人教版部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题二含答案 45.docx
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人教版部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题二含答案45
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题二(含答案)
某中学七年级同学到野外开展数学综合实践活动,在营地看到一池塘,同学们想知道池塘两端的距离.有一位同学设计了如下测量方案:
先在平地上取一个可直接到达A、B的点E(A、B为池塘的两端),连接AE、BE并分别延长AE至D,BE至C,使ED=AE,EC=EB,测出CD的长作为AB之间的距离.
(1)他的方案可行吗?
请说明理由.
(2)若测得CD=10m,则池塘两端的距离是多少?
【答案】
(1)该方案可行;理由见解析;
(2)10
【解析】
【分析】
(1)这种设计方案利用了“边角边”判断两个三角形全等,利用对应边相等,得AB=CD.方案的操作性强,需要测量的线段和角度在陆地一侧即可实施;
(2)利用全等三角形的性质即可得.
【详解】
(1)可行,理由如下:
在△AEB和△DEC中
∴△AEB≌△DEC(SAS);
∴AB=CD(全等三角形的对应边相等).
(2)测得CD=10m,则池塘两端的距离AB=10m,
答:
池塘两端的距离是10米.
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用;解答本题的关键是设计三角形全等,巧妙地借助两个三角形全等,寻找所求线段与已知线段之间的等量关系.
42.在直角坐标系中,A为x轴负半轴上的点,B为y轴负半轴上的点.
(1)如图①,以A点为顶点,AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC.若已知A(﹣2,0)B(0,﹣4),试求C点的坐标;
(2)如图②,若点A的坐标为(﹣2
,0),点B的坐标为(0,a),点D的纵坐标为b,以B为顶点,BA为腰作等腰Rt△ABD,当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时,求b﹣a的值;
(3)如图③,E为x轴负半轴上的一点,且OB=OE,OF⊥EB于点F,以OB为边在第四象限作等边△OBM,连接EM交OF于点N,探究EM-ON与EN的数量关系.
【答案】
(1)C(﹣6,﹣2);
(2)2
;(3)EN=
(EM﹣ON),理由见解析
【解析】
【分析】
(1)作CQ⊥OA于点Q,可以证明△AQC≌△BOA,由QC=AO,AQ=BO,再由条件就可以求出C的坐标;
(2)作DP⊥OB于点P,可以证明△AOB≌△BPD,则有AO=BP=OB-PO=-a-(-b)=b-a为定值;
(3)作BH⊥EB于B,由条件可以得出∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明△ENO≌△BGM,则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG,最后由平行线分线段成比例定理就可以得出EN=EM-ON的一半.
【详解】
(1)如图
(1)作CQ⊥OA于点Q,
∴∠AQC=90°
∵△ABC是等腰Rt△,
∴AC=AB,∠CAB=90°,
∴∠ACQ=∠BAO,
在△AQC与△BOA中,
,
∴△AQC≌△BOA,
∴CQ=AO,AQ=BO.
∵A(﹣2,0),B(0,﹣4),
∴OA=2,OB=4,
∴CQ=2,AQ=4,
∴OQ=6,
∴C(﹣6,﹣2).
(2)如图
(2)作DP⊥OB于点P,
∴∠BPD=90°,
∵△ABD是等腰Rt△,
∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°,
∴∠ABO=∠BDP,
在△AOB与△BPD中,
,
∴△AOB≌△BPD,
∴AO=BP,
∵BP=OB﹣PO=﹣a﹣(﹣b)=b﹣a,
∴A(﹣2
,0),
∴OA=2
,
∴b﹣a=2
,
∴当B点沿y轴负半轴向下运动时AO=BP=b﹣a=2
,
(3)如图(3)在ME上截取MG=ON,连接BG,
∵△OBM是等边三角形,
∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°,
∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°,
∵OE=OB,∴OE=OM=BM.
∴∠3=∠EMO=15°,
∴∠BEM=30°,∠BME=45°,
∵OF⊥EB,
∴∠EOF=45°
∴∠EOF=∠BME,
在△ENO与△BGM中,
,
∴△ENO≌△BGM,
∴BG=EN.
∵ON=MG,
∴∠2=∠3,
∴∠2=15°,
∴∠EBG=90°
∴BG=
EG,
∴EN=
EG,
∵EG=EM﹣GM,
∴EN=
(EM﹣GM),
∴EN=
(EM﹣ON).
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质,等边三角形的性质,等腰三角形的性质,三角形的外角与内角的关系,全等三角形的判定与性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
43.(问题)
(1)如图1,锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD,使AE=AB,AD=AC,∠BAE=∠CAD,连接BD、CE,试猜想BD与CE的大小关系,并说明理由.
