小升初数学讲义行程问题.docx
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小升初数学讲义行程问题.docx
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小升初数学讲义行程问题
小学数学中的行程问题
【基本公式】
基本概念:
行程问题是研究物体运动的,它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。
基本公式:
路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间
关键问题:
确定行程过程中的位置
相遇问题:
速度和×相遇时间=相遇路程(请写出其他公式)
追击问题:
追击时间=路程差÷速度差(写出其他公式)
流水问题:
顺水行程=(船速+水速)×顺水时间逆水行程=(船速-水速)×逆水时间
顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速
静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2水速=(顺水速度-逆水速度)÷2
流水问题:
关键是确定物体所运动的速度,参照以上公式。
过桥问题:
关键是确定物体所运动的路程,参照以上公式。
【一般行程问题公式】
平均速度×时间=路程;
路程÷时间=平均速度;
路程÷平均速度=时间。
【反向行程问题公式】
反向行程问题可以分为“相遇问题”(二人从两地出发,相向而行)和“相离问题”(两人背向而行)两种。
这两种题,都可用下面的公式解答:
(速度和)×相遇(离)时间=相遇(离)路程;
相遇(离)路程÷(速度和)=相遇(离)时间;
相遇(离)路程÷相遇(离)时间=速度和。
【同向行程问题公式】
追及(拉开)路程÷(速度差)=追及(拉开)时间;
追及(拉开)路程÷追及(拉开)时间=速度差;
(速度差)×追及(拉开)时间=追及(拉开)路程。
【列车过桥问题公式】
(桥长+列车长)÷速度=过桥时间;
(桥长+列车长)÷过桥时间=速度;
速度×过桥时间=桥、车长度之和。
【行船问题公式】
(1)一般公式:
静水速度(船速)+水流速度(水速)=顺水速度;
船速-水速=逆水速度;
(顺水速度+逆水速度)÷2=船速;
(顺水速度-逆水速度)÷2=水速。
(2)两船相向航行的公式:
甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度
(3)两船同向航行的公式:
后(前)船静水速度-前(后)船静水速度=两船距离缩小(拉大)速度。
(求出两船距离缩小或拉大速度后,再按上面有关的公式去解答题目)。
1.一般行程问题
例1、小王骑车到城里开会,以每小时12千米的速度行驶,2小时可以到达。
车行了15分钟后,发现忘记带文件,以原速返回原地,这时他每小时行多少千米才能按时到达?
解答:
要求小王返回原地后到城里的速度,就必须知道从家到城里的路程和剩下的时间。
根据题意,这两个条件都可以求出。
15分钟=小时
从家到城里的路程:
12×2=24(千米)
返回后还剩的时间:
2-×2=1(小时)
返回后去城里的速度:
24÷1=16(千米/时)
答:
他每小时行16千米才能按时到达。
2.相遇问题
距离=速度和×相遇时间;
相遇时间=距离÷速度和;
速度和=距离÷相遇时间。
例1、甲、乙两辆汽车从相距324千米的两地同时相对开出,经6小时后在途中相遇,甲车的速度是乙车的0.8倍。
甲车每小时行多少千米?
解答:
甲、乙两辆汽车的速度和是324÷6=54(千米/小时)
乙车的速度为54÷(1+0.8)=30(千米/小时)
甲车的速度是30×0.8=24(千米/小时)
答:
甲车每小时行24千米。
例2、如图,从A到B是1千米下坡路,从B到C是3千米平路,从C到D是2.5千米上坡路.小张和小王步行,下坡的速度都是6千米/小时,平路速度都是4千米/小时,上坡速度都是2千米/小时。
问:
(1)小张和小王分别从A,D同时出发,相向而行,问多少时间后他们相遇?
(2)相遇后,两人继续向前走,当某一个人达到终点时,另一人离终点还有多少千米?
解答:
(1)小张从A到B需要1÷6×60=10(分钟);
小王从D到C也是下坡,需要2.5÷6×60=25(分钟);
当小王到达C点时,小张已在平路上走了25-10=15(分钟),走了4×=1(千米)。
因此在B与C之间平路上留下3-1=2(千米)
由小张和小王共同相向而行,直到相遇,所需时间是:
2÷(4+4)×60=15(分钟)。
从出发到相遇的时间是25+15=40(分钟)。
(2)相遇后,小王再走30分钟平路,到达B点,从B点到A点需要走1÷2×60=30分钟,即他再走60分钟到达终点。
小张走15分钟平路到达D点,45分钟可走:
2×=1.5(千米)
小张离终点还有2.5-1.5=1(千米)
答:
40分钟后小张和小王相遇。
小王到达终点时,小张离终点还有1千米。
3.追及问题
追及距离=速度差×追及时间;
追及时间=追及距离÷速度差;
速度差=追及距离÷追及时间。
例1、晚饭后,小明和爸爸沿同一条公路去散步,小明走的慢,每分钟走60米,所以他先从家出发,5分钟后,爸爸以每分钟80米的速度去追小明。
经过多少分钟可以追上小明?
