初一第11讲线段和角的大小比较.docx
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初一第11讲线段和角的大小比较
线段和角的大小比较
1.掌握线段的性质,知道线段的长短的比较方法。
2.掌握角的大小和角的分类,知道角平分线及其性质。
3.能够运用角平分线求角度。
一:
比较线段的长短
知识点一:
线段的性质
1.线段公理:
两点之间的所有连线中,线段最短,简述为:
两点之间,线段最短.
2.“连线”是指以画出的两个点为端点的任意一条线,包括曲线、折线或线段.
例1(湖南湘潭)如下图,从A地到B地有多条道路,人们会走中间的直路,而不会走其他的曲折道路,这是因为().
A.两点之间线段最短B.两直线相交只有一个交点C.两点确定一条直线D.垂线段最短
例2如图
(1),在一条笔直的公路两侧,分别有A、B两个村庄,现在要在公路上建一个汽车站C,使汽
车站C到A、B两个村庄的距离之和最小,问汽车站C的位置应该如何确定?
变式训练
1.下列可用公理“两点之间,线段最短”来解释的现象有().
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上;②植树时只要定出两棵树的位置,就能确定同一行树所在的直线;③从A地到B地架设电线,总是尽可能沿着线段AB架设;④把弯曲的公路改直,就能缩短路程.
A.①②B.①③C.②④D.③④
2.如图,在公园,为了方便人们观光,总把湖上的桥修成曲折形,你能说明其中的道理吗?
知识点二:
两点之间的距离
1.两点之间线段的长度,叫做这两点间的距离.
2.距离是指线段的长度,是一个数值,不是指线段本身.线段的长度可用刻度尺度量.
例3下列说法正确的是().
A.过A、日两点的直线长是A、B两点间的距离B.线段AB是A、B两点间的距离
C.乘火车从无锡到北京要走1280千米,这就是说无锡站与北京站间的距离为1280千米
D.连接A、B两点的所有线中,其中最短的线的长度就是A、B两点间的长度
变式训练
1.点B在线段AC上,AB=5,BC=3,则A、C两点间的距离是().
A.8B.2C.4D.无法确定
知识点三:
作一条线段等于已知线段
作一条线段等于已知线段是几何中一种重要的基本作图,用到的工具是圆规和没有刻度的直尺.步骤如下:
(1)作一条射线AB;
(2)用圆规量出已知线段的长度(记作a);
(3)以A为圆心,在射线AB上截取AC=a,则线段AC就是所求的线段。
例4如图,已知线段a,b(a>b),利用圆规和无刻度的直尺作一条线段c,使c=a-6.
变式训练
1.如图,已知线段a,b,求作一条线段AB,使它等于2a-b.
知识点四:
比较两线段的长短
变式训练
1.如图,AB=CD,则AC与BD的长短关系是().
A.AC>BDB.AC 知识点五: 线段的中点 例6如图,已知线段AC=6cm,线段BC=8cm,M、N分别是AC、BC的中点,求线段MN的长. 变式训练 1.如图所示,已知点C是线段AB上一点,且AB=10cm,D是线段AC的中点,E是线段BC的中点,求线段DE的长, 题型一: 与中点有关的计算 例1已知线段AB=8cm,在直线AB上有一点C,且BC=4cm,M是线段AC的中点,求线段AM的长度,分析: 题中说明A、B、C三点共线,但无法判断点C是在线段AB上,还是在AB的延长线上,所以要分两种情况来求AM的长, 题型三: 线段性质的实际运用 例3如图,某地有四个小区A、B、C、D分布如图所示,为了方便人们锻炼身体,政府决定投资修建一个广场,不考虑其他因素,请你画图确定广场的位置,使它与四个小区的距离之和最小. 变式训练 1、如图所示,有四个村庄A、B、C、D,现在要建一个自来水厂,要求节约管道,应怎样确定自来水厂的位置? 二: 角和比较大小 知识点一: 角的大小比较和角的分类 1.角的大小比较,常见的有度量法、叠合法两种. (1)度量法: 用量角器测量出角的度数,角的度数大,对应的角也大. (2)叠合法: 我们可以把两个角合在一起,有如下三种情况: 2.角按大小可以分为三类: (1)当一个角等于平角的一半时,这个角叫做直角; (2)小于直角的角叫做锐锐角; (3)大于直角而小于平角的角叫做钝角 例l已知∠AOC=90°; (1)比较∠AOB与∠AOC的大小及∠AOD与∠BOC的大小,并指出图中的2个锐角、1个直角、1个钝角和1个平角; (2)图中∠BOD可看成哪两个角的和,∠COD可看成哪两个角的差? 分析: (1)比较图中角的大小可用叠合法. (2)中根据和角、差角的概念容易得出答案. 解: (1)由图可知,∠AOB<∠AOC,∠AOD>∠BOC.其中锐角有∠AOB、∠BOC;直角有∠AOC;钝角有∠AOD;平角有∠AOE. (2)由图可知: ∠BOD=∠BOC+∠COD;∠COD=∠BOD-∠BOC. 例2如图,回答下列问题: (1)∠AOC是哪两个角的和? (2)∠AOB是哪两个角的差? (3)如果∠AOB=∠COD,那么∠AOC与∠DOB相等吗? 分析: (1)射线OB把∠AOC分成了∠AOB和∠BOC,所以∠AOC应是∠AOB与∠BOC的和. (2)∠AOB的外面有射线OC、OD,所以应是∠AOC与∠BOC或∠AOD与∠BOD的差. (3)∠AOC与∠DOB中都含有∠BOC,剩下部分∠AOB=∠COD,因此它们相等. 变式训练 1.如图所示,点D在∠AOB内部,点E在∠AOB的外部,点F在射线OA上.试比较下列角的大小: ∠AOB∠BOD,∠AOE∠AOB,∠BOD∠FOB,∠AOB∠FOB,∠DOE∠BOD. 2.