因式分解中的基本方法.docx
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因式分解中的基本方法
解读因式分解系列之一编制人:
平生曜曜
因式分解的定义与基本方法
解读之一:
因式分解的定义
1、因式分解的定义是什么?
答:
把一个多项式,转化为几个整式,的连续乘积的形式,叫因式分解。
〈强调〉:
因式分解结果中的每一个因式必须是“整式”,即是说,用于相乘的东西必须是整式,而不能是分式或根式。
所谓整式,是指“字母”既没有出现在“分母中”,也没有出现在“根号内”的代数式,整式包括“单项式”和“多项式”;
所谓分式,是指“字母”出现在“分母中”的代数式;
所谓根式,是指“字母”出现在“根号内”的代数式;
2、下面通过举例,来对“因式分解”的定义作更具体的解读:
(1)、例如,把多项式:
+2化为:
(1+
),
这种转化,不能称为因式分解,为什么呢?
因为,其中的“1+
”不是整式,而是分式。
(2)、又如,有人根据公式:
x2-y2=(x+y)(x-y),
先把多项式:
x2-3,理解为:
(x)2-(
)2,
然后再分解为:
(
+
)(x-
),这种转化,可以算作是因式分解,但这不是在“有理数范围”内进行的因式分解,而是在“实数范围”内进行的因式分解。
〈强调〉:
一般而言,题目没有明确要求在“实数”范围内进行因式分解时,我们只能理解为在“有理数”范围内进行因式分解。
(3)、再如:
居然还有同学根据公式:
x2-y2=(x+y)(x-y),
先把多项式:
x-3理解为:
(
)2-(
)2,
然后再分解为:
(
+
)(
-
),这就绝对不是因式分解了!
为什么呢?
因为其中的“
”不是整式,而是根式。
〈强调〉:
因式分解的结果,必须是若干个“整式”之间的“连乘式”。
如果一个结果不是连乘式,那么它绝对不能当作因式分解的结果!
(4)、例如,有同学把多项式:
a2-b2+1转化为:
(a+b)(a-b)+1,这个结果根本就“不是因式分解”,因为其结果“不是连乘式”,只能说成是“对原式的局部进行了因式分解”!
(5)、又如,有同学生把多项式:
x2-2x+2,转化为:
(x-1)2+1,这个结果不是连乘式,当然也就不能称为是对原式进行了因式分解。
〈强调〉:
这些转化过程并非毫无意义,虽然它们没有对原式的整体进行因式分解,而只是对原式的局部进行了因式分解,但这类具有“因式分解味道”的转化手段,在某些特定情况下,对解题却是凑效的。
(6)、如:
无论
取何值,代数式
的值___________。
A、可能是负数.B、可能是非正数.
C、必定是≥1的数.D、必定是>1的数.
解读之二
对一个多项式进行因式分解,其基本思路是什么
当我们要对一个多项式进行因式分解时,一般应遵循如下思路:
基本思路之1:
提取公因式法,即:
在原式中,寻求“公共因式”,然后再提取“公共因式”,最后再看能否再继续进行分解。
基本思路之2:
运用公式法,即:
先尝试“用某个公式”(一般要考虑:
平方差公式、完全平方公式、“十字相乘法”公式……)去把原式进行因式分解,然后再看能否继续进行分解,直至彻底。
基本思路之3:
分组分解法,即:
如果前两条思路都不行,则应该考虑对原式进行合理的分组,寄以希望各小组能通过“提取公因式法”或“运用公式法”来先作第一步局部的分解,然后再观察这些局部分解的结果,一是观察它们是否产生了新的公因式以便能再一次通过继续提取公因式来作进一步的分解;二是观察它们是否可以运用公式再一次进行分解?
〈非常值得申明〉:
分组是一个试错、尝试的过程,倘若发现分组分得不恰当(何为不恰当?
答:
不能实现最终分解的分组,就是不恰当的分组!
)时,要及时微调、重组,以便使得分解能继续进行下去,直至进行到彻底不能再分解为止!
解读之三
对因式分解“第一条”思路
(即:
提取公因式法)的具体阐述
1、公因式的定义是什么?