解答:
5分钟后,小明走的路程(即追及路程)60×5=300(米)
爸爸每分钟比小明多走的路程(即速度差)80-60=20(米)
根据追及时间=追及距离÷速度差
爸爸追小明的时间为300÷20=15(分钟)
答:
爸爸经过15分钟可以追上小明。
例2、小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米,小轿车和面包车同时从学校开出,沿着同一路线行驶,小轿车比面包车早10分钟到达城门,当面包车到达城门时,小轿车已离城门9千米,问学校到城门的距离是多少千米?
解答:
先计算,从学校开出,到面包车到达城门用了多少时间。
此时,小轿车比面包车多走了9千米,而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时,
因此所用时间=9÷6=1.5(小时)
小轿车比面包车早10分钟到达城门,面包车到达时,小轿车离城门9千米,
说明小轿车的速度是9÷=54(千米/小时)
面包车速度是54-6=48(千米/小时)。
城门离学校的距离是48×1.5=72(千米)。
答:
学校到城门的距离是72千米。
4.火车过桥问题
我们在研究一般的行程问题时,是不考虑汽车等物体的本身长度的,因为这类物体的长度很小,可以忽略不计。
可是如果研究火车行程问题,因为车身有一定的长度,一般一百多米,就不能忽略不计了。
火车行程问题中的距离,一般是要考虑火车长度的。
火车通过一个固定的点所用的时间就是火车行驶车身长度所需要的时间。
(火车长度+桥的长度)÷通过时间=火车速度
例1、一座大桥长3400米,一列火车通过大桥时每分钟行800米,从车头上桥到车尾离开共需4.5分钟。
则这列火车长多少米?
解答:
桥的长度和火车的长度和为800×4.5=3600(米)
火车长3600-3400=200(米)
答:
这列火车长200米。
例2、一条隧道长360米,某列火车从车头入洞到全车进洞用了8秒钟,从车头入洞到全车出洞共用了20秒钟。
这列火车长多少米?
【分析】火车8秒钟行的路程是火车的全长,20秒钟行的路程是隧道长加火车长。
因此,火车行隧道长360米,所用的时间是20-8=12秒钟,即可求出火车的速度。
解答:
火车的速度是360÷(20-8)=30(米/秒)。
火车长30×8=240(米)。
答:
这列火车长240米。
5.流水行船问题
流水行船问题比一般的行程问题多了一个水流的影响,因此它有一些特殊的数量关系:
顺水速度=船速+水速,逆水速度=船速-水速;
水速=顺水速度-船速,船速=顺水速度-水速;
水速=船速-逆水速度,船速=逆水速度+水速;
船速=(顺水速度+逆水速度)÷2,水速=(顺水速度-逆水速度)÷2。
例1、甲、乙两港间的水路长208千米,一只船从甲港开往乙港,顺水8小时到达,从乙港返回甲港,逆水13小时到达,求船在静水中的速度和水流速度。
解答:
顺水速度:
208÷8=26(千米/小时)
逆水速度:
208÷13=16(千米/小时)
船速:
(26+16)÷2=21(千米/小时)
水速:
(26—16)÷2=5(千米/小时)
答:
船在静水中的速度为每小时21千米,水流速度每小时5千米。
例2、某船在静水中的速度是每小时15千米,它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时,水速每小时3千米,问从乙地返回甲地需要多少时间?
解答:
要想求从乙地返回甲地需要多少时间,只要分别求出甲、乙两地之间的路程和逆水速度。
从甲地到乙地,顺水速度:
15+3=18(千米/小时),
甲乙两地路程:
18×8=144(千米),
从乙地到甲地的逆水速度:
15—3=12(千米/小时),
返回时逆行用的时间:
144÷12=12(小时)。
答:
从乙地返回甲地需要12小时。
例3、甲、乙两港相距360千米,一轮船往返两港需35小时,逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船,静水中速度是每小时12千米,这机帆船往返两港要多少小时?
