北师大八年级下册教案第二章.docx
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北师大八年级下册教案第二章
第二章分解因式
1.分解因式
教学目标:
知识与技能:
(1)使学生了解因式分解的意义,理解因式分解的概念.
(2)认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系,并能运用这种关系寻求因式分解的方法.
数学能力:
(1)由学生自主探索解题途径,在此过程中,通过观察、类比等手段,寻求因式分解与因数分解之间的关系,培养学生的观察能力,进一步发展学生的类比思想.
(2)由整式乘法的逆运算过渡到因式分解,发展学生的逆向思维能力.
(3)通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较,培养学生的分析问题能力与综合应用能力.
情感与态度:
让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度
教学重点:
教学难点:
教学过程
第一环节看谁算得快
活动内容:
用简便方法计算:
(1)
=
(2)-2.67×132+25×2.67+7×2.67=
(3)992–1=.
活动目的:
如果说学生对因式分解还相当陌生的话,相信学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉.引入这一步的目的旨在让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法,使学生通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上,从而为因式分解的掌握扫清障碍,本环节设计的计算992–1的值是为了降低下一环节的难度,为下一环节的理解搭一个台阶.
注意事项:
学生对于
(1)
(2)两小题逆向利用乘法的分配律进行运算的方法是很熟悉,对于第(3)小题的逆向利用平方差公式的运算则有一定的困难,因此,有必要引导学生复习七年级所学过的整式的乘法运算中的平方差公式,帮助他们顺利地逆向运用平方差公式.
第二环节看谁想得快
活动内容:
993–99能被哪些数整除?
你是怎么得出来的?
学生思考:
从以上问题的解决中,你知道解决这些问题的关键是什么?
活动目的:
引导学生把这个式子分解成几个数的积的形式,继续强化学生对因数分解的理解,为学生类比因式分解提供必要的精神准备.
注意事项:
由于有了第一环节的铺垫,学生对于本环节问题的理解则显得比较轻松,学生能回答出993–99能被100、99、98整除,有的同学还回答出能被33、50、200等整除,此时,教师应有意识地引导,使学生逐渐明白解决这些问题的关键是——把一个多项式化为积的形式.
第三环节看谁算得准
活动内容:
计算下列式子:
(1)3x(x-1)=;
(2)m(a+b+c)=;
(3)(m+4)(m-4)=;
(4)(y-3)2=;
(5)a(a+1)(a-1)=.
根据上面的算式填空:
(1)ma+mb+mc=;
(2)3x2-3x=;
(3)m2-16=;
(4)a3-a=;
(5)y2-6y+9=.
活动目的:
在第一组的整式乘法的计算上,学生通过对第一组式子的观察得出第二组式子的结果,然后通过对这两组式子的结果的比较,使学生对因式分解有一个初步的意识,由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解,发展学生的逆向思维能力.
注意事项:
由于整式的乘法运算是学生在七年级已经学习过的内容,因此,学生能很快得出第一组式子的结果,并能很快发现第一组式子与第二组式子之间的联系,从而得出第二组式子的结果.
第四环节学生讨论
活动内容:
比较以下两种运算的联系与区别:
(1)a(a+1)(a-1)=a3-a
(2)a3-a=a(a+1)(a-1)
在第三环节的运算中还有其它类似的例子吗?
除此之外,你还能找到类似的例子吗?
结论:
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.
辨一辨:
下列变形是因式分解吗?
为什么?
(1)a+b=b+a
(2)4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1
(3)a(a–b)=a2–ab(4)a2–2ab+b2=(a–b)2
活动目的:
通过学生的讨论,使学生更清楚以下事实:
(1)分解因式与整式的乘法是一种互逆关系;
(2)分解因式的结果要以积的形式表示;
(3)每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数;
(4)必须分解到每个多项式不能再分解为止.
注意事项:
学生通过讨论,能找出分解因式与整式的乘法的联系与区别,基本清楚了“分解因式与整式的乘法是一种互逆关系”以及“分解因式的结果要以积的形式表示”这两种事实,后两种事实是在老师的引导与启发下才能完成.
第五环节反馈练习
活动内容:
1、看谁连得准
x2-y2.(x+1)2
9-25x2y(x-y)
x2+2x+1(3-5x)(3+5x)
xy-y2(x+y)(x-y)
2、下列哪些变形是因式分解,为什么?
