勾股定理第一讲探索勾股定理.docx

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勾股定理第一讲探索勾股定理

探索勾股定理

一、【基础知识精讲】

1．勾股定理：

如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么

即：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

我国古代把直角三角形较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

2．用面积法证明勾股定理：

（1）如图，将四个全等的直角三角形拼成正方形。

（Ⅰ）

。

（Ⅱ）

。

∴

.∴

3．勾股定理各种表达式：

在

中,

，∠A、∠B、∠C的对边分别为a.b.c

则

，

，

4.勾股定理的作用:

（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）用于证明平方关系的问题。

二、【例题精讲】

例1：

在△ABC中，∠C=90°，

（1）若a=3，b=4，则c=_______；

（2）若a=6，c=10，则b=_________；

（3）若c=34，a：

b=8：

15，则a=________，b=________；

（4）△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，若AB=13cm，AC=5cm，则CD的长__________．

例2.如图1-1，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，

求BC边上的高AD．

例3.已知：

如图，在△ABC中，∠A=90°，DE为BC的垂直平分线，

求证：

例题4、已知，如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，于D，D在AC上，若CD=1，CD+2BD=2AC,求AB的长。

例题5、已知如图，在△ABC中，AB=20，AC=15,BC边上的高为12，求△ABC的周长。

【变式练习】1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=50，BC=30，CD⊥AB于D，求CD的长。

2、如右图所示，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=5，AD=6。

求四边形ABCD的面积。

3、如图所示，铁路上A、B两站（视为直线上两点）相聚25km，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个废品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应当建在距离A站多远处？

4、如图所示，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m后，底端将水平华东2m吗？

试着说明理由。

5、如图所示，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B,A两点，且知道AB=30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？

【勾股定理易错题】

（1）注意对直角边、斜边进行讨论

例题1：

在直角三角形中，已知两边长分别为3和4，求另一边长。

（2）注意考虑周全，不要忽略钝角三角形的情形

例题2：

在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12。

求△ABC的周长。

【运用“勾股”解“折叠”】

例题1、如图，把一张长8厘米，宽4厘米的矩形纸片沿EF折叠，点C敲好落在点A上，求AF的长。

例题2、如图，将边长为8厘米的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边得中点E上，点A落在点F处，折痕为MN。

求线段CN的长。

例题3、如图，将长方形ABCD折叠，BC两点恰好落在AD边上的点P处，已知∠MPN=90°，长方形的长AD=12厘米，MN=5厘米。

求长方形的宽。

例题4、如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10。

求EC的长。

【勾股定理与面积问题】

例题1、已知直角三角形的三边长分别是6、8、x，求以x为边长的正方形的面积。

例题2、在△ABC中，∠ACB=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，△ABC的面积是24，a+b=14，求c的长。

例题3、如图，在rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上的一点，且DA=DB=5，△DAB的面积为10，求DC的长。

例题4、如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC各边为边向外做正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积，若S1=81，S3=225。

求S2的面积。

三、【同步练习】A组

一、填空题

1.在△ABC中，∠c=90°.

（1）若a＝8,b=15,则c=__；

（2）若a=7,c=25,则b=___.

2.某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取_______米．

3.斜边的边长为

，一条直角边长为

的直角三角形的面积是。

4．如图，已知

中，

，

，

，以直角边

为直径作半圆，则这个半圆的面积是。

5.如图1：

隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA＝50m，CB＝40m，那么A、B两点间的距离是_________．

6.有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距________海里．

7.如图，一根旗杆在离地９米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部１２米处，

求旗杆折断之前有多高？

二、选择题

1.小红要求△ABC最长边上的高，测得AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，则可知最长边上的高是（）

A.48cmB.4.8cmC.0.48cmD.5cm

2.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）

A、b2=c2－a2B、a∶b∶c=3∶4∶5

C、∠C=∠A－∠BD、∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15

3.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）

A.5，6，7B.1，4，9C.5，12，13D.5，11，12

4.若一个三角形的三边长的平方分别为：

32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是（）

A.16B.25C.7D.25或7

5.如果△ABC的三边分别为m2－1，2m，m2+1（m＞1）那么（）

A.△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1

B.△ABC是直角三角形，且斜边长2为m

C.△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定

D.△ABC不是直角三角形

三、解答题

6．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.

7．阅读下列解题过程：

已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判定△ABC的形状.

解：

∵a2c2－b2c2=a4－b4①

∴c2（a2－b2）=（a2+b2）（a2－b2）②

∴c2=a2+b2③

∴△ABC是直角三角形

问：

上述解题过程，从哪一步开始出现错误？

请写出该步的序号：

_________；

错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.

B组

1．在直角三角形ABC中，∠C=90°，且c+a=9，c-a=4，则b=______

2、在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差分别为8、2，则较长直角边为_______。

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠DAB=∠DBA，

若CD=1.5，BD=2.5，则AC的长________。

4、如果梯子底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以

到达建筑物的高度是________。

5、两棵树相距8米，一棵高8米，另一棵高2米，一只小鸟从一棵树

尖飞到另一棵树尖至少需要飞______米。

6、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方

形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=_________。

7、如图，以RT△ABC的三边为斜边分别向外做等腰直角三角形，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为______．

8．如图，喜洋洋想知道灰太狼家旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。

9．如图，已知CB=9，AB=17,AC=10,AD⊥BC的延长线于D,求AD的长。

10、第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一边串如下图所示的直角三角形演化而来的，设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=A8A9=1，请你计算OA9的长．

11、在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，求证：

AB2=BD×BC。

12、在△ABC中，AB>AC，AM为BC上的中线，AD为BC上的高，求证：

AB2AC2=2MD×BC

13、如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为_____。

．

【奥数天地】

1、如图，长方形纸片ABCD中，AB-3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，试确定重叠部分⊿AEF的面积。

2、如图，在RT△ABC中，已知∠C=90°，AD为∠CAB的平分线，CD=6cm，BD=10cm，求AC的长。

3、如图，在等腰直角△ABC的斜边上取异于B、C的两点E、F，使∠EAF=45°。

求证：

以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．

家庭作业

一、选择题：

1、一个直角三角形，有两边长分别是3和4，下列说法中正确的是（）

A、第三边一定为5B、三角形的周长为12

C、三角形的面积为12D、第三边可能为5

2、在⊿ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则⊿ABC的周长为（）

A、42B、32C、42或32D、37或33

3、如图有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8Ccm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）

A、2cmB、3cmC、4cmD、5cm

4、直角三角形中，斜边长为5，周长为12cm，则它的面积为（）

A、12cm2B、6cm2C、8cm2D、9cm2

二、、填空题：

1、已知Rt⊿ABC中，∠C=900，CD⊥AB，垂足为D，AC=8cm，

BC=6cm，则CD=，AD=。

2、如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3，BE=1，P为

AC上的动点，则PB+PE的最小值等于。

三、解答题

1、在印度数学家拜斯加罗的著作中，记载了一个有趣的“荷花问题”：

在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面0.5尺，忽然一阵狂风把荷花吹在水中淹没了，最后荷花垂直落到湖底，到了秋天，渔翁发现，落到湖底的荷花离根部有2尺远，如图，你知道这个湖的水深是多少尺吗？