九年级同步第1讲相似形与比例线段教案教学设计导学案.docx
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九年级同步第1讲相似形与比例线段教案教学设计导学案
放缩与相似形是九年级上学期第一章第一节的内容,主要对相似多边形的概念和性质进行讲解,重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用.通过对相似多边形的学习,为后面学习相似三角形的知识奠定基础.
比例线段是九年级上学期第一章第二节的内容,主要对比例线段的有关概念和性质进行讲解,重点是理解不同概念和性质之间的联系和区别,熟练比例线段之间的转换,并能结合具体图形,运用比例线段的性质进行解题.通过对比例线段的学习,一方面为之后学习平行线分线段成比例做好准备,另一方面服务于之后相似三角形知识的学习.
1、相似形的概念
相似形:
我们把形状相同的两个图形称为相似的图形,简称相似形.
2、相似多边形的性质
如果两个多边形是相似形,那么这两个多边形的对应角相等,对应边的长度成比例.当两个相似的多边形是全等形时,它们对应边的长度的比值为1.
【例1】相似的图形,它们的形状相同,它们的大小相同.
(选填“一定”或“不一定”或“一定不”)
【难度】★
【答案】一定,不一定.
【解析】相似图形是形状相同的两个图形,由其定义可得出结论.
【总结】考查相似图形的概念,注意全等图形是特殊的相似图形.
【例2】在下边的方格图中,分别画出和四边形的一个相似图形.
【难度】★
【答案】略.
【解析】答案不唯一.如图是其中一种.
【总结】考查对于相似图形定义的把握,可以采用全等是特殊的相似画图,若要画比例选段,将各边长分别在横向和纵向等比例分解即可.
【例3】下列给出的图形中,不是相似形的是()
(A)由同一张底片印出来大小不同的照片
(B)一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片
(C)小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像
(D)五星红旗上的大五角星和小五角星
【难度】★
【答案】C
【解析】哈哈镜反映人像及物件的扭曲面貌,呈现出与原物不同的像,即不是相似形.
【总结】考查相似图形的特征,形状完全相同.
【例4】下列说法不一定正确的是()
(A)所有的等边三角形都相似(B)有一个角是的等腰三角形都相似
(C)所有等腰直角三角形都相似(D)所有的直角三角形都相似
【难度】★★
【答案】D
【解析】直角三角形两个锐角角度不固定,形状不一定相同.
【总结】对于三角形而言,只要三角形的角大小都相同,三角形即相似.
【例5】下列各组中的两个图形一定相似的有()
(1)两个等腰三角形;
(2)两个直角三角形;(3)两个等腰直角三角形;
(4)两个等边三角形;(5)两个矩形;(6)两个菱形;
(7)两个正方形;(8)两个等腰梯形;(9)两个圆.
(A)3组(B)4组(C)5组(D)6组
【难度】★★
【答案】B
【解析】相似的是(3)(4)(7)(9)
【总结】考查相似图形的特征,形状完全相同,对于三角形来说,三个角大小相等即可,对于其它多边形来说,除了考虑角的大小,还要考虑边的大小对应.
【例6】已知四边形和四边形是相似的图形,并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点,已知,,,,,,,求,的长和的度数.
【难度】★★
【答案】.
【解析】相似形形状完全相同,由此相似形各内角对应相等,各边对应成比例.
有,将代入,求得:
,
根据四边形内角和,可求得:
,相似图形对应角相等可知.
【总结】考查相似图形的定义,注意相应的边角对应关系.
【例7】如图,和是相似形,顶点、、分别与点、、对应,
已知,,,,,.求、的长和的度数.
【难度】★★
【答案】,.
【解析】相似形形状完全相同,由此相似形各内角对应相等,各边对应成比例.
有,将代入,可求得,根据三角形内角和为180°,可求得:
,
根据相似图形对应角相等可知.
【总结】考查相似图形的定义,注意相应的边角对应关系.
【例8】已知的三边长分别是、、,与其相似的的最大边长是,
求的最小边长.
【难度】★★
【答案】最小边长为9.
【解析】.
【总结】考查三角形三边的对应关系,两个相似三角形中最长边对应最长边,最短边对应最短边.
【例9】已知甲、乙两个三角形相似,甲三角形的三边长分别为、、,乙三角形其中
一边的长为,求乙三角形的另外两边的长.
【难度】★★★
【答案】3,4或,或1,.
【解析】分类讨论.
(1)乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为4的边时,边长对
应比值为,则另两边长分别为;
(2)乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为6的边时,边长对应比值为,则另两边长分别为;(3)乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为4的边时,边长对应比值为,则另两边长分别为.
【总结】三角形中,注意三边的对应关系,对题目指代不明确的,需进行分类讨论.