答:
公因式是指一个多项式中,各个部分之间的公共因式。
2、公因式可分为三种不同的类型:
(1)、单项式公因式;
(2)、多项式公因式;
(3)、复合型公因式;
3、找公因式的方法是什么?
(1)、先判断有没有必要提取“-符号”;
(2)、找各部分系数的“最大公约数”;
(3)、找各部分“公共单独字母的最低次幂”;
(4)、找各部分“公共整体字母的最低次幂”;
4、下面通过举例,来对“提取公因式法”作具体的解读。
(1)、例如,分解因式:
2x4y+4x3y-2x2y,
…………先………写………出………你………的………答………案…………
我的答案是:
______________________________________。
〈分析〉:
原式由“2x4y”、“+4x3y”、“-2x2y”三部分组成,
其公因式为:
2x2y,所以由“提取公因式法”可将原式分解因式。
解:
原式=2x2y(x2+2x-1);
〈声明〉:
①、对于一个多项式,把它的“公因式”提出去过后,括号里应该剩下什么?
可由口诀“提出去、保留商”来引导我们;
②、本题中的公因式“2x2y”就属于“单项式公因式”。
(2)、又例如,分解因式:
x2(y2-2x)+2x(y2-2x)+(y2-2x),
…………先………写………出………你………的………答………案…………
我的答案是:
______________________________________。
〈分析〉:
原式由“x2(y2-2x)”、“+2x(y2-2x)”和“(y2-2x)”三部分组成,其公因式为:
(y2-2x),所以由“提取公因式法”可将原式分解因式:
解:
原式=(y2-2x)(x2+2x+1),其中x2+2x+1,还可分解为:
(x+1)2
于是原式=(y2-2x)(x+1)2;
〈声明〉:
本题中的公因式“(y2-2x)”就属于“多项式公因式”;
(3)、又例如,分解因式:
x2(x-y)-x(y-x)+2(y-x),
…………先………写………出………你………的………答………案…………
我的答案是:
______________________________________。
〈分析〉:
原式由“x2(x-y)”、“-x(y-x)”和“+2(y-x)”这三部分组成,其中的“(x-y)”和“(y-x)”,虽然不相同,但可以进行“恒等微调”,使它们变为相同。
解:
原式=x2(x-y)+x(x-y)-2(x-y),理由:
(y-x)=-(x-y)
原式=(x-y)(x2+x-2),理由:
提取公因式:
(x-y)
原式=(x-y)(x+2)(x-1),理由:
用“十字相乘法”分解x2+x-2
〈声明〉:
对于某些“不同,但恰好互为相反数”的多项式,我们可以通过交换“被减数与减数”的位置来实现“化成相同因式”的转化。
(4)、再例如,分解因式:
3m2n(n-m)2+6mn(m-n)3
…………先………写………出………你………的………答………案…………
我的答案是:
______________________________________。
〈分析〉:
原式由“3m2n(n-m)2”和“+6mn(m-n)3”,两部分组成,其中的“(n-m)2”和“(m-n)3”虽然不相同,但可以进行“恒等微调”,使它们变为相同。
解:
原式=3m2n(n-m)2-6mn(n-m)3
〈解释〉:
上一步的理由:
+6mn(m-n)3=-6mn(n-m)3
原式=3mn(n-m)2[m-2(n-m)]
〈解释〉:
上一步的理由:
提取公因式:
3mn(n-m)2
原式=3mn(n-m)2(3m-2n)
另解:
原式=3m2n(m-n)2+6mn(m-n)3
〈解释〉:
上一步的理由:
3mn(n-m)2=3mn(m-n)2
原式=3mn(m-n)2[m+2(m-n)]
〈解释〉:
上一步的理由:
提取公因式:
3mn(m-n)2
原式=3mn(m-n)2(3m-2n)
〈声明〉:
①、本题中的公因式“3mn(n-m)2”就属于一种“复合型公因式”;②、本题的“恒等微调”过程,用到了以下公式:
(1):
(x+y)任意次方=(y+x)任意相同次方
(2):