解答:
要求帆船往返两港的时间,就要先求出水速。
由题意可以知道,轮船逆流航行与顺流航行的时间和与时间差分别是35小时与5小时,用和差问题解法可以求出逆流航行和顺流航行的时间。
并能进一步求出轮船的逆流速度和顺流速度。
在此基础上再用和差问题解法求出水速。
轮船逆流航行的时间:
(35+5)÷2=20(小时),
顺流航行的时间:
(35—5)÷2=15(小时),
轮船逆流速度:
360÷20=18(千米/小时),
顺流速度:
360÷15=24(千米/小时),
水速:
(24—18)÷2=3(千米/小时),
机帆船的顺流速度:
12+3=15(千米/小时),
机帆船的逆水速度:
12—3=9(千米/小时),
机帆船往返两港所用时间:
360÷15+360÷9=24+40=64(小时)。
答:
机帆船往返两港要64小时。
例4、小刚和小强租一条小船,向上游划去,不慎把水壶掉进江中,当他们发现并调过船头时,水壶与船已经相距2千米,假定小船的速度是每小时4千米,水流速度是每小时2千米,那么他们追上水壶需要多少时间?
解答:
此题是水中追及问题,已知路程差是2千米,船在顺水中的速度是船速+水速。
水壶飘流的速度只等于水速,所以速度差=船顺水速度-水壶飘流的速度=(船速+水速)-水速=船速。
路程差÷船速=追及时间
2÷4=0.5(小时)。
答:
他们二人追回水壶需用0.5小时。
例5、甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米,两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行,几小时相遇?
如果同向而行,甲船在前,乙船在后,几小时后乙船追上甲船?
解答:
①相遇时用的时间:
336÷(24+32)=336÷56=6(小时)。
②追及用的时间(不论两船同向逆流而上还是顺流而下):
336÷(32—24)=42(小时)。
答:
两船6小时相遇;乙船追上甲船需要42小时。
练习:
1.一列客车和一列货车同时从两个车站相对开出,货车每小时行35千米,客车每小时行45千米,2.5小时相遇,两车站相距多少千米?
2.两个县城相距52.5千米,甲、乙二人分别从两城同时相对而行,甲每小时行5千米,乙每小时比甲快0.5千米,几小时后相遇?
3.甲、乙二人分别从相距110千米的两地相对而行。
5小时后相遇,甲每小时行12千米,问乙每小时行多少千米?
4.甲、乙两站相距486千米,两列火车同时从两站相对开出,5小时相遇。
第一列火车比第二列火车每小时快1.7千米,两列火车每小时的速度各是多少?
5.两列火车同时从相距650千米的两地相向而行,甲列火车每小时行50千米,乙列火车每小时行52千米,4小时后还差多少千米才能相遇?
6.大陈庄和小王庄相距90千米。
小刚和小牛分别由两庄同时反向出发。
2小时24分后两人相距46.6千米,如果小刚每小时行9.9千米,小牛每小时行多少千米?
7.学校距活动站670米,小明从学校前往活动站每分钟行80米,2分钟后,小丽从活动站往学校走,每分钟行90米,小明出发多少分钟后和小丽相遇?
相遇时二人各行了多少米?
8.甲、乙两队合挖一条水渠,甲队从东往西挖,每天挖65米,乙队从西往东挖,每天比甲多挖2.5米。
两队合挖8天后还差52米,这条水渠全长多少米?
9.张、李两位叔叔计划共同生产一种零件300个,二人一起生产了5小时后还差40个没完成。
已知张叔叔每小时生产24个,李叔叔每小时生产多少个?
10.甲、乙两队合修一条长2400米的路,甲队每小时修126米,乙队每小时比甲队多修48米,求完工时两队各修路多少米?
11.东西两村相距64千米。
甲、乙二人同时骑车从东西两地相对出发,2.5小时相遇。
甲每小时行12.5千米,乙每小时比甲快多少千米?
12.一列客车和一列货车分别从甲、乙两地相向而行。
客车每小时行50千米,货车每小时比客车慢8千米,客车先行1小时后,货车从乙地出发,经过3小时后两车相遇。
甲、乙两地相距多少千米?
13.东西两城相距254千米,甲、乙两辆汽车相对开出,甲车每小时行27千米,先行2小时后,乙车开始出发,速度为每小时23千米。
乙车出发几小时后两车相遇?
14.甲、乙两个工程队开凿一条隧道。
甲队每天开凿1.5千米,乙队比甲队的2倍少0.5千米.半个月完成了任务,这条隧道有多长?
15.两个车站相距360千米,两列火车相对行驶,第一列火车每小
16.两艘客轮同时从两港相对行驶,甲轮每小时行40千米,乙轮每小时行36千米,早上8时开出,晚上11时相遇,两港口相距几千米?
