全等三角形复习讲义 无答案.docx
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全等三角形复习讲义无答案
全等三角形
1.判定和性质
一般三角形
直角三角形
判定
边角边(SAS)、角边角(ASA)
角角边(AAS)、边边边(SSS)
具备一般三角形的判定方法
斜边和一条直角边对应相等(HL)
性质
对应边相等,对应角相等
对应中线相等,对应高相等,对应角平分线相等
注:
①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等;
②全等三角形面积相等.
2.证题的思路:
性质
1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。
2、全等三角形的对应边上的高对应相等。
3、全等三角形的对应角平分线相等。
4、全等三角形的对应中线相等。
5、全等三角形面积相等。
6、全等三角形周长相等。
(以上可以简称:
全等三角形的对应元素相等)
7、三边对应相等的两个三角形全等。
(SSS)
8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS)
9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA)
10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)
11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)
运用
1、性质中三角形全等是条件,结论是对应角、对应边相等。
而全等的判定却刚好相反。
2、利用性质和判定,学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。
在写两个三角形全等时,一定把对应的顶点,角、边的顺序写一致,为找对应边,角提供方便。
3,当图中出现两个以上等边三角形时,应首先考虑用SAS找全等三角形。
4、用在实际中,一般我们用全等三角形测等距离。
以及等角,用于工业和军事。
有一定帮助。
5、角平分线的性质及判定
性质:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定:
到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
做题技巧
一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
因此我们可以来采取逆思维的方式。
来想要证全等,则需要什么条件
另一种则要根据题目中给出的已知条件,求出有关信息。
然后把所得的等式运用(AAS/ASA/SAS/SSS/HL)证明三角形全等。
【知识梳理1】用SAS证明三角形全等
边角边定理:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS)
【例题精讲】
例1:
已知:
如图,点C是线段AB的中点,CE=CD,∠ACD=∠BCE。
求证:
AE=BD。
例2:
已知:
BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:
∠1=∠2
【知识梳理2】用AASASA证明三角形全等
角边角定理:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA)
角角边定理:
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)
【例题精讲】
例1:
如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是BC延长线上一点,连结AG,点E、F分别在AG上,连接BE、DF,∠1=∠2,∠3=∠4.
(1)证明:
△ABE≌△DAF;
(2)若∠AGB=30°,求EF的长.
【知识梳理3】用SSS证明三角形全等
边边边定理:
有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)
【例题精讲】
例1:
已知:
如图,点B、E、C、F在同一直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
求证:
∠ABC=∠DEF
例2:
已知:
AB=AC,EB=EC,AE的延长线交BC于D,试证明:
BD=CD
例3:
已知,如图,延长△ABC的各边,使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D,E,F,得到△DEF为等边三角形.求证:
(1)△AEF≌△CDE;
(2)△ABC为等边三角形.
课堂练习
1.如图,下面图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的6乘以6的方格网络,△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上,像△ABC这样的三角形叫格点三角形,试在方格纸上按下列要求画格点三角形:
(1)在图1中画两个格长三角形与△ABC全等且有1个公共点;
(2)在图2中画两个格长三角形与△ABC全等且有1条公共边;
【知识梳理4】用HL证明三角形全等
对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL
【例题精讲】
例1:
如图,有一直角三角形ABC,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动,问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等.
例2:
如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于D,CE⊥DE于点E;
(1)若B、C在DE的同侧(如图所示)且AD=CE.求证:
AB⊥AC;
(2)若B、C在DE的两侧(如图所示),其他条件不变,AB与AC仍垂直吗?
若是请给出证明;若不是,请说明理由.
专题一:
全等三角形的性质
专题概述:
全等三角形的对应边相等,对应角相等,这为证相等关系提供了依据,但要注意,在应用其性质时,要找准全等三角形中的对应元素.
例1:
如图,△ACF≌△DBE,若AD=11,BC=7,求线段AB的长.