【例10】如图,矩形中,,线段,在上取一点,分别以、
为一边作矩形、矩形,使矩形与矩形相似,且点与点、点与点,点与点,点与点分别是对应顶点,令.求出矩形的面积与的函数关系式.
【难度】★★★
【答案】.
【解析】根据矩形与矩形相似,可对应得
,因此,进而可求得:
.
【总结】考查简单的函数对应关系,找准线段关系即可进行准确表示相关结果.
1、比和比例
一般来说,两个数或两个同类的量与相除,叫做与的比,记作(或表示为);
如果(或),那么就说、、、成比例.
2、比例的性质
(1)基本性质:
如果,那么;
如果,那么,,.
(2)合比性质:
如果,那么;
如果,那么.
(3)等比性质:
如果,那么.
【例11】下列各组线段中,成比例的一组是()
(A),,,(B),,,
(C),,,(D),,,
【难度】★
【答案】A
【解析】只有A选项满足可知其成比例.
【总结】考查成比例的定义,根据比例的基本性质即可确定.
【例12】
(1)求,,的第四比例项;
(2)若,,的第四比例项是,求.
【难度】★
【答案】
(1);
(2).
【解析】
(1)根据比例的基本性质可得第四比例项=;
(2)依题意有,根据比例的基本性质,整理得,
解得.
【总结】考查比例的基本性质和比例中相关定义.
【例13】
(1)是和的比例中项,则;
(2)是和的比例中项,则;
(3)线段厘米,厘米,则线段和的比例中项是.
【难度】★
【答案】
(1);
(2);(3).
【解析】
(1)由题意可知,由此,;
(2)由题意可知,可解得;
(3)、都为线段,因此其比例中项只能是线段,取正值,即为
【总结】考查比例中项的定义,注意线段比例中项和数字比例中项的区别.
【例14】
(1)若,则;
(2)若,则;
(3)若,则.
【难度】★★
【答案】
(1);
(2);(3).
【解析】
(1)根据比例的合比性,;
(2)由,可得,原式=;
(3)由,可得,原式=.
【总结】考查比例性质运用中的基本计算,确定单位“1”再准确计算.
【例15】
(1)已知:
,求的值;
(2)已知:
,求的值;
(3)已知:
,求的值.
【难度】★★
【答案】
(1);
(2)26;(3)11.
【解析】
(1)令,得,原式=;
(2)令,得,原式=;
(3)令,得,原式=.
【总结】考查换元思想,也可采用【例14】确定单位“1”的思想.
【例16】设线段、、满足,求、、的值.
【难度】★★
【答案】.
【解析】由
(1)可得,再结合
(2),可得:
,由此可得到,结合
(2)式可解得.
【总结】考查比例的等比性质的应用.
【例17】设,求的值.
【难度】★★
【答案】0.
【解析】根据分式基本性质,得,
令,则有,,,三式相加,即得.
【总结】考查比例的性质的综合应用.
【例18】若,求的值.
【难度】★★★
【答案】6或.
【解析】
(1)时,根据比例的等比性;
(2)时,可得,则.
【总结】考查比例的等比性质,但需要注意对式子用等比性时一定要注意根据分母是否为0进行分类讨论.
【例19】已知,则一次函数的图像一定经过第几象限?
【难度】★★★
【答案】三、四.
【解析】
(1)时,根据比例的等比性,此时一次函数经过一、三、四象限;
(2)时,可得,则,此时一次函数经过二、三、
四象限;
综上所述,函数必经过三、四象限.
【总结】考查比例的等比性质,注意根据分母是否为0分类讨论,同时考查一次函数所在象限与系数的关联.
1、比例线段的概念
对于四条线段、、、,如果(或表示为),那么、、、叫做成比例线段,简称比例线段.
2、黄金分割
如果点把线段分割成和()两段(如下图),其中是和的比例中项,那么称这种分割为黄金分割,点称为线段的黄金分割点.其中,,称为黄金分割数,简称黄金数.
【例20】在比例尺为的地图上,量得与两地的距离是厘米,则与两地
的实际距离是.
【难度】★
【答案】.
【解析】实际距离=图上距离÷比例尺,可知两地实际距离为
,注意单位的转化.
【总结】考查应用比例尺的定义,比例尺=图上距离÷实际距离,公式转化.
【例21】东海大桥全长千米,如果东海大桥在某张地图上的长为厘米,则这张地图
的比例尺是()
(A)(B)(C)(D)
【难度】★
【答案】B
【解析】比例尺=图上距离÷实际距离,比例尺=.
【总结】考查比例尺的定义,注意单位的换算.
【例22】
(1)若,,则;
(2)若,,则;
(3)若,,则.
