六年级奥数知识点大汇总.docx
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六年级奥数知识点大汇总
六年级奥数知识点大汇总
1、六年级奥数知识点讲解:
不定方程
2、六年级奥数知识点:
约数与倍数
3、六年级奥数知识点:
数的整除
4、六年级奥数知识点:
余数及其应用
5、六年级奥数知识点:
余数问题
6、六年级奥数知识点:
分数与百分数的应用
7、六年奥级数知识点:
分数大小的比较
8、六年级奥数知识点:
完全平方数
9、六年级奥数知识点讲解:
称球问题
10、六年级奥数知识点讲解:
质数与合数
11、六年级奥数知识点讲解:
二进制及其应用
12、六年级奥数知识点讲解:
定义新运算
13、六年级奥数知识点讲解:
周期循环数
14、六年级奥数知识点讲解:
牛吃草问题
15、六年级奥数知识点讲解:
鸡兔同笼问题
16、六年级奥数知识点讲解:
归一问题
17、六年级奥数知识点讲解:
逻辑推理问题
18、六年级奥数知识点讲解:
几何面积
19、六年级奥数知识点讲解:
时钟问题
20、六年级奥数知识点讲解:
浓度与配比
21、六年级奥数知识点讲解:
经济问题
22、六年级奥数知识点讲解:
简单方程
23、六年级奥数知识点讲解:
循环小数
24、六年级奥数知识点:
综合行程问题
25、六年级奥数知识点讲解:
工程问题
26、六年级奥数知识点讲解:
比和比例
27、六年级奥数知识点讲解:
加法原理
28、六年级奥数知识讲解:
数列求和
29、六年级奥数知识讲解:
抽屉原理
30、六年级奥数知识点讲解:
平均数问题
31、六年级奥数知识点讲解:
盈亏问题
32、六年级奥数知识点讲解:
植树问题
33、六年级奥数知识点讲解:
年龄问题的三大特征
34、小学奥数知识点总结之:
和差倍问题
35、小学奥数知识点总结之:
分数拆分
1、六年级奥数知识点讲解:
不定方程
不定方程
一次不定方程:
含有两个未知数的一个方程,叫做二元一次方程,由于它的解不唯一,所以也叫做二元一次不定方程;
常规方法:
观察法、试验法、枚举法;
多元不定方程:
含有三个未知数的方程叫三元一次方程,它的解也不唯一;
多元不定方程解法:
根据已知条件确定一个未知数的值,或者消去一个未知数,这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程,按照二元一次不定方程解即可;
涉及知识点:
列方程、数的整除、大小比较;
解不定方程的步骤:
1、列方程;2、消元;3、写出表达式;4、确定范围;5、确定特征;6、确定答案;
技巧总结:
A、写出表达式的技巧:
用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数,同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数;B、消元技巧:
消掉范围大的未知数;
2、六年级奥数知识点:
约数与倍数
约数和倍数:
若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数。
公约数:
几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质:
1、几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
例如:
12的约数有1、2、3、4、6、12;
18的约数有:
1、2、3、6、9、18;
那么12和18的公约数有:
1、2、3、6;
那么12和18最大的公约数是:
6,记作(12,18)=6;
求最大公约数基本方法:
1、分解质因数法:
先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法:
先找公有的约数,然后相乘。
3、辗转相除法:
每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。
公倍数:
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有:
12、24、36、48……;
18的倍数有:
18、36、54、72……;
那么12和18的公倍数有:
36、72、108……;
那么12和18最小的公倍数是36,记作[12,18]=36;
最小公倍数的性质:
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法:
1、短除法求最小公倍数;
2、分解质因数的方法
3、六年级奥数知识点:
数的整除
一、基本概念和符号:
1、整除:
如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。
2、常用符号:
整除符号“|”,不能整除符号“”;因为符号“∵”,所以的符号“∴”;
二、整除判断方法:
1.能被2、5整除:
末位上的数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除:
末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3.能被8、125整除:
末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4.能被3、9整除:
各个数位上数字的和能被3、9整除。
5.能被7整除:
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除:
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7.能被13整除:
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质:
1.如果a、b能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。
2.如果a能被b整除,c是整数,那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
4、六年级奥数知识点:
余数及其应用
基本概念:
对任意自然数a、b、q、r,如果使得a÷b=q……r,且0 余数的性质: ①余数小于除数。 ②若a、b除以c的余数相同,则c|a-b或c|b-a。 ③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。 ④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。 5、六年级奥数知识点: 余数问题 一、同余的定义: ①若两个整数a、b除以m的余数相同,则称a、b对于模m同余。 ②已知三个整数a、b、m,如果m|a-b,就称a、b对于模m同余,记作a≡b(modm),读作a同余于b模m。 二、同余的性质: ①自身性: a≡a(modm); ②对称性: 若a≡b(modm),则b≡a(modm); ③传递性: 若a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(modm); ④和差性: 若a≡b(modm),c≡d(modm),则a+c≡b+d(modm),a-c≡b-d(modm); ⑤相乘性: 若a≡b(modm),c≡d(modm),则a×c≡b×d(modm); ⑥乘方性: 若a≡b(modm),则an≡bn(modm); ⑦同倍性: 若a≡b(modm),整数c,则a×c≡b×c(modm×c); 三、关于乘方的预备知识: ①若A=a×b,则MA=Ma×b=(Ma)b ②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md 四、被3、9、11除后的余数特征: ①一个自然数M,n表示M的各个数位上数字的和,则M≡n(mod9)或(mod3); ②一个自然数M,X表示M的各个奇数位上数字的和,Y表示M的各个偶数数位上数字的和,则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod11); 五、费尔马小定理: 如果p是质数(素数),a是自然数,且a不能被p整除,则ap-1≡1(modp)。 6、六年级奥数知识点: 分数与百分数的应用 基本概念与性质: 分数: 把单位“1”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数。 分数的性质: 分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。 分数单位: 把单位“1”平均分成几份,表示这样一份的数。 百分数: 表示一个数是另一个数百分之几的数。 常用方法: ①逆向思维方法: 从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。 ②对应思维方法: 找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。 ③转化思维方法: 把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。 最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准(在分数中一般指的是一倍量)下的分率转化成同一条件下的分率。 常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。 ④假设思维方法: 为了解题的方便,可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立,计算出相应的结果,然后再进行调整,求出最后结果。 ⑤量不变思维方法: 在变化的各个量当中,总有一个量是不变的,不论其他量如何变化,而这个量是始终固定不变的。 有以下三种情况: A、分量发生变化,总量不变。 B、总量发生变化,但其中有的分量不变。 C、总量和分量都发生变化,但分量之间的差量不变化。 ⑥替换思维方法: 用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。 ⑦同倍率法: 总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。 ⑧浓度配比法: 一般应用于总量和分量都发生变化的状况。 7、六年奥级数知识点: 分数大小的比较 基本方法: ①通分分子法: 使所有分数的分子相同,根据同分子分数大小和分母的关系比较。 ②通分分母法: 使所有分数的分母相同,根据同分母分数大小和分子的关系比较。 ③基准数法: 确定一个标准,使所有的分数都和它进行比较。 ④分子和分母大小比较法: 当分子和分母的差一定时,分子或分母越大的分数值越大。 ⑤倍率比较法: 当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小,除了运用以上方法外,可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。 (具体运用见同倍率变化规律) ⑥转化比较方法: 把所有分数转化成小数(求出分数的值)后进行比较。 ⑦倍数比较法: 用一个数除以另一个数,结果得数和1进行比较。 ⑧大小比较法: 用一个分数减去另一个分数,得出的数和0比较。 ⑨倒数比较法: 利用倒数比较大小,然后确定原数的大小。 ⑩基准数比较法: 确定一个基准数,每一个数与基准数比较。 8、六年级奥数知识点: 完全平方数 完全平方数特征: 1.末位数字只能是: 0、1、4、5、6、9;反之不成立。 2.除以3余0或余1;反之不成立。 3.除以4余0或余1;反之不成立。 4.约数个数为奇数;反之成立。 5.奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。 6.奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。 7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。 平方差公式: X2-Y2=(X-Y)(X+Y) 完全平方和公式: (X+Y)2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式: (X-Y)2=X2-2XY+Y2 9、六年级奥数知识点讲解: 称球问题 称球问题是一类传统的趣味数学问题,它锻炼着一代又一代人的智力,历久不衰。 下面几道称球趣题,请你先仔细考虑一番,然后再阅读解答,想来你一定会有所收获。 [经典例题] 例1有4堆外表上一样的球,每堆4个。 已知其中三堆是正品、一堆是次品,正品球每个重10克,次品球每个重11克,请你用天平只称一次,把是次品的那堆找出来。 解: 依次从第一、二、三、四堆球中,各取1、2、3、4个球,这10个球一起放到天平上去称,总重量比100克多几克,第几堆就是次品球。 例2有27个外表上一样的球,其中只有一个是次品,重量比正品轻,请你用天平只称三次(不用砝码),把次品球找出来。 解: 第一次: 把27个球分为三堆,每堆9个,取其中两堆分别放在天平的两个盘上。 若天平不平衡,可找到较轻的一堆;若天平平衡,则剩下来称的一堆必定较轻,次品必在较轻的一堆中。 第二次: 把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆,每堆3个球,按上法称其中两堆,又可找出次品在其中较轻的那一堆。 