17.甲、乙两个工程队同时从公路的一点向两头铺沥青,甲队每天比乙队多铺20米。
已知4天后两队相距880米,两队每天各铺多少米?
18.小明和小华相距50步远,同时反向出发,小明每分钟走80步,小华每分钟走85步。
当两人相距1700步时,出发了多少分钟?
19.两辆摩托车分别从相距440千米的两地同时相向而行,因雪后路滑,5小时后才相遇。
甲车比原计划每小时少行15千米,乙车比原计划每小时少行7千米。
已知原计划甲车每小时的速度是乙车的1.2倍,求两车原计划每小时各行多少千米?
20:
一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距299千米的两地相向而行,公共汽车每小时行40千米,小轿车每小时行52千米,问:
几小时后两车第一次相距69千米?
再过多少时间两车再次相距69千米?
21:
甲、乙两匹马在相距50米的地方同时同向出发,出发时甲马在前,乙马在后,如果甲马每秒跑10米,乙马每秒跑12米,问:
何时两地相距70米?
22:
两辆拖拉机为农场送化肥,第一辆以每小时9千米的速度由仓库开往农场,30分钟后,第二辆以每小时12千米的速度由仓库开往农场,问:
1)第二辆追上第一辆的地点距仓库多远?
2)如果第二辆比第一辆早到农场20分钟,仓库到农场的路程有多远?
23:
甲、乙两匹马在相距50米的地方同时同向出发,出发时甲马在前,乙马在后,如果甲马每秒跑10米,乙马每秒跑12米,问:
何时两地相距70米?
24:
甲、乙二人在操场的400米跑道上练习竞走,两人同时出发,出发时甲在乙的后面,出发后6分钟甲第一次追上乙,22分钟时甲第二次追上乙,假设两人速度都保持不变,问:
出发时甲在乙身后多少米?
25.某船往返于相距180千米的两港之间,顺水而下需用10小时,逆水而上需用15小时。
由于暴雨后水速增加,该船顺水而行只需9小时,那么逆水而行需要几小时?
答案仅供参考:
1.(35+45)×2.5=200(千米)
2.52.5÷(5+5+0.5)=5(小时)
3.(110-12×5)÷5=10(千米)
4.(486-1.7×5)÷5÷2=47.75(千米)47.75+1.7=49.45(千米)
5.650-(50+52)×4=242(千米)
6.(90-46.6)÷2.4-9.9≈8.18(千米)
7.(670-80×2)÷(80+90)+2=5(分钟)80×5=400(米)90×(5-2)=270(米)
8.(65+65+2.5)×8+52=1112(米)
9.(300-40)÷5-24=28(个)
10.2400÷(126+126+48)=8(小时)126×8=1008(米)(126+48)×8=1392(米)
11.64÷2.5-12.5-12.5=0.6(千米)
12.(50+50-8)×3+50=326(千米)
13.(254-27×2)÷(27+23)=4(小时)
14.(1.5+1.5×2-0.5)×15=60(千) 50×4=200(千米)
16.(40+36)×(12-8+11)=1140(千米)
17.(880÷4+20)÷2=120(米)120-20=100(米)
18.(1700-50)÷(80+85)=10(分钟)
19.(440÷5+15+7)÷(1.2+1)=50(千米)
50×1.2=60(千米)
20.第一次相距69千米时,两车共行驶了:
299-69=230(千米),
所用时间为230÷(40+52)=2.5(小时)
两车从第一次相距69千米起又行驶了:
69×2=138(千米),
所用时间为:
138÷(40+52)=1.5(小时)
21.(50+70)÷(12-10)=60(秒)
22.第二辆拖拉机出发时第一辆相差:
9×0.5=4.5(千米),
第二辆追上第一辆需要时间为:
4.5÷(12-9)=1.5(小时)
此时第二辆行程为:
12×1.5=18(千米),
即追上第一辆地点距仓库18千米;
第二辆到达农场时,与第一辆相距:
9×1/3=3(千米)
第二辆从追上第一辆到达农场用时:
3÷(12-9)=1(小时)
农场与仓库距离为:
18÷12×1=30(千米)
23.(50+70)÷(12-10)=60(秒)
24.440÷(22-6)=25(米/分钟)25×6=150(米)
25解船在静水中的速度是:
(18÷10+180÷15)÷2=15(千米/小时)。
暴雨前水流的速度是:
(180÷10-180÷15)÷2=3(千米/小时)。
暴雨后水流的速度是:
180÷9-15=5(千米/小时)。
暴雨后船逆水而上需用的时间为:
180÷(15-5)=18(小时)。
答:
逆水而上需要18小时。
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