(x-y)任意偶数次方=(y-x)任意相同偶数次方
(3):
(x-y)任意奇数次方=-(y-x)任意相同奇数次方
解读之四
对因式分解“第二条”思路中
运用“平方差公式、完全平方公式”的具体阐述
1、运用“平方差”公式:
a2-b2=(a+b)(a-b)
2、运用“完全平方”公式:
(1)、“和”的完全平方公式:
a2+2ab+b2=(a+b)2
(2)、“差”的完全平方公式:
a2-2ab+b2=(a-b)2
3、运用“十字相乘法”公式:
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
〈声明〉:
十字相乘法的运用,一般有一个“尝试、试错、微调、修正”的过程,可以总结这样的口诀:
“竖起相乘分别得两边,交叉相乘之和得中间”。
4、下面通过举例,来对“运用公式法”作具体的解读。
(1)、例如,用平方差公式,分解因式:
9x2y2-25y2
…………先………写………出………你………的………答………案…………
我的答案是:
______________________________________。
〈分析〉:
有同学一开始就注意到,原式可理解为:
[3xy]2-[5y]2,
从而可利用“平方差公式”来分解因式,于是这样来解题:
解:
原式=[3xy]2-[5y]2,理由:
这样书写便于理解
=(3xy+5y)(3xy-5y)理由:
利用公式:
a2-b2=(a+b)(a-b)
从而原式=y(3x+5)×y(3x-5)理由:
提取新产生的公因式:
y
=y2(3x+5)(3x-5)理由:
化简、整理:
y×y=y2
〈另析〉:
有同学一开始就注意到,原式中有公因式:
y2,从而可以从提取公因式开始,来迈出解题的第一步:
另解:
原式=y2(9x2-25)理由:
提取公因式:
y2
从而原式=y2[(3x)2-(5)2]
上一步书写的理由:
写成“a2-b2”的形式,便于理解;
原式=y2(3x+5)(3x-5)理由:
利用公式:
a2-b2=(a+b)(a-b)
〈声明〉:
你感觉哪一种方法不容易犯错呢?
这让我们联想到是否有必要去总结一种“防错策略”来避免以后重犯“类似的”错误呢?
(2)、又如,分解因式:
25(a+b)2-9(a-b)2
…………先………写………出………你………的………答………案…………
我的答案是:
______________________________________。
〈分析〉:
原式由“25(a+b)2”和“-9(a-b)2”两部分组成,二者之间没有任何公因式可提取,但可以注意到原式可理解为:
[5(a+b)]2-[3(a-b)]2,从而可以利用“平方差公式”来分解因式,于是这样来解题:
解:
原式=[5(a+b)+3(a-b)]×[5(a+b)-3(a-b)]
上一步的理由是:
利用公式:
a2-b2=(a+b)(a-b)将原式分解因式;
从而原式=(8a+2b)(2a+8b)理由:
化简、整理;
然后原式=4(4a+b)(a+4b)
上一步的理由:
每个小括号中,各提取一个公因式“2”,然后2×2=4
〈声明〉:
如果你的答案是“(8a+2b)(2a+8b)”,你觉得寻思“防错策略”的问题迫切吗?
(3)、例如,用完全平方公式,分解因式:
18ax2+24axy+8ay2
…………先………写………出………你………的………答………案…………
我的答案是:
______________________________________。
〈分析〉:
原式由“18ax2”、“+24axy”和“+8ay2”三部分组成,其中有公因式“2a”可提取,所以先“提取公因式”,再走着瞧!
解:
原式=2a(9x2+12xy+4y2)理由:
提取公因式:
2a
接下来的重点,该是去看“9x2+12xy+4y2”还能否继续分解?
容易发现其中的“9x2”和“+4y2”刚好是两个“平方项”,它们分别是“首数3x”的平方,以及“尾数2y”的平方,倘若原式中的“+12xy”又恰好是首、尾两数的“2倍交叉项(即:
2×3x×2y)”,那么就是“瞌睡遇到枕头”了!
这里,“9x2+12xy+4y2”恰好是一个“完全平方式”!