(1)(a+3)(a-3)=a2-9
(2)a2-4=(a+2)(a-2)
(3)a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1
(4)2πR+2πr=2π(R+r)
活动目的:
通过学生的反馈练习,使教师能全面了解学生对因式分解意义的理解是否到位,以便教师能及时地进行查缺补漏.
注意事项:
从学生的反馈情况来看,学生对因式分解意义的理解基本到位.
第六环节学生反思
活动内容:
从今天的课程中,你学到了哪些知识?
掌握了哪些方法?
明白了哪些道理?
活动目的:
通过学生的回顾与反思,强化学生对因式分解意义的理解,进一步清楚地了解分解因式与整式的乘法的互逆关系,加深对类比的数学思想的理解,对矛盾对立统一的观点有一个初步认识.
注意事项:
从学生的反思来看,学生掌握了新的知识,提高了逆向思维的能力,对于类比的数学思想有了一定的理解,对于矛盾对立统一的哲学观点也有了一个初步认识.
第七环节:
巩固练习:
课本第45页习题2.1第1,2,3题
思考题:
课本第45页习题2.1第4题(给学有余力的同学做)
第八环节:
布置作业
四、教学反思
传统教学中,总是先介绍因式分解的定义,然后通过大量的模仿练习来强化巩固学生对因式分解概念的记忆与理解,其本质上是对因式分解的概念进行强化记忆.
在新课程的教学中,对因式分解的记忆退到了次要的位置,它把因式分解作为培养学生逆向思维、全面思考、灵活解决矛盾的载体.在教师的指导下,学生通过因数分解类比出因式分解,对学生进行类比的数学思想培养,由整式的乘法与因式分解的对比,对学生的逆向思维能力进行培养,也使得学生对于因式分解概念的引入不至于茫然.
尽管新旧两种教法的对比上,新课程的教学不一定马上显露出强劲的优势,甚至可能因为强化练习较少,在短时间内,学生的成绩比不上传统教法的学生成绩,但从长远目标看来,这种对数学本质的训练会有效地提高学生的数学素养,培养出学生对数学本质的理解,而不仅仅是停留在对数学的机械模仿记忆的层面上.
总之,教学的着眼点,不是熟练技能,而是发展思维,使学生在学习的情感态度与价值观上发生深刻的变化.
第二章分解因式
2.提公因式法
(一)
教学目标:
知识与技能:
(1)使学生经历探索寻找多项式各项的公因式的过程,能确定多项式各项的公因式;
(2)会用提取公因式法进行因式分解.
数学能力:
(1)由学生自主探索解题途径,在此过程中,通过观察、对比等手段,确定多项式各项的公因式,加强学生的直觉思维,渗透化归的思想方法,培养学生的观察能力;
(2)由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解,再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解,进一步发展学生的类比思想;
(3)寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法,培养学生的初步归纳能力.
情感与态度:
进一步培养学生的矛盾对立统一的哲学观点以及实事求是的科学态度
教学过程
第一环节算一算
活动内容:
计算:
(1)
学生回答:
你是用什么方法计算的?
这个式子的各项有相同的因数吗?
活动目的:
引入这一步的目的旨在让学生通过乘法分配律的逆运算(因数分解)这一特殊算法,使学生通过类比的思想方法很自然地过渡到正确理解提公因式法的概念上,从而为提公因式法的掌握扫清障碍.
教学效果:
学生对于利用乘法的分配律进行逆运算的方法很熟悉,能很快找到这个式子各项有的相同因数
,在提出公因数
后,很快得出这一题的计算结果是7.
第二环节想一想
活动内容:
多项式ab+ac中,各项有相同的因式吗?
多项式x2+4x呢?
多项式mb2+nb–b呢?
结论:
多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.
活动目的:
在学生能顺利地寻找数的简便运算中的公因数之后,再深一步引导学生采用类比的方法由寻找相同的因数过渡到在多项式中寻找相同的因式.
教学效果:
由于有了第一环节的铺垫,再从数过渡到式,学生能很快用类比的方法找到这些式子中相同的因式.
第三环节议一议
活动内容:
多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么?
结论:
(1)各项系数是整数,系数的最大公约数是公因式的系数;
(2)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分;
(3)公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式.
活动目的:
由于第二环节提供的几个多项式比较简单,不能反映公因式的全部特征,而通过本环节中寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式,则可很顺利的归纳出确定多项式各项公因式的方法,培养学生的初步归纳能力
教学效果:
每一个多项式都由两部分组成:
系数部分与字母部分,因此,有必要将系数部分与字母部分分开讨论.在教师的引导下,学生能分别找出公因式的系数部分与字母部分,最后找到这个多项式的公因式.在学生具备初步的判断能力之后,应该将学生的能力进一步升华,引导他们归纳出确定多项式各项公因式的方法,培养学生的初步归纳能力.