【难度】★
【答案】
(1)2:
15;
(2)4:
1;(3).
【解析】
(1);
(2);(3).
【总结】考查比例的化简计算,注意比例中的项带有单位时,注意单位的统一.
【例23】小智发现自己的数学辅导书的宽与长之比为黄金比,已知这本书的长为厘米,
则它的宽约为.(精确到百分位)
【难度】★
【答案】.
【解析】这本书的宽约为.
【总结】考查黄金比的定义及其相关比值.
【例24】如图,已知在四边形中,点、分别在、上,.
求证:
(1);
(2).
【难度】★
【答案】略.
【解析】证明:
(1),
.
根据比例的合比性质,,.
根据比例的合比性质,,即.
根据比例的合比性质,.
【总结】考查比例的合比性质的应用.
【例25】如果和面积相等,且,那么边与边上的
高的比为()
(A)(B)(C)(D)
【难度】★
【答案】B
【解析】面积相等的条件下,高与底边成反比,可知高之比为.
【总结】考查成反比的相关计算.
【例26】已知有三条线段的长分别为,,的线段,请再添一条线段,使这四
条线段成比例,求所添线段的长度.
【难度】★★
【答案】或或.
【解析】设添加的线段长度为,将当作一个比例外项,根据比例的基本性质有:
(1)对应的外项是时,;
(2)对应的外项是时,;
(3)对应的外项是时,
【总结】考查比例的计算,在顺序不确定的情况下,必须进行分类讨论.
【例27】在中,点、分别在边、上,且,
则,若的周长为厘米,则的周长为厘米.
【难度】★★
【答案】
(1)3;
(2)120.
【解析】
(1)由,可得,即,
故,;
(2)根据比例的等比性,,
即,
代入求得.
【总结】考查比例的合比性和等比性的综合应用.
【例28】如图,在梯形中,//,对角线、相交于点.
(1)图中有哪几对三角形的面积相等?
为什么?
(2)求证:
.
【难度】★★
【答案】
(1),,
,同底等高,减去公共部分面积相等;
(2)略.
【解析】
(1),,同底等高,故,
即;
(2)证明:
和同高,.
同理,又,.
【总结】考查梯形中的面积相等,基本图形面积的计算,等高条件下面积之比等于其高之比.
【例29】如图,在中,,垂足为,是边上的一点,,
垂足为,,求的值.
【难度】★★
【答案】.
【解析】,.
又,,//.
,.
即,
.
,即.
【总结】考查等高或同高三角形面积之比等于其底边之比.
【例30】已知线段的长度为,点P在线段上,,求线段的长.
【难度】★★
【答案】.
【解析】根据题意,即有,解得,点是黄金分割点.
【总结】考查黄金分割点的定义.
【例31】
(1)点是线段的黄金分割点,,厘米,求的长;
(2)已知点是线段的黄金分割点,,求的值.
【难度】★★
【答案】
(1);
(2)或.
【解析】
(1)根据黄金分割点定义,且,可知,此时
;
(2)线段的黄金分割点有两个,与原线段比例分别为和,
故或.
【总结】注意黄金分割点和黄金分割的区别,一条线段的黄金分割点有两个,满足黄金分割黄金比的只有一个.
【例32】如图,乐器上的一根弦厘米,两个端点、固定在乐器面板上,支撑点
是靠近点的黄金分割点,支撑点是靠近点的黄金分割点,求的长.
【难度】★★
【答案】.
【解析】根据黄金分割点定义,知,故,
,得.
【总结】考查线段的黄金分割点有两个.
【例33】如图,在矩形中截取正方形,已知是和的比例中项,
,求的长.
【难度】★★
【答案】2.
【解析】由,
即,
可得,代入即得.
【总结】考查黄金比的综合应用.
【例34】如图,以长为的线段为边作正方形,取的中点,连接.
在的延长线上取点,使.以为边作正方形,点在上.
(1)求线段、的长;
(2)求证:
;
(3)请指出图中的黄金分割点.
【难度】★★★
【答案】
(1),;
(2)略;
(3)是线段的黄金分割点,是线段的黄金分割点
【解析】
(1)是的中点,,可知,根据勾股定理得:
,则,,;
(2)证明:
,即证;
(3)根据定义可知是线段的黄金分割点,类似的,我们可以得到,
可知是线段的黄金分割点.
【总结】考查黄金比的综合应用,黄金分割题目中容易出现别的黄金分割.
【习题1】对一个图形进行放缩时,下列说法中正确的是()
(A)图形中线段的长度与角的大小都保持不变
(B)图形中线段的长度与角的大小都会改变
(C)图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变
(D)图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变
【难度】★
【答案】D
【解析】根据相似形的定义,在缩放的过程中,图形始终保持与原图形相似,可知其线段长
度可以改变,角度保持不变.