(迁移)
(2)如图2,四边形ABCD中,AB=7cm,BC=3cm,∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°,求BD的长.
甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形,将BD进行转化再计算,请你准确的叙述辅助线的作法,再计算。
(3)如图3,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,∠ADC=30°,AD=6,BD=10,求CD的长度.
【答案】
(1)BD=CE,理由见解析;
(2)
;(3)8
【解析】
【分析】
(1)首先根据等式的性质证明∠EAC=∠BAD,则根据SAS即可证明△EAC≌△BAD,根据全等三角形的性质即可证明;
(2)在△ABC的外部,以A为直角顶点作等腰直角△BAE,使∠BAE=90°,AE=AB,连接EA、EB、EC,证明△EAC≌△BAD,证明BD=CE,然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解;
(3)先证明△ABC是等边三角形,再把△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE,连接DE,则可得△CDE是等边三角形,再证△BDE是直角三角形,运用勾股定理求出DE的长,从而可得CD的长.
【详解】
(1)BD=CE.
理由是:
∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即∠EAC=∠BAD,
在△EAC和△BAD中,
,
∴△EAC≌△BAD,
∴BD=CE;
(2)如图2,在△ABC的外部,以A为直角顶点作等腰直角△BAE,使∠BAE=90°,AE=AB,连接EA、EB、EC.
∵∠ACD=∠ADC=45°,
∴AC=AD,∠CAD=90°,
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即∠EAC=∠BAD,
在△EAC和△BAD中,
,
∴△EAC≌△BAD,
∴BD=CE.
∵AE=AB=7,
∴BE=
=7
,∠ABE=∠AEB=45°,
又∵∠ABC=45°,
∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°,
∴EC=
=
=
,
∴BD=CE=
.
(3)如图,
∵AB=BC,∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
把△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE,连接DE,
则BE=AD,△CDE是等边三角形,
∴DE=CD,∠CED=60°,
∵∠ADC=30°,
∴∠BED=30°+60°=90°,
在Rt△BDE中,DE=
=
=8,
∴CD=DE=8.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质,正确理解题目之间的联系,构造全等三角形是解决本题的关键.
44.如图,△ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DE⊥DF,交AB于点E,连结EG、EF.
(1)求证:
BG=CF;
(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并说明理由.
【答案】
(1)详见解析;
(2)BE+CF>EF,证明详见解析
【解析】
【分析】
(1)先利用ASA判定△BGD
CFD,从而得出BG=CF;
(2)利用全等的性质可得GD=FD,再有DE⊥GF,从而得到EG=EF,两边之和大于第三边从而得出BE+CF>EF.
【详解】
解:
(1)∵BG∥AC,
∴∠DBG=∠DCF.
∵D为BC的中点,
∴BD=CD
又∵∠BDG=∠CDF,
在△BGD与△CFD中,
∵
∴△BGD≌△CFD(ASA).
∴BG=CF.
(2)BE+CF>EF.
∵△BGD≌△CFD,
∴GD=FD,BG=CF.
又∵DE⊥FG,
∴EG=EF(垂直平分线到线段端点的距离相等).
∴在△EBG中,BE+BG>EG,
即BE+CF>EF.
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质,要注意判定三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、AAS、ASA、HL.
45.如图,∠DAB=∠CAE,AD=AB,AC=AE.
(1)求证△ABE≌△ADC;
(2)设BE与CD交于点O,∠DAB=30°,求∠BOC的度数.
【答案】
(1)见解析;
(2)150°.
【解析】
【分析】
(1)先利用角的和差证出∠DAC=∠BAE,再利用SAS证△ABE≌△ADC即可;
(2)设AB与OD交于点F,根据
(1)中全等可得:
∠ABE=∠D,根据三角形的内角和定理可证∠BOF=∠DAB=30°,从而求出∠BOC的度数.
【详解】
解:
(1)∵∠DAB=∠CAE
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC
∴∠DAC=∠BAE
在△ABE和△ADC中
∴△ABE≌△ADC;
(2)设AB与OD交于点F
∵△ABE≌△ADC
∴∠ABE=∠D
∵∠BFO=∠DFA
∴∠BOF=180°-∠ABE-∠BFO=180°-∠D-∠DFA=∠DAB=30°
∴∠BOC=180°-∠BOF=150°
【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定及性质,掌握用SAS判定两个三角形全等是解决此题的关键.
46.已知:
在如图所示的“风筝”图案中,AB=AD,∠C=∠E,∠BAE=∠DAC.求证:
AC=AE.