第四环节试一试
活动内容:
将以下多项式写成几个因式的乘积的形式:
(1)ab+ac
(2)x2+4x(3)mb2+nb–b
如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
活动目的:
让学生尝试着使用因式分解的意义以及提公因式法的定义进行几个简单的多项式的分解,为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备.
教学效果:
由于有了因数分解的基础以及对提公因式法的正确理解和运用,学生能较快地从数的分解过渡到字母的因式分解.
第五环节做一做
活动内容:
将下列多项式进行分解因式:
(1)3x+6
(2)7x2–21x(3)8a3b2–12ab3c+ab(4)–24x3–12x2+28x
学生归纳:
提取公因式的步骤:
(1)找公因式;
(2)提公因式.
易出现的问题:
(1)第(3)题中的最后一项提出ab后,漏掉了“+1”;
(2)第(4)题提出“–”时,后面的因式不是每一项都变号.
矫正对策:
(1)因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数是否相同;
(2)如果多项式的第一项带“–”,则先提取“–”号,然后提取其它公因式;
(3)将分解因式后的式子再进行单项式与多项式相乘,其积是否与原式相等.
活动目的:
根据用提公因式法进行因式分解时出现的问题,在教师的启发与指导下,学生自己归纳出提公因式的步骤及怎样预防提取公因式时出现类似问题,为提取公因式积累经验.
教学效果:
第
(1)
(2)两小题是简单题,对学生的要求不高,学生能很快完成这两小题,但当多项式的项数多了,或首项出现负号时,部分同学会产生思维上的困难,此时,教师有必要引导学生分步进行分解:
如,先将负号提出,然后再提取其它的公因式,并提醒学生在完成分解后,应再用整式的乘法进行逆向检查,查出错误予以纠正.
第六环节反馈练习
活动内容:
1、找出下列各多项式的公因式:
(1)4x+8y
(2)am+an(3)48mn–24m2n3(4)a2b–2ab2+ab
2、将下列多项式进行分解因式:
(1)8x–72
(2)a2b–5ab(3)4m3–8m2
(4)a2b–2ab2+ab (5)–48mn–24m2n3(6)–2x2y+4xy2–2xy
活动目的:
通过学生的反馈练习,使教师能全面了解学生对公因式概念的理解是否到位,提取公因式的方法与步骤是否掌握,以便教师能及时地进行查缺补漏.
教学效果:
从学生的反馈情况来看,学生对公因式概念的理解基本到位,提取公因式的方法与步骤基本掌握,但依然有部分同学出现第五环节中的问题,如对首项出现负号时不能正确处理,此时,需要老师进一步引导.
第七环节学生反思
活动内容:
从今天的课程中,你学到了哪些知识?
你认为提公因式法与单项式乘多项式有什么关系?
活动目的:
通过学生的回顾与反思,强化学生对确定公因式的方法及提公因式法的步骤的理解,进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系,加深对类比的数学思想的理解,对矛盾对立统一的哲学观点有一个初步认识.
教学效果:
学生对确定公因式的方法及提公因式法的步骤有了进一步的理解,更清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系,但对化归、类比等数学思想方法的认识较模糊,当然,这种认识也是需要长期的培养,而不是一朝一夕可以做到的.
巩固练习:
课本第49页习题2.2第1,2,3题.
四、教学反思
教学活动是学生与教师的双边活动,在这个过程中,学生应是学习的主体,教师应启发、指导学生进行探索活动,而不应越俎代庖.
在提公因式的教学中,很容易演变成以教师的灌输式教学为主,而学生主要是进行模仿练习,从知识的掌握上看,这种做法更有效,更快,但学生的探究能力和意识没有提高,数学思想方法渗透也不充分,最后导致的是学生数学素养的降低.
因而,在新课程理念下,我们应该倡导新型的教学形式——自主探究式的教学方式,即把学生置于主体地位,达到培养学生的创新能力的目的.教师在教学过程中不再是凌驾于学生之上的圣人,而是善于走进学生心灵世界真诚的合作者.学生由于主体性得到了体现,自然会产生求知和探究的欲望,会把学习当作乐事,最终达到学会、会学和乐学的境地;教师不再把自己视为工作者, 而是合作者.在合作中,教师与学生之间原有的“权威——服从”关系逐渐变成了“指导——参与”的关系.