如图,O为直线AB上一点,且∠COB=26°30′,则∠1=。 知识点二: 角平分线 1.从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线. (1)角的平分线是一条在角的内部的射线,不是线段也不是直线. (2)角的平分线把角分成了两个相等的角. 2.几何语言: 如图: ∵OC平分∠AOB, ∴∠AOC=∠BOC= ∵∠AOC=∠BOC.∴OC平分∠AOB. 3.类似角平分线,还有角的三等分线、四等分线.如图: 例3如图,OC为∠AOB的平分线,∠AOB=90°,∠AOD=15°,求∠COD的大小. 例4如图所示,∠AOB=90°,OD平分∠AOC,∠3=3∠1,求∠2的度数. 变式训练 1.如图,∠AOB=42°,∠BOC=86°.OD为∠AOC的平分线,求∠BOD的度数. 题型一: 画角及角的平分线 例1作图: (1)画直线AB,在AB上任取一点D; (2)画射线OC,得∠AOC与∠BOC; (3)再画射线OD、OE,分别平分∠AOC、∠BOC; (4)研究判定OD、OE的位置关系,并写出理由. 分析: 首先画出准确图形,通过观察,猜测OD、OE的位置关系,然后进行判断, 变式训练 1.用一副三角板作一个105°角,再画出它的角平分线. 解: 利用45°角和60°角拼成105°角,再用度量法或尺规作图法画出角平分线,图略. 2.现有一个19°的模板,如图,请你设计一种方法,只用这个模板和铅笔在纸上画出1°的角来. 题型二: 角的度数的计算 例3如下图所示,已知AB为一条直线,D是AB上一点,OC是∠AOD的平分线,OE在∠BOD内,∠DOE= ∠BOD.∠COE=72°,求∠EOB的度数. 点拨: 在利用角的平分线的定义求角的大小时,往往用到等量代换,即用已知角代替与它相等的未知角. 变式训练 1.如图,已知射线OC在∠AOB内部,且∠AOC>∠BOC,OD平分∠AOC,OE平分∠BOC. (1)比较∠COD与∠COE的大小; (2)你能求出∠DOE的大小吗? 如果能,请求出它的度数, 综合题2: 如图,已知∠AOB是直角,∠AOC=46°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,试求∠MON的度数.当∠AOC的大小在10°~90°之间变化时,请问∠MON的大小是否变化? 并说明理由, 1.线段AB和CD相等,记作____,线段EF小于GH,记作 2.如图,直线上有四点A、B、C、D,看图填空: (1)AC=____+BC; (2)CD=AD-____; (3)AC+BD-BC=___. 3.已知线段AB=5cm,在线段AB上截取BC=2cm,则AC=。 4.连接两点的________,叫做两点间的距离. 5.如图,AB+BC____AC(填“>”“=”或“<”),理由是____。 6.如图所示,从A地到达B地,最短的路线是(). A.A→C→EBB.A→F→E→BC.A→D→E→BD.A→C→G→E→B 7.下列说法正确的是(). A.到线段两个端点距离相等的点叫做线段的中点B.线段的中点到线段两个端点的距离相等 C.线段的中点可以有两个D.线段的中点有若干个 8.如果点C在线段AB上,则下列各式中: AB,能说明C是线段AB中点的有(). A.1个B.2个C.3个D.4个 9.如果线段AB=12cm,PA+PB=14cm,那么下列说法正确的是(). A.点P在线段AB上B.点P在直线AB上 C.点P在直线AB外D.点P在直线AB上,也可能在直线AB外 能力提升 10.两根木条,一根长80cm,一根长120cm,将它们的一端重合,顺次放在同一条直线上,此时两根木条的中点之间的距离是多少? 11.在一条直线的流水线上,依次在A.、A2、A3、A4、As处有5个机器人在工作(如图).现欲设一零件供应点,问应设于何处,可使5个机器人与它的距离总和为最小? 【巩固练习】 1.若OC是∠AOB的平分线,则 (1)∠AOC=; (2)∠AOC= ————; (3)∠AOB=2. 2.如图, (1)∠AOC=+. (2)∠AOB=. 3.如图,O是直线AB上一点,∠AOC=90°,∠DOE=90°,则图中相等的锐角有____对,分别是________ 4.已知O是直线AB上一点,OC是一条射线,则∠AOC与∠BOC的关系是(). A.∠AOC一定大于∠BOCB.∠AOC一定小于∠BOC C.∠AOC一定等于∠BOCD.∠AOC可能大于,等于或小于∠BOC 5.已知∠AOB=3∠BOC,若∠BOC=30°,则∠AOC等于(). A.120°B.120°或60°C.30°D.30°或90° 6.∠α和∠β的顶点和一边都重合,另一边都在公共边的同侧,且∠α>∠β,那么∠α的另一边落在∠β的(). A.另一边上B.内部C.外部D.以上结论都不对 7.在飞机飞行时,飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的.如图,用AN(指北线)与飞行线之间顺时针方向的夹角作为飞行方位角.从A到B的飞行方位角为35°,从A到C的飞行方位角为60°,从A到D的飞行方位角为145°.试求AB与AC之间的夹角为多少度? AD与AC之间的夹角为多少度? 并画出从A飞出且方位角为105°的飞行线. 8.如图,OB是∠AOC的平分线,OD是∠COE的平分线. (1)如果∠AOC=70°,那么∠BOC是多少度? (2)如果∠AOC=70°,∠COE=60°,那么∠BOD是多少度?
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