精品新高中数学第二轮复习专题二第2讲三角恒等变换与解三角形优质课教案.docx
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精品新高中数学第二轮复习专题二第2讲三角恒等变换与解三角形优质课教案
第2讲 三角恒等变换与解三角形
自主学习导引
真题感悟
1.(2012·大纲全国)已知α为第二象限角,sinα+cosα=
,则cos2α=
A.-
B.-
C.
D.
解析 利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解.
∵sinα+cosα=
,
∴(sinα+cosα)2=
,
∵2sinαcosα=-
,
即sin2α=-
.
又∵α为第二象限角且sinα+cosα=
>0,
∴2kπ+
<α<2kπ+
π(k∈Z),
∴4kπ+π<2α<4kπ+
π(k∈Z),∴2α为第三象限角,
∴cos2α=-
=-
.
答案 A
2.(2012·浙江)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知cosA=
,sinB=
cosC.
(1)求tanC的值;
(2)若a=
,求△ABC的面积.
解析
(1)因为0<A<π,cosA=
,得sinA=
=
.
又
cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=
cosC+
sinC,所以tanC=
.
(2)由tanC=
,得sinC=
,cosC=
.
于是sinB=
cosC=
,
由a=
及正弦定理
=
,得c=
.
设△ABC的面积为S,则S=
acsinB=
.
考题分析
新课标高考对本部分的考查,一般多以小题考查三角变换在求值、化简等方面的应用,而解答题常常有以下三种:
三角变换与内部相关知识的综合性问题、三角变换与向量的交汇性问题、三角变换在实际问题中的应用问题.
网络构建
高频考点突破
考点一:
三角变换及求值
【例1】设
<α<
,sin
=
,求
的值.
[审题导引] 解答本题的关键是求出sinα与cosα,观察所给的条件式会发现求sinα与cosα的方法有两个,一是利用角的变换,二是解关于sinα与cosα的方程组.
[规范解答] 解法一 由
<α<
,得
<α-
<
,
又sin
=
,∴cos
=
.
∴cosα=cos
=cos
cos
-sin
sin
=
.
∴sinα=
.
故原式=
=cosα
=
.
解法二 由sin
=
,得sinα-cosα=
,①
平方得1-2sinαcosα=
,
即2sinαcosα=
>0.
由于
<α<
,故
<α<
.
(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=
,
故sinα+cosα=
,②
联立①②,解得sinα=
,cosα=
.
∴原式
=cosα(1+2sinα)
=
×
=
.
【规律总结】
sinα、cosα的求值技巧
当已知sin
,cos
时,利用和、差角的三角函数公式展开后都含有sinα+cosα或sinα-cosα,这两个公式中的其中一个平方后即可求出2sinαcosα,根据同角三角函数的平方关系,即可求出另外一个,这两个联立即可求出sinα,cosα的值.或者把sinα+cosα、sinα-cosα与sin2α+cos2α=1联立,通过解方程组的方法也可以求出sinα、cosα的值.
[易错提示] 三角函数求值中要特别注意角的范围,如根据sin2α=
求sinα的值时,sinα=±
中的符号是根据角的范围确定的,即当α的范围使得sinα≥0时,取正号,反之取负号.注意在运用同角三角函数关系时也有类似问题.
【变式训练】
1.(2012·烟台一模)若α∈
,且cos2α+sin
=
,则tanα=
A.1 B.
C.
D.
解析 cos2α+sin
=cos2α+cos2α
=2cos2α-sin2α=
=
=
,
即tan2α=1.又α∈
,tanα>0,∴tanα=1.
2.(2012·南京模拟)已知sin
+sinα=-
,-
<α<0,则cosα=________.
解析 sin
+sinα=
sinα+
cosα+sinα
=
sinα+
cosα=
sin
=-
,
∴sin
=-
.
又∵-
<α<0,∴-
<α+
<
,∴cos
=
,
∴cosα=cos
=
cos
+
sin
=
.
答案
考点二:
正、余弦定理的应用
【例2】 (2012·湖南师大附中模拟)在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,且(2a-c)cosB=bcosC.