当我们的想法得到证实后,就可以继续如下作答:
原式=2a[(3x)2+(2y)2+2×3x×2y]
以上一步的理由:
把“9x2+12xy+4y2”写成“a2+b2+2ab”的形式,便于理解,其实这步大可省略不写。
于是,原式=2a[3x+2y]2这一步的理由:
a2+2ab+b2=(a+b)2
(4)、又例如,分解因式:
-4x2+4xy-y2
…………先………写………出………你………的………答………案…………
我的答案是:
______________________________________。
〈分析〉:
原式由“-4x2”、“+4xy”和“-y2”三部分组成,这里没有
任何公因式可提取,咋办呢?
接下来就看看它能否用“公式法”来分解因式吧!
晃眼一看,这个多项式貌似“完全平方式”,但我们又能发现其中的两个“平方项”:
“-4x2”和“-y2”都是“负的”,而一个完全平方式中的两个平方项都必须是“正的”,咋ger办?
我们姑且先通过提取“负符号”,把那两个该死的平方项化的符号化成正的,然后再随机应变吧!
解:
原式=-(4x2-4xy+y2)理由:
提取公因式:
“-符号”
接下来,就看你的神识了!
提走公因式之后,剩在“括号”里的“4x2-4xy+y2”是完全平方式吗?
哈哈!
难道不是吗?
你看,两个平方项:
首平方
(2x)2、尾平方
(y)2;
还配了,2倍交叉项:
2×首×尾
-2×(2x)×(y)=-4xy;
我若说它不是“完全平方式”,你都说我哄鬼去吧!
显你的然,原式=-(2x-y)2
〈感悟〉:
在拼凑“完全平方式”时,必须要先保证两个“平方项”是_______
(选填:
正、负)的,其次再去查验这两个“平方项”是否配备了“_______
倍交叉项”?
(5)、又例如,分解因式:
(a-b)2+6a(a-b)+9a2
…………先………写………出………你………的………答………案…………
我的答案是:
______________________________________。
〈分析〉:
原式由“(a-b)2”、“+6a(a-b)”和“+9a2”三部分组成,其中没有任何公因式可提取,但我们发现若把“(a-b)”视为一个整体,则原式刚好是一个完全平方式!
…………你………的………神………识………感………同………否…………
解:
原式=(a-b)2+2×(a-b)×3a+(3a)2
上一步理由:
把原式写成如下“模板形式”,便于大家看得顺眼
(原始a)2+2×(原始a)×(原始b)”+(原始b)2
不废话,原式=[(a-b)+3a]2
=(4a-b)2
〈声明〉:
本题把“(a-b)”视为一个整体,这就是数学里的_____________
思想。
在学习任何一个数学公式、法则的时候,我们都要理解其中的“字母”是可以代表其他“更为复杂”的整体式子的。
(6)、再例如,分解因式:
(a+b)4-8(a+b)2+16
…………先………写………出………你………的………答………案…………
…………终………于………把………你………难………倒………了…………
请开始你的表演:
______________________________________。
…………你………觉………得………你………倒………下………没…………
…………想………过………防………错………策………略………吗…………
请慎重写出你的答案:
____________________________________。
〈分析〉:
原式由“(a+b)4”、“-8(a+b)2”和“+16”三部分组成,其中没有任何公因式可提取,但我们发现若把“(a+b)2”视为一个整体,则原式刚好是一个完全平方式。
解:
原式=[(a+b)2]2-2×[(a+b)2]×[4]+[4]2
上一步理由:
把原式写成如下“模板形式”,便于大家一目了然:
[首]2-2×[首]×[尾]+[尾]2
所以,原式=[(a+b)2-4]2
也就相当于=[(a+b)2-
(2)2]2,
其中“[]”内形如:
(原始a)2-(原始b)2,
所以,又可利用平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b)来分解。
于是,原式=[(a+b+2)(a+b-2)]2
〈牙尖舌怪〉:
如果你真的只做到“[(a+b)2-4]2”这步,说明你瞧不起有关“防错策略”的建议,亦或你根本就没去思考自己解题中出现的重要破绽该如何补牢的问题。
(7)、再例如,分解因式:
(a2+b2)2-4a2b2
请开始你的表演:
______________________________________。
解:
原式=(a2+b2)2-(2ab)2
=(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab)
=(a+b)2(a-b)2
也可以=[(a+b)(a-b)]2
〈建议〉:
凡因式分解的题,最后都该养成“是否已经分解彻底”的思考,对吧!
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