第三次: 从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次,若天平不平衡,则较轻的就是次品,若天平平衡,则剩下一个未称的就是次品。 例3把10个外表上一样的球,其中只有一个是次品,请你用天平只称三次,把次品找出来。 解: 把10个球分成3个、3个、3个、1个四组,将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。 把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称,则 (1)若A=B,则A、B中都是正品,再称B、C。 如B=C,显然D中的那个球是次品;如B>C,则次品在C中且次品比正品轻,再在C中取出2个球来称,便可得出结论。 如B<C,仿照B>C的情况也可得出结论。 (2)若A>B,则C、D中都是正品,再称B、C,则有B=C,或B<C(B>C不可能,为什么? )如B=C,则次品在A中且次品比正品重,再在A中取出2个球来称,便可得出结论;如B<C,仿前也可得出结论。 (3)若A<B,类似于A>B的情况,可分析得出结论。 练习 有12个外表上一样的球,其中只有一个是次品,用天平只称三次,你能找出次品吗? 10、六年级奥数知识点讲解: 质数与合数 质数与合数 质数: 一个数除了1和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数。 合数: 一个数除了1和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。 质因数: 如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数。 分解质因数: 把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。 通常用短除法分解质因数。 任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 分解质因数的标准表示形式: N=,其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数,且a1 求约数个数的公式: P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1) 互质数: 如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。 11、六年级奥数知识点讲解: 二进制及其应用 十进制: 用0~9十个数字表示,逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义,十位上的2表示20,百位上的2表示200。 所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。 =An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100 注意: N0=1;N1=N(其中N是任意自然数) 二进制: 用0~1两个数字表示,逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。 (2)=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7 +……+A3×22+A2×21+A1×20 注意: An不是0就是1。 十进制化成二进制: ①根据二进制满2进1的特点,用2连续去除这个数,直到商为0,然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。 ②先找出不大于该数的2的n次方,再求它们的差,再找不大于这个差的2的n次方,依此方法一直找到差为0,按照二进制展开式特点即可写出。 12、六年级奥数知识点讲解: 定义新运算 基本概念: 定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。 基本思路: 严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。 关键问题: 正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项: ①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 13、六年级奥数知识点讲解: 周期循环数 周期现象: 事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。 周期: 我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。 关键问题: 确定循环周期。 闰年: 一年有366天; ①年份能被4整除;②如果年份能被100整除,则年份必须能被400整除; 平年: 一年有365天。 ①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除,但不能被400整除; 14、六年级奥数知识点讲解: 牛吃草问题 基本思路: 假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点: 原草量和新草生长速度是不变的; 关键问题: 确定两个不变的量。 基本公式: 生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间); 总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量; 15、六年级奥数知识点讲解: 鸡兔同笼问题 鸡兔同笼问题 基本概念: 鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来; 基本思路: ①假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样): ②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少; ③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因; ④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。 