(1)求角B的大小;
(2)若cosA=
,a=2,求△ABC的面积.
[审题导引]
(1)把条件式中的边利用正弦定理转化为角后进行三角恒等变换可求B;
(2)利用
(1)的结果求b及c,利用公式求面积.
[规范解答]
(1)因为(2a-c)cosB=bcosC,由正弦定理,得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC
=sin(B+C)=sinA.
∵0<A<π,∴sinA≠0,∴cosB=
.
又∵0<B<π,∴B=
.
(2)由正弦定理
=
,得b=
,
由cosA=
可得A=
,
由B=
,可得sinC=
,
∴S=
absinC=
×2×
×
=
【规律总结】
解三角形的一般方法是
(1)已知两角和一边,如已知A、B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a、b.
(2)已知两边和这两边的夹角,如已知a、b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=π求另一角.
(3)已知两边和其中一边的对角,如已知a、b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解题时可能有多种情况.
(4)已知三边a、b、c,可应用余弦定理求A、B、C.
【变式训练】
3.(2012·北京东城11校联考)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若sinA=
sinC,B=30°,b=2,则边c=________.
解析 由正弦定理得a=
c,由余弦定理可知b2=a2+c2-2accosB,
即4=3c2+c2-2
c2×
,解得c=2.
答案 2
考点三:
解三角形与实际应用问题
【例3】(2012·宿州模拟)已知甲船正在大海上航行.当它位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10海里C处的乙船,乙船当即也决定匀速前往救援,并且与甲船同时到达.(供参考使用:
取tan41°=
)
(1)试问乙船航行速度的大小;
(2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示,譬如北偏东……度).
[审题导引] 据题意作出示意图,把实际问题转化为解三角形,利用正、余弦定理求解.
[规范解答] 设乙船运动到B处的距离为t海里.
则t2=AC2+AB2-2AB·ACcos120°
=102+202+2×10×20×
=700,
∴t=10
,又设∠ACB=θ,
则
=
,
=
,
则sinθ=
=0.65,∴θ=41°,
∴乙船应朝北偏东71°的方向沿直线前往B处求援.速度为5
海里/小时.
【规律总结】
应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步
(1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等;
(2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出;
(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解;
(4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案
【变式训练】
4.如图所示,小丽家住在成都市锦江河畔的电梯公寓AD内,她家河对岸新建了一座大厦BC,为了测得大厦的高度,小丽在她家的楼底A处测得大厦顶部B的仰角为60°,爬到楼顶D处测得大厦顶部B的仰角为30°,已知小丽所住的电梯公寓高82米,请你帮助小丽算出大厦高度BC及大厦与小丽所住电梯公寓间的距离AC.
解析 设AC=x米,则BC=
x米,
过点D作DE⊥BC,易得BE=
x,
∴
x-
x=82.
∴x=41
米.
∴BC=
×41
=123米.
名师押题高考
【押题1】已知
=
,则sinα+cosα=________.
解析
=
=
=
·
=
,
则sinα+cosα=
.
答案
[押题依据] 诱导公式、倍角公式等都是高考的热点,应用这些公式进行三角恒等变换是高考的必考内容.本题考点设置恰当、难度适中,体现了对基础知识和基础能力的双重考查,故押此题.
【押题2】在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列.
(1)若b=
,a=3,求c的值;
(2)设t=sinAsinC,求t的最大值.
解析
(1)因为A,B,C成等差数列,所以2B=A+C,
因为A+B+C=π,所以B=
.
因为b=
,a=3,b2=a2+c2-2accosB,
所以c2-3c-4=0.
所以c=4或c=-1(舍去).
(2)因为A+C=
π,
所以t=sinAsin
=sinA
=
sin2A+
=
+
sin
.
因为0<A<
,所以-
<2A-
<
.
所以当2A-
=
,即A=
时,t有最大值
.
[押题依据] 本题将三角函数、余弦定理、数列巧妙地结合在一起,综合考查了三角恒等变换及余弦定理的应用,体现了高考在知识的交汇处命题的理念,故押此题.
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- 精品 高中数学 二轮 复习 专题 三角 恒等 变换 三角形 优质课 教案