第二章分解因式
2.提公因式法
(二)
教学目标:
知识与技能:
(1)使学生经历从简单到复杂的螺旋式上升的认识过程.
(2)会用提取公因式法进行因式分解.
数学能力:
(1)培养学生的直觉思维,渗透化归的思想方法,培养学生的观察能力.
(2)从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式,进一步发展学生的类比思想.
情感与态度:
通过观察能合理地进行分解因式的推导,并能清晰地阐述自己的观点.
教学过程
第一环节练一练
活动内容:
把下列各式因式分解:
(1)am+an
(2)a2b–5ab
(3)m2n+mn2–mn(4)–2x2y+4xy2–2xy
活动目的:
回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤,为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础.
注意事项:
切忌采用死记硬背的方法让学生背诵提取公因式的基本方法与步骤,最好用例题的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤,让学生真正理解是第一位的.
第二环节想一想
活动内容:
因式分解:
a(x–3)+2b(x–3)
活动目的:
引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取的多项式公因式.
由于题中很显明地表明,多项式中的两项都存在着(x–3),通过观察,学生较容易找到公因式是(x–3),并能顺利地进行因式分解.
第三环节做一做
活动内容:
在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号,使等式成立:
(1)2–a=(a–2)
(2)y–x=(x–y)
(3)b+a=(a+b)
(4)(b–a)2=(a–b)2
(5)–m–n=(m+n)
(6)–s2+t2=(s2–t2)
活动目的:
培养学生的观察能力,为解决学生在因式分解中感到比较棘手的符号问题提供知识准备.
注意事项:
(1)首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系;
(2)当前后两个多项式的底数相等时,则只要在第二个式子前添上“+”;
(3)当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时,如果指数是奇数,则在第二个式子前添上“–”;如果指数是偶数,则在第二个式子前添上“+”.
第四环节试一试
活动内容:
将下列各式因式分解:
(1)a(x–y)+b(y–x)
(2)3(m–n)3–6(n–m)2
活动目的:
进一步引导学生采用类比的方法由提取的公因式是单项式类比出提取的公因式是多项式的方法与步骤.
(1)观察多项式中括号内不同符号的多项式部分,并把它们转换成符号相同的多项式;
(2)再把相同的多项式作为公因式提取出来.
第五环节反馈练习
活动内容:
(3)填一填:
(1)3+a=(a+3)
(2)1–x=(x–1)
(3)(m–n)2=(n–m)2
(4)–m2+2n2=(m2–2n2)
2、把下列各式因式分解:
(1)x(a+b)+y(a+b)
(2)3a(x–y)–(x–y)
(3)6(p+q)2–12(q+p)(4)a(m–2)+b(2–m)
(5)2(y–x)2+3(x–y)(6)mn(m–n)–m(n–m)2
活动目的:
通过学生的反馈练习,使教师能全面了解学生对符号的转换的理解是否到位,提取公因式的方法与步骤是否掌握,以便教师能及时地进行查缺补漏.
注意事项:
由于新教材删除了添括号一节的教学,学生对于第1题第(4)小题的解答有一定的困难,因而,需要认真比较这两个多项式符号上的异同,确定它们是互为相反数还是相等关系.
第六环节议一议
活动内容:
把(a+b-c)(a-b+c)+(b-a+c)·(b-a-c)分解因式.
活动目的:
通过学生的讨论,当提取的公因式由两项过渡到三项时,应该采用何种对策,从而进一步提高学生的观察能力与思维能力.
注意事项:
通过讨论,学生逐步意识到如果采用提取公因式的方法,必须先把所有括号内的多项式中字母a前面的符号都化为正号,再进行观察比较可以找出公因式
(a-b+c).
第七环节学生反思
活动内容:
从今天的课程中,你学到了哪些知识?
掌握了哪些方法?
活动目的:
通过学生的回顾与反思,强化学生对如果提取的公因式是多项式应该采取的方法,进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系,加深对类比数学思想的理解.
注意事项:
学生经历了一个从简单到复杂、提取的公因式从单项式——两项式——三项式的螺旋式上升的认识过程,对确定公因式的方法及提公因式法的步骤有了进一步的理解,更清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系,了解类比等数学思想方法.
巩固练习:
课本第52页习题2.3第1,2题.
思考题:
课本第53页习题2.3第3题(给学有余力的同学做).