基本公式: ①把所有鸡假设成兔子: 鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数) ②把所有兔子假设成鸡: 兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数) 关键问题: 找出总量的差与单位量的差。 16、六年级奥数知识点讲解: 归一问题 归一问题的基本特点: 问题中有一个不变的量,一般是那个“单一量”,题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题: 根据题目中的条件确定并求出单一量; 复合应用题中的某些问题,解题时需先根据已知条件,求出一个单位量的数值,如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等,然后,再根据题中的条件和问题求出结果。 这样的应用题就叫做归一问题,这种解题方法叫做“归一法”。 有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答,这种方法叫做倍比法。 由上所述,解答归一问题的关键是求出单位量的数值,再根据题中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义,抓准题中数量的对应关系,列出算式,求得问题的解决。 17、六年级奥数知识点讲解: 逻辑推理问题 逻辑推理 基本方法简介: ①条件分析—假设法: 假设可能情况中的一种成立,然后按照这个假设去判断,如果有与题设条件矛盾的情况,说明该假设情况是不成立的,那么与他的相反情况是成立的。 例如,假设a是偶数成立,在判断过程中出现了矛盾,那么a一定是奇数。 ②条件分析—列表法: 当题设条件比较多,需要多次假设才能完成时,就需要进行列表来辅助分析。 列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中,表格的行、列分别表示不同的对象与情况,观察表格内的题设情况,运用逻辑规律进行判断。 ③条件分析——图表法: 当两个对象之间只有两种关系时,就可用连线表示两个对象之间的关系,有连线则表示“是,有”等肯定的状态,没有连线则表示否定的状态。 例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态,有连线表示认识,没有表示不认识。 ④逻辑计算: 在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外,还要进行相应的计算,根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。 ⑤简单归纳与推理: 根据题目提供的特征和数据,分析其中存在的规律和方法,并从特殊情况推广到一般情况,并递推出相关的关系式,从而得到问题的解决。 18、六年级奥数知识点讲解: 几何面积 几何面积 基本思路: 在一些面积的计算上,不能直接运用公式的情况下,一般需要对图形进行割补,平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等,使不规则的图形变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。 常用方法: 1.连辅助线方法 2.利用等底等高的两个三角形面积相等。 3.大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点,解题时可把任意点设置在特殊位置上)。 4.利用特殊规律 ①等腰直角三角形,已知任意一条边都可求出面积。 (斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积) ②梯形对角线连线后,两腰部分面积相等。 ③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。 19、六年级奥数知识点讲解: 时钟问题 时钟问题—钟面追及 基本思路: 封闭曲线上的追及问题。 关键问题: ①确定分针与时针的初始位置; ②确定分针与时针的路程差; 基本方法: ①分格方法: 时钟的钟面圆周被均匀分成60小格,每小格我们称为1分格。 分针每小时走60分格,即一周;而时针只走5分格,故分针每分钟走1分格,时针每分钟走1/12分格。 ②度数方法: 从角度观点看,钟面圆周一周是360°,分针每分钟转360/60度,即6°,时针每分钟转360/12*60度,即1/2度。 20、六年级奥数知识点讲解: 浓度与配比 浓度与配比 经验总结: 在配比的过程中存在这样的一个反比例关系,进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。 溶质: 溶解在其它物质里的物质(例如糖、盐、酒精等)叫溶质。 溶剂: 溶解其它物质的物质(例如水、汽油等)叫溶剂。 溶液: 溶质和溶剂混合成的液体(例如盐水、糖水等)叫溶液。 基本公式: 溶液重量=溶质重量+溶剂重量; 溶质重量=溶液重量×浓度; 浓度=×100%=×100% 理论部分小练习: 试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。 经验总结: 在配比的过程中存在这样的一个反比例关系,进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。 21、六年级奥数知识点讲解: 经济问题 经济问题 利润的百分数=(卖价-成本)÷成本×100%; 卖价=成本×(1+利润的百分数); 成本=卖价÷(1+利润的百分数); 商品的定价按照期望的利润来确定; 定价=成本×(1+期望利润的百分数); 本金: 储蓄的金额; 利率: 利息和本金的比; 利息=本金×利率×期数; 含税价格=不含税价格×(1+增值税税率); 22、六年级奥数知识点讲解: 简单方程 代数式: 用运算符号(加减乘除)连接起来的字母或者数字。 方程: 含有未知数的等式叫方程。 列方程: 把两个或几个相等的代数式用等号连起来。 列方程关键问题: 用两个以上的不同代数式表示同一个数。 等式性质: 等式两边同时加上或减去一个数,等式不变;等式两边同时乘以或除以一个数(除0),等式不变。 移项: 把数或式子改变符号后从方程等号的一边移到另一边; 移项规则: 先移加减,后变乘除;先去大括号,再去中括号,最后去小括号。 加去括号规则: 在只有加减运算的算式里,如果括号前面是“+”号,则添、去括号,括号里面的运算符号都不变;如果括号前面是“-”号,添、去括号,括号里面的运算符号都要改变;括号里面的数前没有“+”或“-”的,都按有“+”处理。 移项关键问题: 运用等式的性质,移项规则,加、去括号规则。 乘法分配率: a(b+c
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