【总结】考查相似的定义.
【习题2】在下图中,画出四边形的相似四边形,使.
【难度】★
【答案】略
【解析】如图即为所示.
【总结】注意把握好相似图形的定义,形状完全相同,各对应边比例相等,在不能计算的情况下将图形分别在横向和纵向进行分解即可.
【习题3】已知:
、、、是四条线段,它们的长度分别是,,,
,它们是不是成比例线段?
【难度】★
【答案】是
【解析】将线段长度单位都转化为,,
由,可知线段、、、是成比例线段.
【总结】讨论成比例线段时要注意单位的统一性.
【习题4】已知甲、乙两地之间的距离为千米,画在一张地图上的距离为厘米,那么在
这张地图上量得的距离为厘米的、两地的实际距离为千米.
【难度】★
【答案】4.
【解析】同一张地图上比例尺相等,则有,可得.
【总结】考查应用比例尺的定义,比例尺=图上距离÷实际距离,公式转化应用.
【习题5】已知点是边上一点,且与是相似形,点、、分别与点
、、对应,,求的值.
【难度】★★
【答案】.
【解析】依题意可得,则,,,
故.
【总结】考查相似形的对应关系.
【习题6】若,则.
【难度】★★
【答案】.
【解析】根据比例的基本性质,,去括号得,移项,
得,故.
【总结】考查比例的基本性质.
【习题7】直线上顺次有四点、、、,且,则;.
【难度】★★
【答案】,.
【解析】,得,,得,
即得,故,则,.
【总结】学会根据比例关系进行线段比例的转化.
【习题8】点是线段的黄金分割点,求的值.
【难度】★★★
【答案】或.
【解析】根据黄金分割点的定义,,即,两边同时除以
,可解得=;或,类似的可得=.
【总结】注意线段的黄金分割点有两个.
【作业1】举出日常生活中相似的图形的实例.
【难度】★
【答案】答案不唯一.例:
镜子中的虚像和人体的实像.
【解析】考查相似图形的特征是形状完全相同的图形.
【总结】考查相似图形的特征,注意多观察.
【作业2】若,则.
【难度】★
【答案】2.
【解析】根据,由比例的基本性质,则有,整理
得:
,故.
【总结】考查比例的基本性质.
【作业3】下列各组四边形中是相似多边形的是()
(A)一组邻边为厘米和厘米与一组邻边为厘米和厘米的矩形
(B)有一个内角为的两个菱形
(C)边长分别为厘米和厘米的两个菱形
(D)两个高相等的等腰梯形
【难度】★★
【答案】B
【解析】菱形一个内角确定,则每个内角都可以确定下来,同时,菱形四边相等,对应成比
例,可知B选项正确;A选项边不对应成比例,C选项菱形有不稳定性,形状不固定,D选项等腰梯形形状不固定.
【总结】考查相似图形的特征.
【作业4】已知的三边长分别是、、,与其相似的的最小边长是,
求的周长.
【难度】★★
【答案】45.
【解析】两三角形对应相似,则必有最短边对应最短边,最长边对应最长边,即中边
长为4的边对应中边长为12的边,根据比例的等比性,可以得到
,由,可得.
【总结】实际上,根据比例的等比性可知相似三角形周长比等于对应边之比.
【作业5】,,,求线段、、的第四比例项.
【难度】★★
【答案】.
【解析】将单位都转化为,则,根据比例的基本性质,,
可知线段、、的第四比例项.
【总结】成比例线段问题中注意单位的统一.
【作业6】舞台的形状是一个矩形,宽为米,如果主持人站立的位置是宽的黄金
分割点,那么主持人从台侧点沿走到主持的位置至少需走米.
【难度】★★
【答案】或.
【解析】注意线段的黄金分割点有两个,黄金比为,主持人需走的路程为
;另一个比例则为,主持人需走的路程为.
【总结】注意线段的黄金分割点有两个,与黄金比是不同的含义.
【作业7】若,求直线经过的象限.
【难度】★★★
【答案】一、二、三或二、三、四.
【解析】
(1)时,根据比例的等比性,此时一次函数经过一、二、三象限;
(2)时,可得,则,此时一次函数经过二、三、四象限.
【总结】考查比例的等比性,注意根据分母是否为0分类讨论,同时考查一次函数所在象限与系数的关联.
【作业8】已知、、是非零实数,且满足,
求的值.
【难度】★★★
【答案】8或.
【解析】设.
(1)当时,根据比例的等比性,
此时有,
可得,
代入所求代数式,可得:
;
(2)当时,可得,,,
代入所求代数式,可得:
.
【总结】考查比例的等比性,注意根据分母是否为0分类讨论.
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