四、教学反思
对学生数学能力及数学思想方法的培养在初中数学教材中尽管没有专门章节进行训练,但始终渗透在整个初中数学的教学过程中.由于一些数学问题的解决思路常常是相通的,类比思想可以教会学生由此及彼,灵活应用所学知识,它是初中数学一个重要的数学思想.
运用类比的数学方法,在新概念提出、新知识点的讲授过程中,可以使学生易于理解和掌握.如学生在接受提取公因式法时,由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念,由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法,都是利用了类比的数学思想,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然,容易理解,没有斧凿的痕迹.
教学中那种只重视讲授表层知识,而不注重渗透数学思想、方法的教学,是不完备的教学,它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握,使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段,难以提高;反之,如果单纯强调数学思想和方法,而忽略表层知识的教学,就会使教学流于形式,成为无源之水,无本之木,学生也难以领略深层知识的真谛.因此数学思想的教学应与整个表层知识的讲授融为一体.
第二章分解因式
3.运用公式法
(一)
教学目标:
知识与技能:
(1)使学生了解运用公式法分解因式的意义;
(2)会用平方差公式进行因式分解;
(3)使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法,再考虑用平方差公式分解因式.
数学能力:
(1)发展学生的观察能力和逆向思维能力;
(2)培养学生对平方差公式的运用能力.
情感与态度:
在引导学生逆用乘法公式的过程中,培养学生逆向思维的意识,同时让学生了解换元的思想方法.
教学过程
第一环节练一练
活动内容:
填空:
(1)(x+3)(x–3)=;
(2)(4x+y)(4x–y)=;
(3)(1+2x)(1–2x)=;
(4)(3m+2n)(3m–2n)=.
根据上面式子填空:
(1)9m2–4n2=;
(2)16x2–y2=;
(3)x2–9=;
(4)1–4x2=.
活动目的:
学生通过观察、对比,把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用,发展学生的观察能力与逆向思维能力.
注意事项:
由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉,学生通过观察与对比,能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系.
第二环节想一想
活动内容:
观察上述第二组式子的左边有什么共同特征?
把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征?
结论:
a2–b2=(a+b)(a–b)
活动目的:
引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识,通过自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征.
注意事项:
学生对平方差公式的正确使用掌握的比较快,但用语言叙述第二组式子的左右两边的共同特征有一定的困难,必须在老师的指导下才能完成.
第三环节做一做
活动内容:
把下列各式因式分解:
(1)25–16x2
(2)9a2–
活动目的:
培养学生对平方差公式的应用能力.
注意事项:
学生对含有分数的平方差公式应用起来有一定的困难,有的学生由于受解方程的影响,习惯首先去分母,再因式分解,这是很多学生经常犯的一个错误.
第四环节议一议
活动内容:
将下列各式因式分解:
(1)9(x–y)2–(x+y)2
(2)2x3–8x
活动目的:
(1)让学生理解在平方差公式a2–b2=(a+b)(a–b)中的a与b不仅可以表示单项式,也可以表示多项式,向学生渗透换元的思想方法;
(2)使学生清楚地知道提公因式法是分解因式首先考虑的方法,再考虑用平方差公式分解因式.
注意事项:
在教师的引导下,学生能逐步理解平方差公式中的a与b不仅可以表示单项式,也可以表示多项式.
第五环节反馈练习
活动内容:
1、判断正误:
(1)x2+y2=(x+y)(x–y)()
(2)–x2+y2=–(x+y)(x–y)()
(3)x2–y2=(x+y)(x–y)()
(4)–x2–y2=–(x+y)(x–y)()
2、把下列各式因式分解:
(1)4–m2
(2)9m2–4n2
(3)a2b2-m2(4)(m-a)2-(n+b)2
(5)–16x4+81y4(6)3x3y–12xy
3、如图,在一块边长为a的正方形纸片的四角,各剪去一个边长为b的正方形.用a与b表示剩余部分的面积,并求当a=3.6,b=0.8时的面积.
活动目的:
通过学生的反馈练习,使教师能全面了解学生对平方差公式的特征是否清楚,对平方差公式分解因式的运用是否得当,因式分解的步骤是否真正了解,以便教师能及时地进行查缺补漏.
注意事项:
在实际应用中,部分学生对于第3题因式分解的实际应用不能理解,他们没有采用因式分解的方法,而是利用计算器硬生生地计算出来.
第六环节学生反思
活动内容:
从今天的课程中,你学到了哪些知识?
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