辽宁省大连市学年高二数学上学期期中试题.docx
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辽宁省大连市学年高二数学上学期期中试题
辽宁省大连市2019-2020学年高二数学上学期期中试题
(时间:
120分钟总分:
100分)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上;并将条形码粘贴在指定区域。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
3.第Ⅱ卷答案用黑色签字笔填写在试卷指定区域内。
第Ⅰ卷
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分,其中1~10小题为单选题,每小题只有一个选项符合题意;11~12为多选题,每小题有两个选项符合题意,选对一个得3分,两个都选对得5分,选错或选错一个得0分。
)
1.直线
的斜率是()
A.
B.
C.
D.
2.若圆C与圆C′(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C′的方程是()
A.(x+1)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y-1)2=1
C.(x-1)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y+1)2=1
3.如图,在三棱锥
中,点D是棱AC的中点,若
,
,
,则
等于()
A.
B.
C.
D.
4.直线
是()
A.过点
的一切直线B.过点
的一切直线
C.过点
且除x轴外的一切直线D.过点
且除直线
外的一切直线
5.如果存在三个不全为0的实数
,
,
,使得向量
,则关于
,
,
叙述正确的是()
A.
,
,
两两相互垂直B.
,
,
中只有两个向量互相垂直
C.
,
,
共面D.
,
,
中有两个向量互相平行
6.已知点
在平面
内,
是平面
的一个法向量,则下列点P中,在平面
内的是()
A.
B.
C.
D.
7.若直线
与直线
平行,则
()
A.
B.
C.
或2D.
或
8.设
是椭圆
长轴的两个端点,若
上存在点
满足
,则
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
9.如图所示,正方体
的棱
,
的中点分别为
,
,则直线
与平面
所成角的正弦值为()
A.
B.
C.
D.
10.已知椭圆的左焦点为
,有一质点A从
处以速度v开始沿直线运动,经椭圆内壁反射(无论经过几次反射速率始终保持不变),若质点第一次回到
时,它所用的最长时间是最短时间的7倍,则椭圆的离心率e为()
A.
B.
C.
D.
11.(多选题)若方程
所表示的曲线为
,则下面四个命题中错误的是()
A.若
为椭圆,则
B.若
为双曲线,则
或
C.曲线
可能是圆
D.若
为椭圆,且长轴在
轴上,则
12.(多选题)在平面直角坐标系
中,圆
的方程为
.若直线
上存在一点
,使过
所作的圆的两条切线相互垂直,则实数
的取值可以是()
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。
)
13.在平面直角坐标系
中,双曲线
的虚轴的一个端点到一条渐近线的距离为。
14.已知圆
与圆
相交,则实数
的取值范围为。
15.已知双曲线:
的左、右焦点分别为
,
,焦距为2c,直线
与双曲线的一个交点M满足
,则双曲线的离心率为。
16.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状,最大拱高
为6米(如图所示),路面设计是双向车道,车道总宽为
米,如果限制通行车辆的高度不超过4.5米,那么隧道设计的拱宽
至少应是米。
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
)
17.(本小题10分)
(1)求与双曲线
有相同焦点,且经过点
的双曲线的标准方程;
(2)已知椭圆
的离心率
,求
的值。
18.(本小题12分)
已知圆
与直线
相交于不同的
两点,
为坐标原点。
(1)求实数
的取值范围;
(2)若
,求实数
的值。
19.(本小题12分)
底面为菱形的直棱柱
中,
分别为棱
的中点。
(1)在图中作一个平面
,使得
,且平面
.(不必给出证明过程,只要求作出
与直棱柱
的截面)。
(2)若
,求平面
与平面
的距离
。
20.(本小题12分)
如图,设
是圆
上的动点,点
是
在
轴上的射影,
为
上一点,且
。
(Ⅰ)当
在圆上运动时,求点
的轨迹
的方程;
(Ⅱ)求过点
且斜率为
的直线被
所截线段的长度。
21.(本小题12分)
如图,在四棱锥P–ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且
。
(Ⅰ)求证:
CD⊥平面PAD;
(Ⅱ)求二面角F–AE–P的余弦值;
(Ⅲ)设点G在PB上,且
.判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由。
22.(本小题12分)
已知椭圆
:
(
)的离心率为
,
,
,
,
的面积为1。
(1)求椭圆
的方程;
(2)设
是椭圆
上一点,直线
与
轴交于点
,直线
与
轴交于点
,求证:
2019~2020学年第一学期期中考试
BDBDCBBACDADAB
第Ⅱ卷(非选择题,共×分)
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。
)
13、
14、
15、
16.32
三、解答题:
本大题共3小题,共30分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.
(1)
(2)
【详解】
(1)∵双曲线与双曲线
1有相同焦点,∴设所求双曲线方程为:
1,(﹣4<λ<16),∵双曲线过点(
,2),∴
1,∴λ=4或λ=﹣14.(舍)
∴所求双曲线方程为
.
(2)椭圆方程可化为
1,
因为m
0,所以m
,
即a2=m,b2
,c
,由e
,得
,解得m=1,所以m=1.
18.
(1)
;
(2)
.
试题解析:
(1)
解:
由
消去
得
,由已知得,
得
,得实数
的取值范围是
;
(2)因为圆心
到直线
的距离为
,
所以
由已知得
,解得
.
19.
(1)见解析;
(2)
试题解析:
(1)如图,取
的中点
,连接
,则平面
即为所求平面
.
(2)如图,连接
交
于
,∵在直棱柱
中,底面为菱形,
∴
,∴分别以
为
轴,
为原点建立如图所示空间直角坐标系,
又∵所有棱长为2,
,∴
,
,
,∴
,∴
,
,设
是平面
的一个法向量,则
,即
,令
得
,
,∴点
到平面
的距离
,∴平面
与平面
的距离
20.
(1)
;(Ⅱ)
.
解:
(1)设
的坐标为
,
的坐标为
,
由已知得
,因为
在圆上,所以
,即
的方程为
;
(Ⅱ)过点
且斜率为
的直线方程为
,
设直线与
的交点为
,
,将直线方程
代入
的方程,得:
,整理得
,所以
,
,
所以
.
21.(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
;(Ⅲ)见解析.
【详解】
(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD,CD
平面ABCD,则PA⊥CD,由题意可知AD⊥CD,且PA∩AD=A,
由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(Ⅱ)以点A为坐标原点,平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴,AD,AP方向为y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系
,
易知:
,由
可得点F的坐标为
,由
可得
,设平面AEF的法向量为:
,则
,
据此可得平面AEF的一个法向量为:
,
很明显平面AEP的一个法向量为
,
,二面角F-AE-P的平面角为锐角,故二面角F-AE-P的余弦值为
.
(Ⅲ)易知
,由
可得
,
则
,注意到平面AEF的一个法向量为:
,
其
且点A在平面AEF内,故直线AG在平面AEF内.
22.
(1)
;
(2)证明见解析.
【详解】
(Ⅰ)由题意得
解得
.所以椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
,设
,则
.
当
时,直线
的方程为
.
令
,得
,从而
.
直线
的方程为
.
令
,得
,从而
.
所以
.
当
时,
,
所以
.
综上,
为定值.
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