变式:
如图,将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度,得到△ADE,若∠CAE=65°,∠E=70°,且AD⊥BC,则∠BAC的度数为().
A.60°B.75°C.85°D.90°
专题二:
全等三角形的判定
专题概述:
判定两个三角形全等的方法主要有:
边边边(SSS)、边角边(SAS)、角边角(ASA)、角角边(AAS)四种方法,以上四种方法对于任意三角形均适用.对于直角三角形,除了上述四种方法外,还有斜边、直角边公理(HL).
例1:
如图,已知点A、F、E、C在同一直线上,AB//CD,∠ABE=∠CDF,AF=CE.
(1)从图中任找两组全等三角形;
(2)从
(1)中任选一组进行证明.
专题三:
利用三角形全等解决实际问题
专题概述:
解决此类问题建立数学模型是关键.将实际问题转化为数学问题,正确作出几何示意图,运用数学知识来分析和解决.
例2:
某校八(4)班学生到野外活动,为测量一池塘两端A、B之间的距离,设计了如下方案:
①如图
(1),先在平地上取一点C,连接AC,BC,并延长AC到D,延长BC到E,使DC=AC,EC=BC,最后测出DE的长即为A,B之间的距离.
②如图
(2),先过B点作AB的垂线BF,再在射线BF上取C,D两点,使BC=CD,接着过点D作BD的垂线DE,交AC的延长线于点E,测出DE的长即为A,B之间的距离.
阅读后回答下列问题:
(1)方案①是否可行?
理由是什么?
(2)方案②是否可行?
理由是什么?
(3)方案②中作BF⊥AB,ED⊥BF的目的是什么?
专题四:
尺规作图与证明
例3:
如图,在△ABC中,AB=AC,D是BA延长线上的一点,点E是AC的中点.
(1)实践与操作:
利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法).
①作∠DAC的平分线AM;
②连接BE并延长交AM于点F;
(2)猜想与证明:
试猜想AF与BC有怎样的关系,并说明理由.
专题五:
利用全等证平行、相等、垂直关系
例4:
如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,∠EAF=45°,△ECF的周长为4,则正方形ABCD的边长为.
例5:
如图,BE、CF是△ABC的高且相交于点P,AQ∥BC交CF延长线于点Q,若有BP=AC,CQ=AB,线段AP与AQ的关系如何?
说明理由.
例6:
如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.求证:
AB//CD.
例7:
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB.
(1)求∠CAD的度数;
(2)延长AC至E点,使CE=AC.求证:
DA=DE.
例8:
在平面内正方形ABD与正方形CEFH如图放置,连接DE、BH,两线交于M点.
求证:
(1)BH=DE;
(2)BH⊥DE.
【课堂练习】
1.如图,已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=CD.
(1)求证:
△BCE≌△DCF;
(2)若AB=17,AD=9,求AE的长.
2、已知:
∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:
EF=AC
3、如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。
求证:
BC=AB+DC。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.能使两个直角三角形全等的条件是()
A.两直角边对应相等B.一锐角对应相等
C.两锐角对应相等D.斜边相等
2.如图1,P是∠BAC的平分线AD上一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,下列结论中不正确的是( )
A.
B.
C.△APE≌△APF D.
3.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是( )
A.形状相同 B.周长相等 C.面积相等 D.全等
4.如图3,
,
,下列结论错误的是( )
A.△ABE≌△ACD B.△ABD≌△ACE C.∠DAE=40° D.∠C=30°
5.已知:
如图4,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则图中共有全等三角形( )
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
6.将一张长方形纸片按如图5所示的方式折叠,
为折痕,则
的度数为( )
A.60° B.75° C.90° D.95°
7.根据下列已知条件,能惟一画出△ABC的是( )
A.AB=3,BC=4,CA=8 B.AB=4,BC=3,∠A=30°
C.∠A=60°,∠B=45°,AB=4 D.∠C=90°,AB=6
8.如图,
四点共线,
,
,
,
。
求证:
。
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