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
根据角的和差证出:
∠BAC=∠DAE,然后利用AAS证明△BAC≌△DAE,即可得AC=AE.
【详解】
解:
∵∠BAE=∠DAC
∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE
∴∠BAC=∠DAE
在△BAC和△DAE中
∴△BAC≌△DAE
∴AC=AE
【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定和性质,掌握用AAS判定两个三角形全等是解决此题的关键.
47.已知:
如图,△ABC中,∠ABC=45°,AD是△ABC的高,高BE与AD交于点F,CD=4.
(1)求证:
AD=BD;
(2)线段DF的长度.
【答案】
(1)证明见详解,
(2)4.
【解析】
【分析】
(1)题干要求证明AD=BD,根据在∠ABC=45°,AD是△ABC的高,即可知△ABD为等腰直角三角形,从而证得.
(2)题干要求线段DF的长度,利用
(1)中AD=BD,可证明△BDF
△ADC从而求得DF=CD.
【详解】
解:
(1)
AD是△ABC的高,
∠ADB=90°,
∠ABC=45°,
△ADB为等腰直角三角形,AD=BD.
(2)
在△BDF和△ADC中,
△BDF
△ADC(ASA),
DF=CD=4.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.
48.如图1,在平面直角坐标系中,AB⊥x轴于B,AC⊥y轴于C,点C(0,4),A(4,4),过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点.
(1)若OF+BE=AB,求证:
CF=CE.
(2)如图2,∠ECF=45°,S△ECF=6,求S△BEF的值.
【答案】
(1)见解析;
(2)S△BEF的值为4.
【解析】
【分析】
(1)根据条件证出四边形ABOC是正方形,然后证明△COF≌△CAE即可;
(2)在x轴上截取OG=AE,连接CG,证明△COG≌△CAE,进而证出△GCF≌△ECF,根据全等三角形的面积相等得出S△COF+S△ACE=6,然后利用S△BEF=S四边形ABOC-(S△COF+S△ACE+S△ECF)计算即可.
【详解】
(1)证明:
∵AB⊥x轴,AC⊥y轴,A(4,4),
∴AB=AC=OC=OB,∠ACO=∠COB=∠ABO=90°,
又∵四边形的内角和是360°,
∴∠A=90°,
∵OF+BE=AB=BE+AE,
∴AE=OF,
∴在△COF和△CAE中,
,
∴△COF≌△CAE(SAS),
∴CF=CE;
(2)在x轴上截取OG=AE,连接CG,
在△COG和△CAE中,
,
∴△COG≌△CAE(SAS),
∴CG=CE,∠GCO=∠ACE,
∵∠ECF=45°,
∴∠ACE+∠FCO=∠ACO-∠ECF=45°,
∴∠GCF=∠GCO+∠FCO=∠ACE+∠FCO=45°,
∴∠GCF=∠ECF,
在△GCF和△ECF中,
,
∴△GCF≌△ECF(SAS),
∴S△GCF=S△ECF=6,
∵S△COG=S△ACE,
∴S△COF+S△ACE=S△COF+S△COG=S△GCF=6,
∵S四边形ABOC=16,
∴S△BEF=S四边形ABOC-(S△COF+S△ACE+S△ECF)=4.
【点睛】
本题是一道全等三角形的综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质,熟记全等三角形的判定方法,正确的寻找出全等的条件是解决此类问题的关键.
49.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:
Rt△ABE≌Rt△CBF
(2)若∠AEC=105°,求∠BCF的度数.
【答案】
(1)见解析;
(2)∠BCF=15°.
【解析】
【分析】
(1)根据“HL”进行证明即可;
(2)利用三角形外角的性质求出∠BAE的度数,然后利用全等三角形的对应角相等即可得出答案.
【详解】
(1)证明:
∵∠ABC=90°,
∴∠ABC=∠CBF=90°,
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
∵
,
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL);
(2)解:
∠BAE=∠AEC-∠ABC=105°-90°=15°,
∵Rt△ABE≌Rt△CBF,
∴∠BCF=∠BAE=15°.
【点睛】
本题考查了直角三角形的判定和性质,三角形外角的性质,根据已知条件能够准确的找到全等的条件是解决此题的关键.
50.如图,已知线段m,∠α,求作△ABC,使BA=BC且∠A=∠α,AC=m.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
先作∠MAN=∠α,在AN上截取AC=m,然后作AC的垂直平分线l,交AM于点B,连接BC,即得到△ABC.
【详解】
解:
如图所示,
【点睛】
此题主要考查了作等腰三角形底角等于已知角,底边等于已知线段,包含了两个基本作图,作一个角等于已知角和作垂直平分线.掌握五种基本作图是解题关键.
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