a"设a
1a_1,故2
(aj)是三阶非零矩阵,|A|为A
的行列式,Aj为aj
的代数余子式,若
0(i,j1,2,3),MA
由ajAj0可知,AtA
ai2^2
ai3^3
礼Aj
a2jA2ja3jA3j
3
2
aj
i1
0
at
*
A
2r,
A,故
A=-1.
从而有A
Aa“A1
3
2aijj1
3
0
0
0
0
0
0
0
0
(5)二次型f(Xl,X2,X3)(Xi
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